九年级数学上学期开学测试题分类之几何解答题（含解析）.doc

2016届九年级数学上学期开学测试题分类之几何解答题1.已知某开发区有一块四边形的空地abcd，如图所示，现计划在该空地上种草皮，经测量，a90，ab3m，bc12m，cd13m，da4m，若每平方米草皮需200元，问：需要投入多少元？【答案】7200【解析】解：连接db，a90，由勾股定理，得bd2ab2ad2324252，bd5又bc12，cd13，cd213212252bc2bd2dbc为直角三角形（m2），200367200（元）答：需投入7200元【难度】较易2.如下图，过正方形abcd的顶点b作直线l，过点a，c作直线l的垂线，垂足分别为e，f，直线ae交cd于点g.（1）求证：abebcf；（2）若cbf65，求agc的度数.【答案】（1）证明：正方形abcd，abcb，abc90 ae于点e，abebae90， baecbf. 又aebbfc90， abebcf（aas）.（2）115.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质，易得abe与bcf的两角与一条边相等，利用全等三角形的判定条件aas，可证明两三角形全等；（2）根据abebcf，又知cbf65，可得bae65，又由正方形的性质可得abdc，即可得出agc的度数.试题解析：解：（1）证明：正方形abcd，abcb，abc90 ae于点e，abebae90， baecbf. 又aebbfc90， abebcf（aas）. （2）abebcf，cbf65，bae65， 又由正方形abcd得abdc， agc180-65=115. 【难度】一般3.已知：如图，在矩形abcd中，ab10，bc12，四边形efgh的三个顶点e、f、h分别在矩形abcd的边ab、bc、da上，ae2（1）如图（1），当四边形efgh为正方形时，求gfc的面积（2）如图（2），当四边形efgh为菱形，且bfa时，求gfc的面积（用含a的代数式表示）（3）在（2）的条件下，gfc的面积能否等于2？请说明理由【答案】（1）10 （2）12-a （3）不能【解析】解：（1）过点g作gmbc于m在正方形efgh中，hef90，ehef，aehbef90aehahe90，ahebef又ab90，ahebef同理可证mfgbefgmbfae2fcbcbf10（2）过点g作gmbc交bc的延长线于m，连接hfadbc，ahfmfhehfg，ehfgfhahemfg又agmf90，ehgf，ahemfggmae2（3）gfc的面积不能等于2说明：若sgfc2，则12a2，a10此时，在bef中，在ahe中，ahad，即点h已经不在边ad上，故不可能有sgfc2【难度】困难4.已知，如图，在四边形abcd中，abcd，e，f为对角线ac上两点，且ae=cf，dfbe，ac平分bad求证：四边形abcd为菱形【答案】ab=cd，bc=ad，四边形abcd是平行四边形，abcd，bae=dcf又ae=cf，abecdf（sas），ab=cd，abcd，四边形abcd是平行四边形，ac平分bad，bae=daf，bae=dcf，daf=dcf，ad=cd，四边形abcd是菱形【解析】试题分析：首先证得abecdf，得到ab=cd，从而得到四边形abcd是平行四边形，然后证得ad=cd，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可试题解析：ab=cd，bc=ad，四边形abcd是平行四边形，abcd，bae=dcf又ae=cf，abecdf（sas），ab=cd，abcd，四边形abcd是平行四边形，ac平分bad，bae=daf，bae=dcf，daf=dcf，ad=cd，四边形abcd是菱形【难度】一般5.如图，四边形abcd中，abc90，cdad，（1）求证：ab=bc；（2）过点b作bead于e，若四边形abcd的面积为，求be的长【答案】（1）连接ac，由勾股定理得，又，所以，所以，所以ab=bc（2）【解析】试题分析：（1）连接ac，由勾股定理得，又，所以，所以，问题得证；（2）过点b作bfbe，延长dc交bf于f，即可证得abecbf，则s四边形bedf=s四边形abcd，又四边形bedf为正方形，则be试题解析：（1）连接ac，由勾股定理得，又，所以，所以，所以ab=bc（2）过点b作bfbe，延长dc交bf于f，因为aeb=f，abe=cbf，ab=bc，所以abecbf，所以bf=be, 四边形bedf为正方形,则s四边形bedf=s四边形abcd，又四边形bedf为正方形，所以be【难度】一般6.