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实数教材分析与教学建议重庆复旦中学 杨兰【摘要】：本文根据数学课程标准中的要求，对实数这章进行了解读，将新旧版本教材进行了对比，分析了编者的编写意图，并根据实际教学中的情况，对本章提出了教学建议。【关键词】：新人教版 数学 八年级 实数 教材分析新人教版义务教育课程标准实验教材数学，采用代数与几何混编的形式，共六册，二十九章，实数是八年级上册的第十三章。本章共三节，分别是平方根、立方根和实数。以下将对本章教材进行解读。一、本章的地位和作用人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展中不断加深和完善的。在七年级上学期学生经历了从自然数和分数到有理数的扩充，本章在有理数的基础上，通过实际问题引出了算术平方根、平方根、立方根的概念，引入了新的运算开平方和开立方运算，引入了新数无理数，将数的范围由有理数扩充到了实数。本章不仅是后面学习二次根式、一元二次方程等知识的基础，还将为高中阶段学习不等式、函数等知识做好准备。二、 新“课标”下的本章的教学目标根据数学课程标准中的要求，我们得到本章的教学目标如下： 1、了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应，培养学生数形结合的能力；4、了解数的范围由有理数扩大到实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化； 5、能用有理数估计一个无理数的大致范围，培养学生的数感。三、教材分析1、新旧人教版教材的对比数学课程标准对数学教学提出了新的要求：“义务教育阶段的数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”新人教版的教材为了符合数学课程标准的要求，倡导 “问题情境建立模型求解解释与应用” 的课堂教学模式，而旧人教版教材倡导的课堂教学模式是“复习-引入-讲授-巩固-作业”， 倡导的课堂教学模式不同是新旧版教材的一个明显的区别。新版教材为了体现新的课堂教学模式，大量的使用实例设置问题情境引入新课，在本章中教材就设置了三个问题情境，首先章前引入展示了“神州”五号宇宙飞船升空时的照片，提出了如何根据第一宇宙速度和第二宇宙速度的表达式，求出这两个速度的大小的问题；然后平方根一节中设置了一个问题情境已知正方形的面积求边长；最后立方根一节中设置了一个问题情境已知正方体的体积求边长。以实例引入新课，使学生经历“问题情境建立模型求解解释与应用”的基本过程，这是本套教材的一个特色。 新版教材实数这一章的内容相当于旧版教材数的开方，本章中新旧版教材还有一个的区别在于编排顺序有所差别。旧版教材先由平方的逆运算引入开方运算和平方根，再在平方根中规定非负的这个平方根叫算术平方根，然后学习立方根、无理数和实数。而新版教材先联系实际学习认识算术平方根后，再进一步认识平方根和开方运算，之后的编排顺序基本跟旧版教材相同。为什么编者要做这样的安排？还是因为编者希望课堂教学模式是“问题情境建立模型求解解释与应用”。平方根在生活中不太容易举出实例设置问题情境，而算术平方根容易举出实例设置问题情境，所以编者做出了这样的安排。与旧版教材相比，新版教材增加了探究、思考、归纳等内容。本章中设置了六个探究、两个思考、两个归纳，增加这些内容目的是促进学生学习方式的转变，改被动学习为主动学习，变学会为会学，增强学生学习的主动性和探究性，这也是课程改革的目标之一。2、本章教材内容解读13.1平方根 教材从典型的实际问题（已知正方形的面积求边长）出发，首先介绍算术平方根，给出算术平方根的概念和它的符号表示，这时所见到的被开方数都是完全平方数。