学案19 椭圆、双曲线、抛物线.ppt

1 理解椭圆 抛物线的定义 几何图形 标准方程及简单性质 2 了解双曲线的定义 几何图形 标准方程 知道它的简单几何性质 3 理解数形结合思想 4 掌握直线与椭圆 直线与双曲线 直线与抛物线的位置关系的判定及它们的解法 5 了解圆锥曲线的简单应用 6 会解有关圆锥曲线的最值问题 7 能根据条件求解有关轨迹问题及轨迹方程 学案19椭圆 双曲线 抛物线 1 2009 湖南 抛物线y2 8x的焦点坐标是 a 2 0 b 2 0 c 4 0 d 4 0 解析 y2 8x p 4 焦点坐标为 2 0 2 2009 江西 过椭圆 a b 0 的左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于点p f2为右焦点 若 f1pf2 60 则椭圆的离心率为 a b c d b 解析由题意知点p的坐标为 f1pf2 60 答案b 3 2009 山东 设双曲线的一条渐近线与抛物线y x2 1只有一个公共点 则双曲线的离心率为 a b 5c d 解析不妨设双曲线的一条渐近线为y 由方程组消去y 得x2 1 0有唯一解 所以 d 题型一圆锥曲线的方程与性质 例1 已知椭圆g的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为两个焦点分别为f1和f2 椭圆g上一点到f1和f2的距离之和为12 圆ck x2 y2 2kx 4y 21 0 k r 的圆心为点ak 1 求椭圆g的方程 2 求 akf1f2面积 3 问是否存在圆ck包围椭圆g 请说明理由 解 1 设椭圆g的方程为 a b 0 半焦距为c 则所以b2 a2 c2 36 27 9 所求椭圆g的方程为 2 点ak的坐标为 k 2 3 若k 0 由62 02 12k 0 21 15 12k 0 可知右端点 6 0 在圆ck外 若k 0 由 6 2 02 12k 0 21 15 12k 0 可知左端点 6 0 在圆ck外 所以不论k为何值 圆ck都不能包围椭圆g 探究拓展 本小题考查了椭圆的定义 方程 性质及曲线与曲线的位置关系 在解答这类问题时 应充分利用定义与性质进行解答 才能使问题得以快速解决 变式训练1设b 0 椭圆方程为抛物线方程为x2 8 y b 如图所示 过点f 0 b 2 作x轴的平行线 与抛物线在第一象限的交点为g 已知抛物线在点g的切线经过椭圆的右焦点f1 1 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程 2 设a b分别是椭圆长轴的左 右端点 试探究在抛物线上是否存在点p 使得 abp为直角三角形 若存在 请指出共有几个这样的点 并说明理由 不必具体求出这些点的坐标 解 1 由x2 8 y b 得当y b 2 得x 4 g点的坐标为 4 b 2 y x y x 4 1 过点g的切线方程为y b 2 x 4 即y x b 2 令y 0 得x 2 b f1点的坐标为 2 b 0 由椭圆方程得f1点的坐标为 b 0 2 b b 即b 1 即椭圆和抛物线的方程分别为和x2 8 y 1 2 过a作x轴的垂线与抛物线只有一个交点p 以 pab为直角的rt abp只有一个 同理 以 pba为直角的rt abp只有一个 若以 apb为直角 设p点坐标为a b两点的坐标分别为 0 和 0 关于x2的二次方程有一大于零的解 x有两解 即以 apb为直角的rt abp有两个 因此抛物线上存在四个点使得 abp为直角三角形 题型二直线与圆锥曲线之间的关系 例2 2009 全国 已知椭圆c a b 0 的离心率为过右焦点f的直线l与c相交于a b两点 当l的斜率为1时 坐标原点o到l的距离为 1 求a b的值 2 c上是否存在点p 使得当l绕f转到某一位置时 有成立 若存在 求出所有的p的坐标与l的方程 若不存在 说明理由 解 1 设f c 0 当l的斜率为1时 其方程为x y c 0 坐标原点o到l的距离为 2 c上存在点p 使得当l绕f转到某一位置时 有成立 由 1 知椭圆c的方程为2x2 3y2 6 设a x1 y1 b x2 y2 当l不垂直于x轴时 设l的方程为y k x 1 c上的点p使成立的充要条件是p点的坐标为 x1 x2 y1 y2 且2 x1 x2 2 3 y1 y2 2 6 整理得又a b在c上 即故2x1x2 3y1y2 3 0 将y k x 