在abc中，bca，acb，abc，若c90，如图（1），则根据勾股定理，得a2b2c2若abc不是直角三角形，如图（2）和（3），请你类比勾股定理，试猜想a2b2与c2的关系，并证明你的结论【答案】若abc为锐角三角形，则有a2b2c2，若abc为钝角三角形，c为钝角，则有a2b2c2【解析】解：若abc为锐角三角形，则有a2b2c2，若abc为钝角三角形，c为钝角，则有a2b2c2证明：（1）当abc为锐角三角形时，过点a作adcb，垂足为d，设cdx，则有dbax根据勾股定理，得b2x2c2（ax）2，即b2x2c2a22axx2a2b2c22axa0，x0，2ax0，a2b2c2（2）当abc为钝角三角形时，过b作bdac，交ac的延长线于点d，设cdx，则bd2a2x2根据勾股定理，得（bx）2（a2x2）c2，a2b22bxc2b0，x0，2bx0，a2b2c2【难度】较难7.如图，在abc中，d是bc边上的一点，e是ad的中点，过点a作bc的平行线交ce的延长线于点f，且afbd，连接bf（1）求证：d是bc的中点；（2）如果abac，试判断四边形afbd是什么四边形，并证明你的结论【答案】（1）afbc，eaf=edc，e是ad的中点，ae=de，在eaf和edc中，eaf=edc，ae=de，aef=dec，eafedc（asa），dc=af，又af=bd，bd=dc，d是bc的中点；（2）矩形，理由是：afbd，af=bd，四边形afbd是平行四边形ab=ac，d是bc的中点，adbc，adb=90，四边形afbd是矩形【解析】试题分析：（1）利用aefdec来证；（2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形afbd是平行四边形，进而得出四边形afbd是矩形试题解析：（1）afbc，eaf=edc，e是ad的中点，ae=de，在eaf和edc中，eaf=edc，ae=de，aef=dec，eafedc（asa），dc=af，又af=bd，bd=dc，d是bc的中点；（2）四边形afbd是矩形理由是：afbd，af=bd，四边形afbd是平行四边形ab=ac，d是bc的中点，adbc，adb=90，四边形afbd是矩形【难度】一般8.如图1，在中，ab=ac，abc =，d是bc边上一点，以ad为边作，使ae=ad，+=180（1）直接写出ade的度数（用含的式子表示）；（2）以ab，ae为边作平行四边形abfe，如图2，若点f恰好落在de上，求证：bd=cd；如图3，若点f恰好落在bc上，求证：bd=cf【答案】（1）（2）证明：四边形abfe是平行四边形，abef由（1）知，ade = ，adbcab=ac，bd=cd证明：ab=ac，abc =，四边形abfe是平行四边形，aebf,ae=bf由（1）知，ad=cdad=ae=bf，bf=cdbd=cf【解析】试题分析：（1）由在abc中，ab=ac，abc=，可求得bac=180-2，又由ae=ad，dae+bac=180，可求得dae=2，继而求得ade的度数；（2）由四边形abfe是平行四边形，易得edc=abc=，则可得adc=ade+edc=90，证得adbc，又由ab=ac，根据三线合一的性质，即可证得结论；由在abc中，ab=ac，abc=，可得b=c=，四边形abfe是平行四边形，可得aebf，ae=bf即可证得：eac=c=，又由（1）可证得ad=cd，又由ad=ae=bf，证得结论试题解析：（1）ade = （2）证明：四边形abfe是平行四边形，abef由（1）知，ade = ，adbcab=ac，bd=cd证明：ab=ac，abc =，四边形abfe是平行四边形，aebf,ae=bf由（1）知，ad=cdad=ae=bf，bf=cdbd=cf【难度】较难9.如图，bc长为3cm，ab长为4cm，af长为12cm，求正方形cdef的面积。