接下去，教材通过探究活动，将两个面积为 1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，从而求出这个大正方形的边长，这样教材就引进了用根号形式表示无理数（不出现无理数的概念），这是教材第一次出现这样的数，教师在这里要向学生介绍的读法和写法。教材采用夹逼的方法讨论的大小，利用不足近似和剩余近似估计了的近似值，指出了是一个无限不循环小数的事实，让学生感受到无限不循环小数是从现实世界抽象出来的一种不同于有理数的数。为什么不是有理数？教材在这里并没有解释，而是安排在阅读与思考中来回答这个问题，教师可以提醒学生通过学习阅读与思考来解决这个问题。用有理数估计无理数的大小，是学习本章应该注意的一个问题，教材结合一个实际例子介绍了用有理数估计无理数的常用方法。在算术平方根的基础上，教材对数的平方根展开了讨论，介绍利用乘方与开方互为逆运算求数的平方根的方法，探讨数的平方根的特征等。13.2 立方根 对于立方根，教材采用了类似平方根的方法进行讨论，首先从典型的实际问题（已知立方体的体积求边长）出发引出立方根的概念，学习利用乘方与开方互为逆运算求立方根的方法，探讨数的立方根的特征，教学中注意类比思想的渗透，最后学习使用计算器求数的立方根的方法等。在学习了开平方和开立方运算后，根据学生的情况，教师可以以开四次方和开五次方为例，介绍开偶数次方和开奇数次方运算的一些规律。 13.3实数 学习了平方根、立方根以及开方运算后，本节采用与有理数对照的方法引入无理数的概念，并给出实数的概念和分类，随着无理数的引入，数的范围扩展到实数，教材通过探究在数轴上画出表示和的点，说明了无理数也可以用数轴上的点来表示，并指出数轴上的点与实数是一一对应的、平面上的点与有序实数对也是一一对应的；接下去，教材结合具体例子说明，在有理数范围内成立的一些概念和运算（包括运算律、运算性质等）在实数范围内仍然成立，并且可以进行新的运算等，关于实数的运算在后面的“二次根式”一章中还要继续研究。3、本章教材注重数学文化的渗透。教材第81页习题13.2第11题，是一道有趣的智力题，介绍了著名数学家华罗庚的一种解决方法。通过这道题可以激发学生对数学家华罗庚的好奇心，让学生自己去查阅资料，了解数学家华罗庚的事迹。教材第88页阅读与思考为什么说不是有理数，这篇文章介绍了无理数的发现引发的第一次数学危机。教材编写这样的内容，从数学文化的角度来看，可以挖掘数学知识的内涵，使学生感受丰富的数学文化的熏陶，开阔学生的眼界，增长学生的见识，提高学生的学习兴趣。4、本章将精确计算和估算、近似计算，笔算和使用计算器计算进行了有机结合，学习本章对发展学生的计算技能、培养数感都有积极作用。本章知识结构框图乘方开方立方根平方根开平方开立方互为逆运算本章知识的展开顺序算数平方根平方根立方根无理数实数四、教学重点、难点1、教学重点：算术平方根、平方根、立方根的概念，实数与数轴上的点一一对应关系。2、教学难点：算术平方根、平方根的区别与联系，以及无理数、实数概念的建立。突破重难点的方法：1、以乘方运算和开方运算互为逆运算的关系为突破口来理解平方根的概念，开平方运算的讲解要注意三点：1、（在现在所学的数的范围内）负数不能开平方。根据学生的情况，教师还可以指出以后数的范围扩大了，负数是可以开平方的，为高中学习复数做一个铺垫。2、正数开平方运算有两个结果，而以前学生学习的加、减、乘、除、乘方运算只有一个结果。3、讲解符号“”（），它既代表了开平方运算，又代表了开平方运算的结果平方根。而算术平方根只是平方根中非负的那一个，记为“” 。在讲解过程中注重文字语言与符号语言的联系；2、在平方根的基础上，用类比的方法讲解立方根的概念，由学生自主探究得出正数、0、负数的立方根的特点；3、在明确有理数与无理数的联系与区别中认识无理数，利用面积为2的正方形边长为，、在数轴上的表示等来理解无理数的存在性，从而建立实数概念，特别注意分数可化为有限小数或无限循环小数；由本章的教学内容和教学重难点，得到本章的课时安排本章教学时间约需11课时，具体分配如下（仅供参考）：13.1平方根 3课时13.2 立方根 2课时13.3实数 3课时数学活动 小结 1课时单元检测 2课时五、教学建议1、不拘泥于教材提供的教学素材和教学模式，大胆进行各种教学尝试。