学案20 概率及随机变量及其分布列.ppt

1 事件与概率 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 了解概率的意义 了解频率与概率的区别 了解两个互斥事件的概率加法公式 2 古典概型 理解古典概型及其概率计算公式 会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率 学案20概率及随机变量及其分布列 3 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 了解分布对于刻画随机现象的重要性 理解超几何分布 并能进行简单应用 4 了解条件概率和两个事件相互独立的概念 理解n次独立重复试验的模型及二项分布 并能解决一些简单的实际问题 5 理解取有限个值的离散型随机变量的均值 方差的概念 能计算简单的离散型随机变量的均值 方差并能解决一些简单的实际问题 1 2009 江西 为了庆祝六一儿童节 某食品厂制作了3种不同的精美卡片 每袋食品随机装入一张卡片 集齐3种卡片则获奖 现购买该食品5袋 能获奖的概率为 a b c d 解析5袋食品中含卡片的可能有35种 其中含1种卡片的有3种 含2种卡片的有 25 2 3 25 2 所以能够获奖概率为 d 2 将一个骰子连续抛掷三次 它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 解析将一个骰子连续抛掷三次 共有63 216种投法 其中落地时向上的点数依次成等差数列的共6 8 4 18种 因此 b 3 2009 浙江 有20张卡片 每张卡片上分别标有两个连续的自然数k k 1 其中k 0 1 2 19 从这20张卡片中任取一张 记事件 该卡片上两个数的各位数字之和 例如 若取到标有9 10的卡片 则卡片上两个数的各位数字之和为9 1 0 10 不小于14 为a 则p a 解析从20张卡片中任取一张共有20种可能 其中各卡片上的数字之和大于等于14的有 7 8 8 9 16 17 17 18 18 19 共5种 因此满足各条件的概率 4 2009 广东 已知离散型随机变量x的分布列如下表 若ex 0 dx 1 则a b 解析由题意知解得 题型一古典概型 例1 有九张卡片分别写着数字1 2 3 4 5 6 7 8 9 甲 乙二人依次从中抽取一张卡片 不放回 试求 1 甲抽到写有奇数数字的卡片 且乙抽到写有偶数数字的卡片的概率 2 甲 乙二人至少有一人抽到奇数数字的卡片的概率 解 1 甲 乙二人依次从九张卡片中各抽取一张的可能结果有甲抽到写有奇数数字的卡片 且乙抽到写有偶数数字的卡片的结果有设甲抽到写有奇数数字的卡片 且乙抽到写有偶数数字的卡片的概率为p1 则 2 方法一甲 乙二人至少有一人抽到奇数数字的卡片的事件包含下面三个事件 甲抽到写有奇数数字的卡片 乙抽到写有偶数数字的卡片 有种 甲抽到写有偶数数字的卡片 乙抽到写有奇数数字的卡片 有种 甲 乙二人都抽到奇数数字的 卡片 有种 设甲 乙二人至少有一人抽到奇数数字的卡片的概率为p2 则方法二甲 乙二人至少有一人抽到奇数数字的卡片的对立事件为两人均抽到写有偶数数字的卡片的概率为 探究拓展 运用古典概型公式解题时 需确定出全部的基本事件的个数及所求概率对应的基本事件数 同时可用排列 组合的知识计算 注意恰当分类 分清有无放回 判断是否有序等 变式训练1若将上题中的条件 不放回 改为 放回 其它条件不变 应如何求解 解 1 甲 乙二人依次从九张卡片中各抽取一张 因可放回抽取 则结果有甲抽到写有奇数数字的卡片 且乙抽到写有偶数数字的卡片的结果有则p 2 由于甲 乙二人都抽到偶数数字的卡片的概率为所以甲 乙二人至少有一人抽到奇数数字的卡片的概率为p 1 p1 题型二概率的综合应用 例2 2009 全国 甲 乙二人进行一次围棋比赛 约定先胜3局者获得这次比赛的胜利 比赛结束 假设在一局中 甲获胜的概率为0 6 乙获胜的概率为0 4 各局比赛结果相互独立 已知前2局中 甲 乙各胜1局 1 求再赛2局结束这次比赛的概率 2 求甲获得这次比赛胜利的概率 解记ai表示事件 第i局甲获胜 i 3 4 5 bj表示事件 第j局乙获胜 j 3 4 1 记a表示事件 再赛2局结束比赛 a a3 a4 b3 b4 由于各局比赛结果相互独立 故p a p a3 a4 b3 