dabcfe【答案】s正方形cdef=169cm2【解析】试题分析：在rtabc中，在rtafc中，分别应用勾股定理可求出线段cf=13，然后可求出正方形cdef的面积试题解析：解：在rtabc中，bc=3，ab=4ac=在rtafc中，af=12，cf=s正方形cdef=cf2=132=169cm2【难度】较易10.如图，在正方形abcd的外侧，作等边三角形ade，连接be，ce（1）求证：be=ce（2）求bec的度数【答案】（1）证明：四边形abcd为正方形ab=ad=cd,bad= adc=90三角形ade为正三角形 ae=ad=de,ead=eda=60bae=cde=150baecdebe=ce（2）30【解析】试题分析：（1）由正方形和等边三角形的性质得出ab=ae，dc=de，bae=150，cde=150，可证baecde，即可证出be=ce；（2）由（1）知：aeb=ced=15，从而可求bec的度数试题解析：（1）证明：四边形abcd为正方形ab=ad=cd,bad= adc=90三角形ade为正三角形 ae=ad=de,ead=eda=60bae=cde=150baecdebe=ce （2）ab=ad, ad=ae,ab=ae abe=aeb 又 bae=150 abe=aeb=15同理：ced=15bec=60152=30 【难度】一般11.如图，在边长为10的菱形abcd中，对角线bd16，点o是直线bd上的动点，oeab于e，ofad于f（1）对角线ac的长是 ，菱形abcd的面积是 ；（2）如图1，当点o在对角线bd上运动时，oeof的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点o在对角线bd的延长线上时，oeof的值是否发生变化？若不变，请说明理由，若变化，请探究oe、of之间的数量关系，并说明理由【答案】（1）12；96 ；（2）oe+of=96是定值，不变；（3）oe+of的值变化，oe、of之间的数量关系为：oe-of=96【解析】分析：（1）连接ac与bd相交于点g，根据菱形的对角线互相垂直平分求出bg，再利用勾股定理列式求出ag，然后根据ac=2ag计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；（2）连接ao，根据sabd=sabo+sado列式计算即可得解；（3）连接ao，根据sabd=sabo-sado列式整理即可得解解：（1）如图，连接ac与bd相交于点g，在菱形abcd中，acbd，bg=bd=16=8，由勾股定理得，ag=6，ac=2ag=26=12，菱形abcd的面积=acbd=1216=96；故答案为：12；96；（2）如图，连接ao，则所以，bdag=aboe+adof，即166=10oe+10of，解得oe+of=96是定值，不变；（3）如图，连接ao，则所以，bdag=aboe-adof，即166=10oe-10of，解得oe-of=96，是定值，不变，所以，oe+of的值变化，oe、of之间的数量关系为：oe-of=96【难度】困难12.如图，已知在四边形abcd中，ab20cm，bc15 cm，cd7 cm，ad24 cm，abc90。猜想a与c关系并加以证明.【答案】180【解析】试题分析：连接ac首先根据勾股定理求得ac的长，再根据勾股定理的逆定理求得d=90，进而求出a+c=180试题解析：a+c=180证明如下：如图，连接acab=20cm，bc=15cm，abc=90，由勾股定理，得ac2=ab2+bc2=625（cm2）又在adc中，cd=7cm，ad=24cm，cd2+ad2=ac2，d=90a+c=360-180=180【难度】较易13.（1）如图1，纸片abcd中，ad=5，sabcd=15，过点a作aebc，垂足为e，沿ae剪下abe，将它平移至dce 的位置，拼成四边形aeed，则四边形aeed的形状为（ ）a平行四边形 b菱形 c矩形 d正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片aeed中，在ee上取一点f，使ef=4，剪下aef，将它平移至def 的位置，拼成四边形affd 求证四边形affd是菱形； 求四边形affd两条对角线的长【答案】（1）c；（2）由af df，得到四边形affd是平行四边形，由ae=3，ef=4 ，e=90，得到af=5，而sabcd=adae=15，所以ad=5， ad=af，所以四边形affd是菱形；和【解析】试题分析：（1）由平移的性质得到ae de，故四边形aeed是平行四边形，又aebc，得到aee=90，所以四边形aeed是矩形，故c选项正确；（2）由af df，得到四边形affd是平行四边形，由ae=3，ef=4 ，e=90，得到af=5，而sabcd=adae=15，所以ad=5， ad=af，所以四边形affd是菱形； 如图，连接af，df ，在rtaef中，可以得到af=，在rtdfe中，可以得到df=，故四边形affd两条对角线的长分别是和试题解析：（1）由平移知：aede，四边形aeed是平行四边形，又aebc，aee=90，四边形aeed是矩形，c选项正确；（2） af df，四边形affd是平行四边形，ae=3，ef=4 ，e=90，af=5，ad=5 ，ad=af ， 四边形affd是菱形； 如下图，连接af，df ，在rtaef中，ae=3，ef=9， af=，在rtdfe中， fe=1， de=ae=3， df=，四边形affd两条对角线的长分别是和 【难度】一般14.如图所示的一块地，ad=9m，cd=12m，adc=90，ab=39m，bc=36m，求这块地的面积【答案】216【解析】试题分析：连接ac，运用勾股定理逆定理可证acd，abc为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差试题解析：连接ac，则在rtadc中，ac=15，在abc中，acb=90，sabcsacd=acbcadcd=1536129=27054=216答：这块地的面积是216平方米 【难度】一般15.如图，在平行四边形abcd中，点e是边ad的中点，be的延长线与cd的延长线相交于点f（1）求证：abedfe；（2）试连接bd、af，判断四边形abdf的形状，并证明你的结论【答案】（1）证明：四边形abcd是平行四边形，abcf，1=2，3=4，e是ad的中点，ae=de，abedfe；（2）四边形abdf是平行四边形理由如下：abedfe，ab=df，又abdf，四边形abdf是平行四边形【解析】分析：（1）用asa证明abedfe；（2）四边形abdf是平行四边形，可用对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明解：（1）四边形abcd是平行四边形，abcf，1=2，3=4，e是ad的中点，ae=de，abedfe；（2）四边形abdf是平行四边形理由如下：abedfe，ab=df，又abdf，四边形abdf是平行四边形【难度】一般16.如图，直线：分别与轴、轴交于a、b两点，点c线段ab上，作cdx轴于d, cd=2od, 点e线段ob上,且ae=be；（1）填空：点c的坐标为（ ， ）；点e的坐标为（ ， ）；（2）直线过点e，且将aob分成面积比为1：2的两部分，求直线的表达式；（3）点p在x轴上运动，当pc+pe取最小值时，求点p的坐标及pc+pe的最小值；当pc-pe取最大值时，求点p的坐标及pc-pe的最大值；【答案】（1）点c（ 2 ， 4 ）；点e（ 0 ， 3 ）；（2）直线m的表达式为：或（3）；【解析】分析：（1）根据求出点a,b的坐标，a（4,0）,b（0,8），所以oa=4，ob=8，设od=m，则cd=2od=2m，因为 cdx轴，所以点c的坐标是（m，2m）代入可求出点c的坐标，设oe=x,则ae=be=8-x，在oae中，根据勾股定理可求出x的值，从而可得点e的坐标；（2）设直线m的表达式为，然后分情况讨论（3）求出点e关于x轴的对称点e坐标，然后求直线c e与x轴的交点，即为点p;直线ce与与x轴的交点即为点p解：（1）点c（ 2 ， 4 ）；点e（ 0 ， 3 ）；（2）设直线m的表达式为如图：当时，得fh=,将代入得将点f（，）代入得，所以直线m的表达式为如图：当时，,得on=,将点n（，）代入得，所以直线m的表达式为综上，直线m的表达式为：或（3）如图：e关于x轴的对称点e坐标为（0，-3），设直线ce的表达式为代入c（2,4）得;,所以将代入得所以p的坐标为作eqcd于q,则eq=od=2，cq=7所以pc+pe的最小值= ce=如图：设直线ce的表达式为，与x轴相交为p,代入c（2，4），得，所以，当时，；点p坐标为（-6，0），作cry轴于r,则cr=od=2，er=1，所以pc-pe的最大值= ce=【难度】较难17.