本套教材的特色是以实例设置问题情境来引入新课，在很多章节中都采取了这样的编写方式，这些实例中有很多选得很好，但是有个别的实例在教学中不一定适用。例如：本章的章前引入是“神州”五号宇宙飞船升空时的照片，提出了如何根据第一宇宙速度和第二宇宙速度的表达式，求出这两个速度的大小的问题。很多学生没有相应的物理知识，如果要使用这个实例，那么教师要花一定的时间去给学生补充这些物理知识，这个实例引入将花费较多的时间，而且有可能冲淡本节课的主要内容，所以教师可以尝试换成其他的实例，或直接跳过引入进入新课。本章教学中有一个争论是：先讲算术平方根，再讲开平方运算和平方根，还是先讲开平方运算和平方根，再讲算术平方根。也就是按新人教版教材的安排来讲，还是沿用旧版教材的安排来讲。很多教师按新教材的安排上课之后发现，学生对和的使用容易混淆，造成很多错误，而以前使用旧教材的安排时并没有出现较多的错误，发现这样的情况之后，教师在教学中可以针对学生的情况，尝试采取自己觉得合适的安排来进行教学。2、把握教学内容在教学中应该达到的层次要求。本章是以后学习一元二次方程、二次根式等的基础，在本章教材中有涉及相关内容，教师在教学中一定把握层次要求，不要把后面要学习的内容提前来讲。例如教材习题13.1第8题，习题13.2第5题，这两道求的值的问题，是用开平方与平方互为逆运算、开立方与立方互为逆运算来解决，这不是解方程的问题，我认为不要在这里讲解一元二次方程和一元三次方程的知识。教材13.3例2学习了实数的简单运算，这个例题的目的是说明有理数的运算法则和运算性质等在实数范围内仍然成立，关于实数的运算在后面的“二次根式”一章中还要继续研究，教师切勿提前来讲。在本章求一个数的平方根或算术平方根时，这个数只能是一个完全平方数，即教学目标中要求的会用平方运算求某些非负数的平方根，如求4、9、16、49、121等数的平方根或算术平方根，而二次根式的化简在本学期不做要求，它在九年级上册二次根式一章中进行学习，求一个数的立方根也是同样的要求。探究在数轴上的表示时，图中画了一个边长为1的小正方形，对角线长为，这里不是用勾股定理得到对角线长为，而是在探究两个面积为1的小正方形可以拼成一个面积为2的大正方形，得到大正方形的边长为，大正方形的边长就是小正方形的对角线，所以小正方形的对角线长为。3、在教学中注重数学文化的渗透。数学教育不单是学习数学知识，还应该注重数学文化的培养。当前有部分教师因为在各种考试的压力下，只重视数学知识的教育，而忽略了数学文化的教育。学生对数学文化知之甚少，对学习数学学习的兴趣也是逐年下降。如果教师能在教学中注重数学文化的渗透，可以提高学生学习数学的兴趣。本章教材中的数学家华罗庚巧解趣味题、第一次数学危机的介绍都是很好的素材，教师不要忽略这些内容，可以组织学生通过查阅资料、撰写小论文，或在课堂上留一些时间由学生介绍数学家华罗庚的生平事迹和第一次数学危机的史料，让数学课堂丰富一些，培养学生对数学的热爱。4、培养学生的数感和估算能力。数学课程标准第一次把数感作为数学学习的内容提出来，并且明确了数感的概念：“理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”在本章的教学中对无理数和实数概念的建立是个难点，要通过生活和数学中的实例，使学生感受无理数是客观存在的。本章通过夾逼的方法来估计的大致范围，学会方根的估计方法、实数的近似计算方法等，教师应根据这些内容设计相应的教学活动，培养学生的数感和估算能力。5、重视计算器在本章教学中的作用。使用计算器求一个数的平方根、立方根以及其他有关的实数运算，改变了学生的学习方式，可以使学生将更多的精力投入到探索性的数学活动中