高考数学一轮复习 7.7立体几何中的向量方法课时作业 理 湘教版.doc

2016届高考数学一轮复习 7.7立体几何中的向量方法课时作业 理 湘教版一、选择题1.已知ab（1,5，2），bc（3,1，z），若abbc，bp（x1，y，3），且bp平面abc，则实数x，y，z分别为（）a.33/7，15/7，4 b.40/7，15/7，4c.40/7，2,4 d.4，40/7，15【解析】abbc，abbc0，即352z0，得z4，又bp平面abc，bpab，bpbc，bc（3,1,4），则（x1）5y60，3（x1）y120，解得x407，y157.【答案】b2.在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为 ()a. b. c. d. 【解析】以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1.则a1（0,0,1），e，d（0,1,0），（0,1，1），设平面a1ed的法向量为n1（1，y，z），则n1（1,2,2）.平面abcd的一个法向量为n2（0,0,1），cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.【答案】b3.已知正四面体abcd，设异面直线ab与cd所成的角为，侧棱ab与底面bcd所成的角为，侧面abc与底面bcd所成的角为，则()a. b. c. d.【解析】如图，取底面bcd的中心为点o，连接ao，bo，易知abo，取bc的中点e，连接ae、oe，易知aeo，oboe，0，故选b.【答案】b4.一个四面体中如果有三条棱两两互相垂直，且垂足不是同一点，这个三条棱就象中国武术中的兵器三节棍，所以，我们常把这类四面体称为“三节棍体”.三节棍体abcd四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为a（0，0，0），b（0，2，0），c（4，2，0），d（0，0，2），则此三节棍体外接球的体积为（ ）a.66 b.86c.123 d.163【解析】易知棱ab,bc,ad两两垂直，三节棍体外接球的球心坐标是棱cd中点(2,1,1)，所以三节棍体abcd外接球的半径为r=，球的体积为v=【答案】b5已知在长方体abcda1b1c1d1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点a1到截面ab1d1的距离是()a. b.c. d.【解析】如图，建立坐标系dxyz，则a1(2,0,4)，a(2,0,0)，b1(2,2,4)，d1(0,0,4)，(2,0,4)，(0,2,4)，(0,0,4)，设平面ab1d1的法向量为n(x，y，z)，则即解得x2z且y2z，不妨设n(2，2,1)，设点a1到平面ab1d1的距离为d，则d.【答案】c6.正三棱柱abc-a1b1c1的底面边长为3，侧棱aa1=，d是cb延长线上一点，且bd=bc，则二面角b1-ad-b的大小为（）a.b.c.d. 【解析】取bc的中点o，连ao由题意知，平面abc平面，aobc,ao平面，以o为原点，建立如图所示空间直角坐标系，abc-a1b1c1为正三棱柱.o为bc的中点.y轴与，平行,bd=bc.则，ab，d，b1， ,由题意平面abd， 为平面abd的法向量设平面ab1d的法向量为n2=(x,y,z)，则，即不妨设n2=，由，得.故所求二面角b1-ad-b的大小为【答案】a二、填空题7.已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点p在线段bd1上.当apc最大时，三棱锥pabc的体积为 .【解析】以b为坐标原点，ba为x轴，bc为y轴，bb1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，设bp=bd1，可得p(，)，再由cosapcapcp|ap|cp|可求得当13时，apc最大，故vpab【答案】1188.(2013金华模拟)p是二面角-ab-棱上的一点，分别在，平面上引射线pm，pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角-ab-的大小为 .【解析】不妨设pma，pnb，如图，作meab于e ，nfa b于f.epmfpn45，pea，pfb，abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角-ab-的大小为90.【答案】909将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角abdc，有如下四个结论：acbd；acd是等边三角形；ab与平面bcd所成的角为60；ab与cd所成的角为60.