已知：在abc中，bac=90，ab=ac，点d为直线bc上一动点（点d不与b、c重合）以ad为边作正方形adef，连接cf（1）如图1，当点d在线段bc上时，求证：bdcfcf=bccd（2）如图2，当点d在线段bc的延长线上时，其它条件不变，请直接写出cf、bc、cd三条线段之间的关系；（3）如图3，当点d在线段bc的反向延长线上时，且点a、f分别在直线bc的两侧，其它条件不变：请直接写出cf、bc、cd三条线段之间的关系若连接正方形对角线ae、df，交点为o，连接oc，探究aoc的形状，并说明理由【答案】（1）证明：bac=90，ab=ac，abc=acb=45，四边形adef是正方形，ad=af，daf=90，bac=bad+dac=90，daf=caf+dac=90，bad=caf，在bad和caf中， ，badcaf（sas），acf=abd=45，acf+acb=90，bdcf；由badcaf可得bd=cf，bd=bc-cd，cf=bc-cd；（2）cf=bc+cd；（3）cf=cd-bc；aoc是等腰三角形【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得abc=acb=45，再根据正方形的性质可得ad=af，daf=90，然后利用同角的余角相等求出bad=caf，然后利用“边角边”证明bad和caf全等，根据全等三角形对应角相等可得acf=abd，再求出acf+acb=90，从而得证；根据全等三角形对应边相等可得bd=cf，从而求出cf=bc-cd；（2）与（1）同理可得bd=cf，然后结合图形可得cf=bc+cd；（3）与（1）同理可得bd=cf，然后结合图形可得cf=cd-bc；根据等腰直角三角形的性质求出abc=acb=45，再根据邻补角的定义求出abd=135，再根据同角的余角相等求出bad=caf，然后利用“边角边”证明bad和caf全等，根据全等三角形对应角相等可得acf=abd，再求出fcd=90，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出oc=df，再根据正方形的对角线相等求出oc=oa，从而得到aoc是等腰三角形试题解析：（1）证明：bac=90，ab=ac，abc=acb=45，四边形adef是正方形，ad=af，daf=90，bac=bad+dac=90，daf=caf+dac=90，bad=caf，在bad和caf中， ，badcaf（sas），acf=abd=45，acf+acb=90，bdcf；由badcaf可得bd=cf，bd=bc-cd，cf=bc-cd；（2）与（1）同理可得bd=cf，所以，cf=bc+cd；（3）与（1）同理可得，bd=cf，所以，cf=cd-bc；bac=90，ab=ac，abc=acb=45，则abd=180-45=135，四边形adef是正方形，ad=af，daf=90，bac=baf+caf=90，daf=bad+baf=90，bad=caf，在bad和caf中，badcaf（sas），acf=abd=180-45=135，fcd=acf-acb=90，则fcd为直角三角形，正方形adef中，o为df中点，oc=df，在正方形adef中，oa=ae，ae=df，oc=oa，aoc是等腰三角形【难度】困难18.如图，e为正方形abcd对角线bd上的一点，且bebc1（1）求dce的度数；（2）点p在ec上，作pmbd于m，pnbc于n，求pmpn的值【答案】（1）225（2）【解析】试题分析：（1）由dbc=45、be=bc可得bce=bec=675，再由bcd=90可得dce=225（2）连接bp,作efbc于点f，由，即可得到试题解析：（1）在正方形abcd中，bcd=90，dbc=45be=bcbce=bec= （180-dbc）=675dce=dcb-bce=90-675=225（2）连接bp,作efbc于点f，则efb=90ebf=45，bef为等腰直角三角形，又be=bc=1，bf=ef=，pmbd，pnbc，即bepm+bcpn=bcef,be=bcpm+pn=ef=【难度】困难19.