b4 p a3 a4 p b3 b4 p a3 p a4 p b3 p b4 0 6 0 6 0 4 0 4 0 52 2 记b表示事件 甲获得这次比赛的胜利 因前两局中 甲 乙各胜一局 故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中 甲先胜2局 从而b a3 a4 b3 a4 a5 a3 b4 a5 由于各局比赛结果相互独立 故p b p a3 a4 p b3 a4 a5 p a3 b4 a5 p a3 p a4 p b3 p a4 p a5 p a3 p b4 p a5 p a3 p a4 p b3 p a4 p a5 p a3 p b4 p a5 0 6 0 6 0 4 0 6 0 6 0 6 0 4 0 6 0 648 探究拓展 在解决这类问题时 应首先注意互斥事件与相互独立事件的区别和运用场合 互斥是指两个事件不能同时发生 相互独立事件则可以同时发生 应用二者求解时注意二者的区别及联系 变式训练2设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0 5 购买乙种商品的概率为0 6 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立 各顾客之间购买商品也是相互独立的 1 求进入商场的1位顾客购买甲 乙两种商品中的一种的概率 2 求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种商品也未购买乙种商品的概率 解 1 记a表示事件 进入商场的1位顾客购买甲种商品 记b表示事件 进入商场的1位顾客购买乙种商品 记c表示事件 进入商场的1位顾客购买甲 乙两种商品中的一种 0 5 0 4 0 5 0 6 0 5 2 记a2表示事件 进入商场的3位顾客中有两位都未选购甲种商品 也未选购乙种商品 a3表示3位顾客都未选购甲种商品和乙种商品 d表示事件 进入商场的1位顾客未选购甲种商品 也未选购乙种商品 e表示事件 进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品 也未选购乙种商品 0 5 0 4 0 2 p a2 0 22 0 8 0 096 p a3 0 23 0 008 p e p a2 a3 p a2 p a3 0 096 0 008 0 104 题型三离散型随机变量的分布列 期望及方差 例3 a b是治疗同一种疾病的两种药 用若干试验组进行对比试验 每个试验组由4只小白鼠组成 其中2只服用a 另2只服用b 然后观察疗效 若在一个试验组中 服用a有效的小白鼠的只数比服用b有效的多 就称该试验组为甲类组 设每只小白鼠服用a有效的概率为服用b有效的概率为 1 求一个试验组为甲类组的概率 2 观察3个试验组 用表示这3个试验组中甲类组的个数 求的分布列和数学期望 解 1 设ai表示事件 一个试验组中 服用a有效的小白鼠有i只 i 0 1 2 bi表示事件 一个试验组中 服用b有效的小白鼠有i只 i 0 1 2 依题意有 所求的概率为p p b0a1 p b0a2 p b1a2 2 的可能值为0 1 2 3 且 的分布列为 探究拓展 本题主要考查随机事件 互斥事件 相互独立事件等概率知识 考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识 考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力 变式训练3从集合 1 2 3 4 5 的所有非空子集中 等可能地取出一个 1 记性质r 集合中的所有元素之和为10 求所取出的非空子集满足性质r的概率 2 记所取出的非空子集的元素个数为 求的分布列和数学期望解 1 记 所取出的非空子集满足性质r 为事件a 基本事件总数事件a包含的基本事件是 1 4 5 2 3 5 1 2 3 4 事件a包含的基本事件数m 3 所以 2 依题意 的所有可能取值为1 2 3 4 5 故的分布列为 例4 2009 湖南 为拉动经济增长 某市决定新建一批重点工程 分为基础设施工程 民生工程和产业建设工程三类 这三类工程所含项目的个数分别占总数的现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设 