高考数学一轮复习 7.5椭圆（一）练习 理.doc

第五节椭圆(一)一、椭圆的定义平面内与两定点f1，f2的距离的和等于定长2a的点的轨迹叫做椭圆，即点集mp|pf1|pf2|2a，2a|f1f2|是椭圆其中两定点f1，f2叫做焦点，定点间的距离叫做焦距(注意：2a时，点的轨迹为线段f1f2，2ab0)；焦点在y轴上：1(ab0)三、椭圆的标准方程、性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形中心(0，0)(0，0)焦点f1(c，0)，f2(c，0)f1(0，c)，f2(0，c)顶点(a，0)，(0，b)(b，0)，(0，a)轴长长轴|a1a2|的长2a，短轴|b1b2|的长2b，|b2o|b，|of2|c，|b2f2|a 离心率e(0e1b2，c2a2b212，解得k1.1(2013新课标全国卷)已知椭圆e：1(ab0)的右焦点为f(3，0)，过点f的直线交椭圆于a、b两点若ab的中点坐标为(1，1)，则e的方程为(d)a.1b.1c.1 d.1解析：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x22，y1y22，得0，所以kab，又kab，又9c2a2b2，解得b29，a218，所以椭圆方程为1，故选d.2如图所示，设p是圆x2y225上的动点，点d是p 在x轴上的投影，m为pd上一点，且|md|pd|.(1)当点p在圆上运动时，求点m的轨迹c的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被c所截线段的长度. 解析： (1)设点m的坐标为(x，y)，点p的坐标为(xp，yp)，由已知得点p在圆上，x225，即轨迹c的方程为1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y(x3)设直线与c的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入c的方程，得1，即x23x80.x1，x2.线段ab的长度为|ab|.1设f1，f2分别是椭圆1的左、右焦点，p为椭圆上任一点，点m的坐标为(6，4)，则|pm|pf1|的最大值为15解析：|pf1|pf2|10，|pf1|10|pf2|，|pm|pf1|10|pm|易知点m在椭圆外，连接mf2并延长交椭圆于点p，此时|pm|pf2|取最大值|mf2|，故|pm|pf1|的最大值为10|mf2|1015.2设椭圆c：1(ab0)的右焦点f(，0)，长轴长为4.(1)求c的方程；(2)点p是圆x2y2b2上第一象限内的任意一点，过p作圆的切线交椭圆c于q(x1，y1)，r(x2，y2)(y1y2)两点证明：|pq|fq|2；求|qr|的最大值(1)解析：由题得a2，c，b2a2c21.代入得y21.(2)证明：q(x1，y1)在椭圆上，y1，则|qf|2x1.|pq| x1.|pq|fq|2.解析：方法一由同理得|pr|fr|2，则|qr|qf|fr|4.又|qr|qf|fr|2|qr|4|qr|2.当qr过点f时取最大值2.方法二设切线为ykxm，m0，由题qr与圆相切得1，m2k21.再由得(14k2)x28kmx4m240.x1x2，由同理可求|pr|x2，|rq|(x1x2)44.又m23k22m|k|，|qr|42，当mk时，取最大值2.|qr|的最大值为2.课时作业1(2013海淀模拟)2m6是方程1表示椭圆的(b)a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：若1表示椭圆，则有所以2m6且m4. 故2m|mn|.由椭圆定义知，点p的轨迹是椭圆故选b.4已知椭圆1的左、右焦点分别为f1，f2，点p在椭圆上，若p，f1，f2是一个直角三角形的三个顶点，p为直角顶点，则点p到x轴的距离为(c)a. b3 c. d.解析：由题意 |pf1|pf2|18.又spf1f2182h(其中h为p到x轴的距离)，h.故选c.5设f1、f2分别是椭圆y21的左、右焦点，p是第一象限内该椭圆上的一点，且pf1pf2，求点p的横坐标为(d)a1 b. c2 d.解析：c，f1(，0)，f2(，0)，设p(x，y)，pf1pf2，0.即(x，y)(x，y)0，x2y230.又y21，x2(1)30，解得x，x0，x.6与椭圆1共焦点，且过m(3，2)的椭圆方程为1解析：c2945，设所求椭圆方程为1，代入(3，2)得a215或a23(舍去)所求方程为1.7椭圆1的焦点为f1，f2，过f2垂直于x轴的直线交椭圆于一点p，那么|pf1|的值是解析：设p(3，y)，则1，解得y，|pf2|.|pf1|pf2|2a10，|pf1|10.8如图，椭圆1(ab0)上一点p，f1、f2为椭圆的焦点，若f1pf2，则pf1f2的面积等于b2tan_解析：在pf1f2中，由余弦定理得：2|pf1|pf2|cos |pf1|2|pf2|2|f1f2|2(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|f1f2|2(2a)22|pf1|pf2|(2c)2(其中c2a2b2)所以|pf1|pf2|(1cos )2b2，所以sf1pf2|pf1|pf2|sin sin b2tan .9(2013北京卷)已知a、b、c是椭圆w：y21上的三个点，o是坐标原点(1)当点b是w的右顶点，且四边形oabc为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点b不是w的顶点时，判断四边形oabc是否可能为菱形，并说明理由解析：(1)椭圆w：y21的右顶点b的坐标为(2，0)因为四边形oabc为菱形，所以ac与ob相互垂直平分. 所以可设a(1，m)，代入椭圆方程得m21，即m，所以菱形oabc的面积是|ob|ac|22|m|. (2)假设四边形oabc为菱形因为点b不是w的顶点，且直线ac不过原点，所以可设ac的方程为ykxm(k0，m0). 由消去y并整理得(14k2)x28kmx4m240. 设a(x1，y1)，c(x2，y2)，则，km. 所以ac的中点为m.因为m为ac和ob的交点，所以直线ob的斜率为. 因为k1，所以ac与ob不垂直所以oabc不是菱形，与假设矛盾. 所以当点b不是w的顶点时，四边形oabc不可能是. 10已知椭圆e：1(ab0)过点p(3，1)，其左、右焦点分别为f1，f2，且6.(1)求椭圆e的方程；(2)若m，n是直线x5上的两个动点，且f1mf2n，则以mn为直径的圆c是否过定点？请说明理由解析：(1)设点f1，f2的坐标分别为(c，0)，(c，0)(c0)，则(3c，1)，(3c，1)，故(3c)(3c)110c26，可得c4，所以2a|pf1|pf2|6，故a3，b2a2c218162，所以椭圆e的方程为1.