其中正确的序号是_(写出你认为正确的结论的序号)【解析】取bd中点o，连接ao、co，则aobd，cobd，bd面aoc，acbd，故对，又acaoadcd，acd是等边三角形，故对而abd是ab与平面bcd所成的角，应为45，故错.又aabd(设aba)，则a2a22a2a22aa2aa2a2cosa，d，cosa，d，ab与cd所成角为60，故对.【答案】10.正四棱柱abcd-a1b1c1d1中，底面边长为，侧棱长为4，e，f分别为棱ab，bc的中点，efbd=g则三棱锥b1-efd1的体积v= 【解析】以d为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,所以sd1ef=设平面的方程为：，将点代入得平面的方程为：，其法向量为n=，点到平面的距离d=，即为所求【答案】三、解答题11.如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，四边形abcd是菱形，ac2，bd23，e是pb上任意一点.(1)求证：acde；(2)已知二面角apbd的余弦值为155，若e为pb的中点，求ec与平面pab所成角的正弦值.【解析】(1)证明：pd平面abcd，ac平面abcd，pdac，四边形abcd是菱形，bdac，又bdpdd，ac平面pbd，de平面pbd，acde.(2)在pdb中，eopd，eo平面abcd，分别以oa，ob，oe所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设pdt，则a(1,0,0)，b(0，3，0)，c(1,0,0)，e0，0，t2，p(0，3，t)，ab(1，3，0)，ap(1，3，t).由(1)知，平面pbd的一个法向量为n1(1,0,0)，设平面pab的法向量为n2(x，y，z)，则根据 n2ab0， n2ap0，得 x3y0， x3ytz0，令y1，得平面pab的一个法向量为n23，1，23t.二面角apbd的余弦值为155，则|cosn1，n2|155，即3412t2155，解得t23或t23(舍去)，p(0，3，23).设ec与平面pab所成的角为，又ec(1,0，3)，n2(3，1,1)，则sin |cos ec，n2|2325155，ec与平面pab所成角的正弦值为155.12.(2014江西模拟)如图，四边形abcd是边长为3的正方形，de平面abcd，afde，de3af，be与平面abcd所成的角为60.(1)求证：ac平面bde；(2)求二面角fbed的余弦值；(3)设点m是线段bd上一个动点，试确定点m的位置，使得am平面bef，并证明你的结论.【解析】(1)证明：de平面abcd，deac，四边形abcd是正方形，acbd，又debdd，ac平面bde.(2)de平面abcd，ebd就是be与平面abcd所成的角，即ebd60.edbd3.由ad3，得de36，af6.如图，分别以da，dc，de所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则a(3,0,0)，f(3,0，6)，e(0,0,36)，b(3,3,0)，c(0,3,0)，bf(0，3，6)，ef(3,0，26).设平面bef的一个法向量为n(x，y，z)，则nbf0，nef0，即3y6z0，3x26z0.令z6，则n(4,2，6).ac平面bde，ca(3，3,0)为平面bde的一个法向量，cosn，canca|n|ca|626321313.故二面角fbed的余弦值为1313.(3)依题意，设m(t，t,0)(t0)，则am(t3，t,0)，am平面bef，amn0，即4(t3)2t0，解得t2.点m的坐标为(2,2,0)，此时dm23db，点m是线段bd上靠近b点的三等分点.13.如图，在边长为4的菱形abcd中，dab60，点e，f分别在边cd，cb上，点e与点c，d不重合，efac，efaco.沿ef将cef翻折到pef的位置，使平面pef平面abfed.(1)求证：bd平面poa；(2)当pb取得最小值时，请解答以下问题：求四棱锥pbdef的体积；若点q满足aqqp(0)，试探究：直线oq与平面pbd所成角的大小是否一定大于/4？并说明理由.【解析】(1)证明：菱形abcd的对角线互相垂直，bdac，bdao，efac，poef.平面pef平面abfed，且po平面pef，po平面abfed.bd平面abfed，pobd.又aopoo，bd平面poa.(2)如图，以o为原点，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.设aobdh，dab60，bdc为等边三角形，故bd4，hb2，hc23.又设pox(0x0)，a33a，c3c，解得a331，c31.q331，0，31，oq331，0，31.设平面pbd的法向量为n(x