1 代入2x2 3y2 6 并化简得 2 3k2 x2 6k2x 3k2 6 0 于是x1 x2 x1 x2 y1 y2 k2 x1 1 x2 1 代入 解得 k 此时 x1 x2 于是y1 y2 k x1 x2 2 因此 当k 时 l的方程为当k 时 l的方程为 当l垂直于x轴时 由 2 0 知c上不存在点p使成立 综上 c上存在点使成立 此时l的方程为 探究拓展 本题以椭圆为背景考查了圆锥曲线与直线 与向量相结合的知识 解决这类问题的关键是将向量坐标化 然后将题目中的条件转化为坐标之间的关系 使问题得以解决 变式训练2已知中心在原点的双曲线c的一个焦点是f1 3 0 一条渐近线的方程是5x 2y 0 1 求双曲线c的方程 2 若以k k 0 为斜率的直线l与双曲线c相交于两个不同的点m n 且线段mn的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为求k的取值范围 解 1 设双曲线c的方程为 a 0 b 0 由题设得所以双曲线c的方程为 2 设直线l的方程为y kx m k 0 点m x1 y1 n x2 y2 的坐标满足方程组 将 式代入 式 得整理得 5 4k2 x2 8kmx 4m2 20 0 此方程有两个不等实根 于是5 4k2 0 且 8km 2 4 5 4k2 4m2 20 0 整理得m2 5 4k2 0 由根与系数的关系可知线段mn的中点坐标 x0 y0 满足 从而线段mn的垂直平分线的方程为此直线与x轴 y轴的交点坐标分别为由题设可得整理得将上式代入 式得整理得 4k2 5 4k2 k 5 0 k 0 解得所以k的取值范围是 题型三轨迹与最值 例3 2009 湖南 在平面直角坐标系xoy中 点p到点f 3 0 的距离的4倍与它到直线x 2的距离的3倍之和记为d 当点p运动时 d恒等于点p的横坐标与18之和 1 求点p的轨迹c 2 设过点f的直线l与轨迹c相交于m n两点 求线段mn长度的最大值 解 1 设点p的坐标为 x y 由题设 d 18 x 当x 2时 由 得 化简得当x 2时 由 得 化简得y2 12x 故点p的轨迹c是由椭圆c1在直线x 2的右侧部分与抛物线c2y2 12x在直线x 2的左侧部分 包括它与直线x 2的交点 所组成的曲线 如图 1 所示 2 如图 2 所示 易知直线x 2与c1 c2的交点都是a 2 b 2 直线af bf的斜率分别为kaf kbf 当点p在c1上时 由 知 pf 当点p在c2上时 由 知 pf 3 x 若直线l的斜率k存在 则直线l的方程y k x 3 当k kaf 或k kbf 即k 或k 时 直线l与轨迹c的两个交点m x1 y1 n x2 y2 都在c1上 此时由 知 mf nf 由得 3 4k2 x2 24k2x 36k2 108 0 则x1 x2是这个方程的两根 所以因为当k 或k 时 k2 24 所以当且仅当k 时 等号成立 当kae k kan 即或时 直线l与轨迹c的两个交点m x1 y1 n x2 y2 分别在c1 c2上 不妨设点m在c1上 点n在c2上 则由 知 mf nf 3 x2 设直线af与椭圆c1的另一交点为e x0 y0 则x0 x1 x2 2 nf 3 x2 3 2 af 所以 mn mf nf ef af ae 而点a e都在c1上 且kae 由 知 ae 所以 mn 若直线l的斜率不存在 则x1 x2 3 此时 mn 12 x1 x2 9 综上所述 线段mn长度的最大值为 探究拓展 本小题考查了圆锥曲线的标准方程 轨迹方程以及求最值 解析几何中的最值问题 定值问题是近几年高考命题的一大热点 应引起高度重视 变式训练3在平面直角坐标系xoy中 过定点c 0 p 作直线与抛物线x2 2py p 0 相交于a b两点 1 若点n是点c关于坐标原点o的对称点 求 anb面积的最小值 2 是否存在垂直于y轴的直线l 使得l被以ac为直径的圆截得的弦长恒为定值 若存在 求出l的方程 若不存在 说明理由 解 1 依题意 点n的坐标为n 0 p 可设a x1 y1 b x2 y2 直线ab的方程为y kx p 与x2 2py 联立得 消去y得x2 2pkx 2p2 0 由韦达定理得x1 x2 2pk x1x2 2p2 于是s abn s bcn s acn 2p x1 x2 当k 0时 s abn min 2 假设满足条件的直线l存在 其方程为y a ac的中点为o