1 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率 2 记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数 求的分布列及数学期望 解记第i名工人选择的项目属于基础设施工程 民生工程和产业建设工程分别为事件ai bi ci i 1 2 3 由题意知a1 a2 a3相互独立 b1 b2 b3相互独立 c1 c2 c3相互独立 ai bj ck i j k 1 2 3且i j k互不相同 相互独立 且p ai p bi p ci 1 他们选择的项目所属类别互不相同的概率p 3 p a1b2c3 6p a1 p b2 p c3 2 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 由已知 故的分布列是 变式训练4 2009 重庆 某单位为绿化环境 移栽了甲 乙两种大树各2株 设甲 乙两种大树的成活率分别为且各株大树的成活互不影响 求移栽的4株大树中 1 两种大树各成活1株的概率 2 成活的株数的分布列与期望 解设ak表示事件甲种大树成活k株 k 0 1 2 bl表示乙种大树成活l株 l 0 1 2 则ak bl独立 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 1 所求概率为p a1 b1 p a1 p b1 2 方法一的所有可能值为0 1 2 3 4 且p 0 p a0 b0 p a0 p b0 p 1 p a0 b1 p a1 b0 p 2 p a0 b2 p a1 b1 p a2 b0 p 3 p a1 b2 p a2 b1 p 4 p a2 b2 综上知的分布列为从而的期望为方法二分布列的求法同前 令分别表示甲 乙两种大树成活的株数 则故有从而知 考题再现 2009 山东 在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中 规定每人最多投3次 在a处每投进一球得3分 在b处每投进一球得2分 如果前两次得分之和超过3分即停止投篮 否则投第三次 某同学在a处的命中率q1为0 25 在b处的命中率为q2 该同学选择先在a处投一球 以后都在b处投 用表示该同学投篮训练结束后所得的总分 其分布列为 1 q2的值 2 求随机变量的数学期望 3 试比较该同学选择都在b处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小 解题示范 解 1 由题设知 0 对应的事件为 在三次投篮中没有一次投中 由对立事件和相互独立事件性质可知p 0 1 q1 1 q2 2 0 03 2分解得q2 0 8 4分 2 根据题意p1 p 2 1 q1 q2 1 q2 0 75 2 0 8 0 2 0 24 6分p2 p 3 q1 1 q2 2 0 25 1 0 8 2 0 01 p3 p 4 1 q1 0 75 0 82 0 48 p4 p 5 q1q2 q1 1 q2 q2 0 25 0 8 0 25 0 2 0 8 0 24 因此 0 0 03 2 0 24 3 0 01 4 0 48 5 0 24 3 63 9分 3 用c表示事件 该同学选择第一次在a处投 以后都在b处投 得分超过3分 用d表示事件 该同学选择都在b处投 得分超过3分 则p c p 4 p 5 p3 p4 0 48 0 24 0 72 p d 0 82 2 0 8 0 2 0 8 0 896 10分故p d p c 即该同学选择都在b处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在a处投以后都在b处投得分超过3分的概率 12分 1 古典概型 利用古典概型求解事件概率问题 应明确是否满足古典概型的两个特征 计算的关键是分清基本事件的个数n与事件a包含的结果m 2 互斥事件 独立事件概率 1 求事件和的概率必须分清事件是否互斥 求事件积的概率必须注意事件的独立性 2 要注意恰有k次发生和某指定的k次发生 的差异 对独立重复试验来说 前者的概率为pk 1 p n k 后者的概率为pk 1 p n k 3 解题过程中 要明确 至少有一个发生 至多有一个发生 恰有一个发生 都发生 都不发生 等词语的含义 