高考数学一轮复习 5.2等差数列及其前n项和练习 理.doc

第二节等差数列及其前n项和一、等差数列的概念1定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这样的数列叫做等差数列，记作数列，首项记作a1，公差记作d.2符号表示： an1and(nn*)二、通项公式若数列为等差数列，则ana1(n1)dam(nm)d.三、前n项和公式snna1d.四、等差中项如果三数a，a，b成等差数列，则a叫做a和b的等差中项，即a.五、等差数列的判定方法1定义法： an1and (常数)(nn*)是等差数列2中项公式法： 2an1anan2(nn*)是等差数列3通项公式法： anknb(k，b是常数)(nn*)是等差数列4前n项和公式法：snan2bn(a，b是常数)(nn*)是等差数列六、用函数观点认识等差数列1andna1d，d0时是关于n的一次函数2snn2n，d0时是关于n的常数项为零的二次函数七、等差数列的重要性质1在等差数列中，若pqmn，则有apaqaman；若2mpq，则有2amapaq(p，q，m，nn*，简称为下标和性质)2在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，ank，an2k，an3k，为等差数列，公差为kd.3若数列是等差数列，sn是其前n项的和，那么sk，s2ksk，s3ks2k(kn*)也成等差数列，公差为k2d.1已知数列an为等差数列，若a23，a1a612，则a7a8a945解析：因为数列an为等差数列，故有解得所以a7a8a93a121d45.2设sn是等差数列an的前n项和，a12，a53a3，则s9(b)a72b54c54 d72解析：由a12，a53a3得a14d3(a12d)，即da12，所以s99a1d929854，故选b.3各项不为零的等差数列an中，2a3a2a110，则a7的值为4解析：由2a3a2a110，得2(a3a11)a04a7a0，a7(4a7)0.a70，a74.4已知等差数列an的前n项和为sn，且s9s420，则s13的值为52解析：因为数列an是等差数列，s9s420，所以5a720，即a74，所以s1313452.高考方向1.以选择题、填空题的形式考查等差数列的基本运算与性质.2.在解答题中与等比数列、数列求和等问题综合考查.1(2013新课标全国卷)设anbncn的三边长分别为an，bn，cn，anbncn的面积为sn，n1，2，3，.若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则(b)asn为递减数列 bsn为递增数列cs2n1为递增数列，s2n为递减数列 ds2n1为递减数列，s2n为递增数列2(2014安徽卷)数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q1解析：利用等差数列、等比数列的通项公式求解设等差数列an的公差为d，则a11a312d，a55a352d成等比数列，所以(a312d)(a352d)(a33)2，解得d1，所以q1.3(2014天津卷)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，sn为其前n项和若s1，s2，s4成等比数列，则a1的值为解析：根据等差数列的前n项和公式求出s1，s2，s4的表达式，然后利用等比数列的性质求解等差数列的前n项和为snna1d，所以s1，s2，s4分别为a1，2a11，4a16.因为s1，s2，s4成等比数列，所以(2a11)2a1(4a16)，解方程得a1.1若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2b22，则a5b5(c)a5 b16 c80 d160解析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则da2a11，q2，则a5a14d5，b5b1q416，所以a5b580，故选c.2设各项均为正数的数列的前n项和为sn，已知数列是首项为1，公差为1的等差数列 (1)求数列的通项公式；(2)令bn，若不等式i对任意nn*都成立，求实数l的取值范围解析：(1)数列是首项为1，公差为1的等差数列，11n.snn2.当n1时，a1s11；当n2时，ansnsn1n22n1.又a11适合上式，an2n1(nn*)(2)bn，ib1b2bn.故要使不等式i对任意nn*都成立，只需对任意nn*都成立，得l对任意nn*都成立令cn，则1.cn1c1.l.实数l的取值范围为.课时作业1等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为 (b)a1 b2 c3 d4解析：由等差中项的性质知a35.又a47，da4a32.故选b.2等差数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行235第二行8614第三行11913则a4的值为(a)a18 b15 c12 d20解析：由题意可得 a13，a28，a313，故此等差数列的公差为5，故a4a3d18，故选a.3已知等差数列an的前n项和为sn，且s210，s555，则过点p(n，an)和q(n2，an2)(nn*)的直线的斜率是(a)a4 b3 c2 d1解析：由题意知解得a13，d4.直线的斜率为4，故选a.4设an是等差数列，若a23，a713，则数列an的前8项之和为(c)a128 b80 c64 d56解析：根据等差数列的性质知a1a8a2a7，则s84(a2a7)4(313)64，故选c.5设函数f(x)2xcos x，an是公差为的等差数列，f(a1)f(a2)f(a5)5，则f(a3)2a1a5(d)a0 b.c. d.解析：f(a1)f(a2)f(a5)(2a1cos a1)(2a2cos a2)(2a5cos a5)5，即2(a1a2a5)(cos a1cos a2cos a5)5，而an是公差为的等差数列，代入2(a1a2a5)(cos a1cos a2cos a5)5，即10a3cos(a3)cos(a3)cos a3cos(a3)cos(a3)10a3(2cos 2cos1)cos a35，cos a3不是的倍数，10a35.a3.f(a3)2a1a5.故选d.6已知等差数列an的前n项和为sn，且s10(12x)dx，s2017，则s30为(a)a15 b20 c25 d30解析：s10(12x)dx(xx2)33200212，由s10，s20s10，s30s20为等差数列，解得s3015.7(2013广东卷)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a720解析：依题意2a19d10，所以3a5a73(a14d)a16d4a118d20.或3a5a72(a3a8)20.8(2013重庆卷)已知an是等差数列，a11，公差d0，sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则s864解析：因为a1，a2，a5成等比数列，则aa1a5，即(1d)21(14d)，d2.所以an1(n1)22n1，s84(115)64.9将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示aij(in*，jn*)，例如a329，若aij2 009，则ij60135791113151719解析：由2n12 009，求得n1 005，由此可知将正奇数按从小到大的顺序排列，2 009 位于第1 005个，而数表自上而下，每行所放的奇数个数，恰好与行数相等，设2 009位于第i行，则123i1 005，且123(i1)1 005，于是得1 005且1 005i(1i)2 010，i(i1)2 010，并注意到in*，所以i45，而j1 0051 00522451 00599015，故ij451560.10已知数列an满足an1，nn*，且a10.(1)求a2，a3；(2)若存在一个常数，使得数列为等差数列，求的值；(3)求数列an的通项公式解析：(1)a2，a3.(2)若为等差数列，则有，将a1，a2，a3代入，解得1.(3)由an1，得an111，取倒数，即，为等差数列，(n1)d1(n1)n，整理得an，nn*.11已知数列an满足a10，an11an(nn*)，数列bn的前n项和为sn，且数列s11，s21，s31，sn1，是首项和公比都为4的等比数列(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列an的前n项和为tn，求的值解析：(1)由