l与ac为直径的圆相交于点p q pq的中点为h 则o h pq o 点的坐标为 ph 2 o p 2 o h 2令得此时 pq p为定值 故存在满足条件的直线l 其方程为y 即抛物线的通径所在的直线 题型四直线与圆锥曲线的综合问题 例4 2009 山东 设椭圆e a b 0 过点m 2 n 1 两点 o为坐标原点 1 求椭圆e的方程 2 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a b 且 若存在 写出该圆的方程 并求 ab 的取值范围 若不存在 说明理由 解 1 将m n的坐标代入椭圆e的方程得所以椭圆e的方程为 2 假设满足题意的圆存在 其方程为x2 y2 r2 其中0 r 2 设该圆的任意一条切线ab和椭圆e交于a x1 y1 b x2 y2 两点 当直线ab的斜率存在时 令直线ab的方程为y kx m 将其代入椭圆e的方程并整理得 2k2 1 x2 4kmx 2m2 8 0 由韦达定理得 因为所以x1x2 y1y2 0 由 代入 并整理得 1 k2 x1x2 km x1 x2 m2 0 联立 得 因为直线ab和圆相切 因此由 得所以存在圆满足题意 当切线ab的斜率不存在时 易得 由椭圆e的方程得显然综上所述 存在圆满足题意 方法一当切线ab的斜率存在时 由 得 当切线ab的斜率不存在时 易得 ab 所以综上所述 存在圆心在原点的圆满足题意 且 方法二过原点o作od ab 垂足为d 则d为切点 设 oab 则为锐角 变式训练4如图所示 椭圆c的方程为 a b 0 a是椭圆c的短轴左顶点 过a点作斜率为 1的直线交椭圆于b点 点p 1 0 且bp y轴 apb的面积为 1 求椭圆c的方程 2 在直线ab上求一点m 使得以椭圆c的焦点为焦点 且过m的双曲线e的实轴最长 并求此双曲线e的方程 解 1 s apb ap pb 又 pab 45 ap pb 故ap bp 3 p 1 0 a 2 0 b 1 3 b 2 将b 1 3 代入椭圆方程 得解得a2 12 所求椭圆的方程为 2 设椭圆c的焦点为f1 f2 则易知f1 0 f2 0 直线ab的方程为x y 2 0 因为m在双曲线e上 要使双曲线e的实轴最长 只需 mf1 mf2 最大 f1 0 关于直线ab的对称点为f1 2 直线f2f1 与直线l的交点为所求m f2f1 的方程为 联立又2a mf1 mf2 mf1 mf2 f2f1 故a max b 故所求双曲线的方程为 考题再现 2009 辽宁 已知 椭圆c经过点a 1 两个焦点为 1 0 1 0 1 求椭圆c的方程 2 e f是椭圆c上的两个动点 如果直线ae的斜率与af的斜率互为相反数 证明 直线ef的斜率为定值 并求出这个定值 解题示范 解 1 由题意 知c 1 可设椭圆方程为因为a在椭圆上 所以解得b2 3 b2 舍去 所以椭圆的方程为4分 2 设直线ae的方程为y k x 1 代入得 3 4k2 x2 4k 3 2k x 4 k 2 12 0 设e xe ye f xf yf 因为点a 1 在椭圆上 所以8分 又直线af的斜率与ae的斜率互为相反数 在上式中以 k代k 可得所以直线ef的斜率即直线ef的斜率为定值 其值为12分 1 理解椭圆的定义至关重要 涉及到椭圆上的点到焦点的距离时 应首先联想到定义 椭圆的问题都是由a b c e四个参数决定的 其关系链为 a2 b2 c2 几何性质 在椭圆上一点p与两焦点f1 f2 连结pf1 pf2 若 f1pf2 则 pf1f2的面积为若a1 a2是椭圆的左 右顶点 则 2 求轨迹的基本方法 求动点的轨迹方程是一个综合性的课题 渗透性强 牵涉的知识面宽 其实质是将 形 转化为 数 将 曲线 转化为 方程 数 形结合体现 转化 的数学思想 根据动点不同的运动性质和规律 常用的解题方法有以下几种 直译法 定义法 基本轨迹法 代点法 动点转移法 相关点代入法 参数法 3 求解最值常用的几种方法 利用圆锥曲线的定义求最大 小 值 利用二次函数求最值 利用基本不等式求最值 构造函数利用函数的单调性求最值 构造图形利用数形结合的方法求最值 三角换元利用三角函数的有界性求最值 4 若方程组消元后 得到一个一元二次方程 则根据判别式 的符号来讨论 若 0 则直线与圆锥曲线相交 有两个交点 若 0 则直线与圆锥曲线相切 有一个公共点 若 0 则直线与圆锥曲线相离 没有公共点 5 若方程组消元后 