如图，abcd中，点e、f在bd上，且bfde（1）写出图中所有你认为全等的三角形；（2）延长ae交bc的延长线于g，延长cf交da的延长线于h（请补全图形），证明四边形agch是平行四边形【答案】（1）aedcfbabecdf，abdcdb【解析】试题分析：（1）解：abecdf；aedcfb；abdcdb；（2）证明：在ade和cbf中，ad=cb，ade=cbf，de=bf，adecbf，aed=cfbfeg=aed=cfb=efh，aghc，而且，ahgc，四边形agch是平行四边形【难度】一般20.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作：在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；依次类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形如图1，abcd中，若ab1，bc2，则abcd为1阶准菱形（1）判断与推理：邻边长分别为2和3的平行四边形是_阶准菱形；小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把abcd沿be折叠（点e在ad上），使点a落在bc边上的点f，得到四边形abfe请证明四边形abfe是菱形（2）操作、探究与计算：已知abcd的邻边长分别为1，a（a1），且是3阶准菱形，请画出abcd及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；已知abcd的邻边长分别为a，b（ab），满足a6br，b5r，请写出abcd是几阶准菱形【答案】（1）2 由折叠知：abefbe，abbf，四边形abcd是平行四边形，aebf，aebfbe，aebabe，aeab，aebf，四边形abfe是平行四边形，四边形abfe是菱形；（2）如图所示：10阶准菱形【解析】解：（1）利用邻边长分别为2和3的平行四边形进行两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形：由折叠知：abefbe，abbf，四边形abcd是平行四边形，aebf，aebfbe，aebabe，aeab，aebf，四边形abfe是平行四边形，四边形abfe是菱形；（2）如图所示：a6br，b5r，a65rr31r；如图所示：故abcd是10阶准菱形【难度】困难21.如图，在菱形abcd中，e为ad中点，efac交cb的延长线于f求证：ab与ef互相平分dcfebahg【答案】连接bd，af，be，在菱形abcd中，acbdefac，efbd，又edfb，四边形edbf是平行四边形，de=bf，e为ad的中点，ae=ed，ae=bf，又aebf，四边形aebf为平行四边形，即ab与ef互相平分【解析】试题分析：由菱形的性质可证acbd，又已知efac，所以ag=bg，ge=bd，adbc，可证四边形edbf为平行四边形，可证ge=gf，即证结论试题解析：连接bd，af，be，在菱形abcd中，acbdefac，efbd，又edfb，四边形edbf是平行四边形，de=bf，e为ad的中点，ae=ed，ae=bf，又aebf，四边形aebf为平行四边形，即ab与ef互相平分【难度】一般22.如图，abcd是正方形，beac，ae=ac，cfae，求证：aeb=2bcf。【答案】证明：连接bd交ac于o，过点a作ahbe于h。beac，ahbeahac又在正方形abcd中，acbd，ahob ， ao=bo，aobo四边形aobh正方形ah=ao=ae=ac，ah=aeh=30，又be/ac，ae/cf，四边形acfe是菱形，acf=aeh=30，ac是正方形的对角线，acb=45，bcf=15，aeb=2bcf。【解析】试题分析：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质通过连接正方形的对角线构造正方形ahbo，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题。由be/ac，cf/ae，ae=ac，可知四边形aefc是菱形，作ahbe于h，根据正方形的性质可知四边形ah