已知事件a b 它们发生的概率分别为p a p b 那么a b中至少有一个发生为a b a b都发生为a b a b都不发生为 a b恰有一个发生为 a b中至多有一个发生为3 随机变量的分布列 期望 方差 1 分布列的计算是概率部分的延伸 重要的基础是概率计算 如古典概型 互斥事件的概率 相互独立事件同时发生的概 率 n次独立重复试验恰有k次发生的概率等 2 任一离散型随机变量的概率分布列都有两条性质 pi 0 i 1 2 3 p1 p2 p3 1 利用此性质可检验分布列的正确性及求出其中含有的参数 3 对于离散型随机变量的期望应注意 是一个实数 由的分布列唯一确定 随机变量是可变的 但是不变的 描述了取值的平均水平 的计算方法 x1p1 x2p2 xnpn 即随机变量的取值与相应概率值分别相乘后相加 4 对离散型随机变量的方差应注意 表示随机变量对的平均偏离程度 越大 表明平均偏离程度越大 说明的取值越分散 反之 越小 的取值越集中 一 选择题1 2009 上海 若事件e与f相互独立 且p e p f 则p e f 的值等于 a 0b c d 解析因为事件e与事件f相互独立 故p e f p e p f b 2 4张卡片上分别写有数字1 2 3 4 从这4张卡片中随机抽取2张 则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 a b c d 解析从4张卡片中取2张共有种取法 数字之和为奇数是指所取两个数分别是一个奇数和一个偶数 共有 种 则满足条件的概率是 c 3 从20名男同学 10名女同学中任选3名参加体能测试 则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为 a b c d 解析从30名同学中选3人的选法有种 其中全是男同学的选法有种 全是女同学的选法有种 故所求概率为 d 4 2009 湖北 投掷两颗骰子 得到其向上的点数分别为m和n 则复数 m ni n mi i为虚数单位 为实数的概率为 a b c d 解析复数 m ni n mi mn m2i n2i mn 2mn n2 m2 i 该复数为实数的条件为m n 投掷两颗骰子共有点数6 6 36 种 满足m n的有6种 因此使 m ni n mi 为实数的概率为p c 5 2009 重庆 锅中煮有芝麻馅汤圆6个 花生馅汤圆5个 豆沙馅汤圆4个 这三种汤圆的外部特征完全相同 从中任意舀取4个汤圆 则每种汤圆都至少取到1个的概率为 a b c d 解析从15个汤圆中选出4个汤圆共有种情况 每种汤圆至少有1个的情况有 720种情况 所以各种汤圆至少有1个的概率为p c 6 将一枚骰子抛掷两次 若先后出现的点数分别为b c 则方程x2 bx c 0有实根的情况有 a 18种b 11种c 17种d 19种 解析方程有实根即为 分别对b的取值进行分类计数 当b分别取2 3 4 5 6时 c的取值分别有 1种 2种 4种 6种 6种 共19种 d 二 填空题7 将7个人 含甲 乙 分成三个组 一组3人 另两组各2人 不同的分组数为a 甲 乙分在同一组的概率为p 则a p的值分别为a p 解析 甲 乙分到三人组为事件a p a 甲 乙分到二人组为事件b p b 事件a b互斥 p p a b 105 8 设离散型随机变量可能取的值为1 2 3 4 p k ak b k 1 2 3 4 又的数学期望则a b 解析设离散型随机变量可能取的值为1 2 3 4 p k ak b k 1 2 3 4 所以 a b 2a b 3a b 4a b 1 即10a 4b 1 又的数学期望则 a b 2 2a b 3 3a b 4 4a b 3 即30a 10b 3 a b 0 a b 9 在平面直角坐标系中 从六个点 a 0 0 b 2 0 c 1 1 d 0 2 e 2 2 f 3 3 中任取三个 这三点能构成三角形的概率是 结果用分数表示 解析 a 0 0 c 1 1 e 2 2 f 3 3 在直线y x上 b 2 0 c 1 1 d 0 2 在直线x y 2上 a c e f四点共线 b c d三点共线 任取三点共有 20 种 取法 三点共线的取法有1 5 种 取三点能构成三角形的概率为 10 甲有1只放有x个红球 y个白球 z个黄球的箱子 x 0 y 0 z 0 x y z 6 乙有1只放有3个红球 2个白