平面向量基本定理及坐标表示.ppt

平面向量的基本定理 及坐标表示 情境1 如图 光滑斜面上一个木块受到的重力为g 下滑力为f1 木块对斜面的压力为f2 这三个力有何相互关系 情境2 b n o a m c 思考1 给定平面内任意两个不共线向量与对平面内的任意一个向量怎样在这两个方向上进行分解 可否用与线性表示 探究问题 一 平面向量基本定理 自主探究 1 给定平面内两个不共线向量与 平面内任意一个向量a是否都可以表示为a 1e1 2e2的形式 如果能表达 这种形式的表达是否唯一 2 改变这两个向量的方向或大小 平面内的任意一个向量a是否还可以表示为a 1e1 2e2的形式 不共线向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 思考2 同一平面内可以作基底的向量有多少组 若e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 则对于这一平面内的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 平面向量基本定理 注意 1 2唯一 当 2 0时 a与e1共线 当 1 0时 a与e2共线 当 1 2 0时 a 0 思考3 不共线的向量有不同的方向 这种位置关系如何刻画 a b a b o 思考3 不共线的向量有不同的方向 这种位置关系如何刻画 规定 对于两个非零向量a和b 作a b 称 aob为向量a与b的夹角 0 180 思考3 不共线的向量有不同的方向 这种位置关系如何刻画 规定 对于两个非零向量a和b 作a b 称 aob为向量a与b的夹角 思考4 向量的夹角的取值范围应如何约定为宜 夹角为0 时 a与b同向 夹角为180 时 a与b反向 夹角为90 时 a与b垂直 记作a b 思考5 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底 1 把一个向量分解为两个互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 练习 如图 向量i j是两个互相垂直的单位向量 向量a与i的夹角是30 且 a 4 以向量i j为基底 向量a如何表示 探究问题 二 平面向量的正交分解及坐标表示 阅读课本 p95下半页内容 回答问题 1 平面内的一个向量a用坐标表示取哪两个向量做基底 2 对于平面内的一个向量a 由平面向量基本定理可分解为什么形式 是否唯一 3 向量a的坐标表示形式什么样 向量坐标的意义如何 4 作向量oa a 则oa的坐标是什么 此时点a的坐标是什么 5 直角坐标系中点a 向量oa 有序数 x y 有什么关系 2 向量的坐标表示 a x y 一一对应一一对应 点a x y 向量oa 一一对应 向量a的坐标表示 a xi yj x y 向量坐标的意义 a b a x1 y1 b x2 y2 x x2 x1 y y2 y1 例题讲解 例1如图 已知向量e1 e2 求作向量 2 5e1 3e2 例2如图 写出向量a b c d的坐标 a 2 3 b 2 3 c 2 3 d 2 3 平面内的所有向量都可以用一组基底来表示 这为我们用向量解决问题提供了一种基本思想方法 将其他向量化到基底上进行运算 证明 例3 如图 在平行四边形abcd中 点m在ab延长线上 ab bm 点n是bc中点 用向量方法证明 m n d三点共线 a b m c n d b 练习 a b d c m 2 已知点a 2 0 b 3 5 则向量ab坐标为 5 5 4 o a b p 解题反思 5 如图 已知梯形abcd ab cd 且ab 2dc m n分别是dc ab的中点 请在图中确定一组基底 将其他向量用这组基底表示出来 解析 3 3 e1