得到一个一元一次方程 则直线与圆锥曲线有一个交点 特别提醒直线与二次曲线仅有一个交点时 未必相切 如与抛物线对称轴平行的直线 与双曲线的渐近线的直线 它们都只有一个交点 但是不相切 而是相交 6 涉及圆锥曲线的弦长 一般是用弦长公式结合韦达定理解决 若是过焦点的弦利用圆锥曲线的定义解题较为方便 弦长公式7 解决弦中点问题常用两种方法 利用韦达定理 及中点坐标公式构造 利用端点在曲线上 坐标满足方程 作差构造出中点坐标和斜率关系即 点差法 8 设而不求 的方法 若直线l与圆锥曲线有两个交点a b 一般地 首先设出交点坐标a x1 y1 b x2 y2 其中有四个参数x1 y1 x2 y2 它们只是过渡性符号 通常情况下不需要求出来 但有利于用韦达定理解决问 题 是直线与圆锥曲线位置关系中常用方法 巧取特殊位置法 动点 动弦 动直线 动角 动轨迹常常是圆锥曲线问题中出现的动态图形 利用这些动态图形的特殊位置往往能帮助迅速解决选择题 填空题 一 选择题1 2009 天津 设双曲线 a 0 b 0 的虚轴长为2 焦距为则双曲线的渐近线方程为 a b y 2xc d 解析由题意知 2b 2 2c 则b 1 c a 双曲线的渐近线方程为 c 2 2009 山东 设斜率为2的直线l过抛物线y2 ax a 0 的焦点f 且和y轴交于点a 若 oaf o为坐标原点 的面积为4 则抛物线方程为 a y2 4xb y2 8xc y2 4xd y2 8x解析y2 ax的焦点坐标为过焦点且斜率为2的直线方程为令x 0得 a2 64 a 8 b 3 2009 全国 设双曲线 a 0 b 0 的渐近线与抛物线y x2 1相切 则该双曲线的离心率等于 a b 2c d 解析双曲线的渐近线方程为因为y x2 1与渐近线相切 故只有一个实根 c 4 2008 山东 设椭圆c1的离心率为焦点在x轴上且长轴长为26 若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8 则曲线c2的标准方程为 a b c d 解析由题意知2a 26 a 13 e c 5 c2为双曲线 2a 8 a 4 双曲线的焦点与椭圆的焦点相同 故c 5 b 3 故其方程为 a 5 2009 全国 已知直线y k x 2 k 0 与抛物线c y2 8x相交a b两点 f为c的焦点 若 fa 2 fb 则k的值为 a b c d 解析由 fa 2 fb 及定义知xa 2 2 xb 2 联立方程用根与系数关系可求 d 6 设f1 f2是椭圆的左 右焦点 过椭圆中心任作一直线与椭圆交于p q两点 当四边形pf1qf2面积最大时 的值等于 a 0b 1c 2d 4解析由题意可知 f1f2 2 因当四边形pf1qf2面积最大时 p q两点分别位于短轴两端点 由对称性不妨设p 0 又f1 1 0 f2 1 0 则 c 二 填空题7 2009 上海 已知f1 f2是椭圆c a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且若 pf1f2的面积为9 则b 解析由题意 得 解得a2 c2 9 即b2 9 所以b 3 3 8 2009 海南 已知抛物线c的顶点坐标为原点 焦点在x轴上 直线y x与抛物线c交于a b两点 若p 2 2 为ab的中点 则抛物线c的方程为 解析设抛物线方程为y2 ax 将y x代入y2 ax 得x 0或x a a 4 抛物线方程为y2 4x 9 已知椭圆则m 2x y的值域为 解析由题意可设 x 2cos y 3sin即 2x y max 5 2x y min 5 y2 4x 5 5 10 已知a 0 7 b 0 7 c 12 2 以c为一个焦点作过a b的椭圆 则该椭圆另一个焦点f的轨迹方程是 解析由题意知 ac af bc bf 等于椭圆的长轴长 所以 af bf bc ac 15 13 2 14 ab 所以点f的轨迹是以a b为焦点 实轴长为2的双曲线的下支 且c 7 a 1 所以b2 48 其方程为 三 解答题11 2009 浙江 已知抛物线c x2 2py p 0 上一点a m 4 到其焦点的距离为 1 求p与m的值 2 抛物线c上一点p的横坐标为t t 0 过p的直线交c于另一点q 交x轴于点m 过点q作pq的垂线交c于另一点n 若mn是c的切线 求t的最小值 解 1 由抛物线的定义 又m2 8p 所以p m 2 2 由p 得抛物线的方