高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第5讲 指数与指数函数.doc

第5讲指数与指数函数最新考纲1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型知 识 梳 理1分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nn*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是(a0，m，nn*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sq.2指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域(1)r值域(2)(0，)性质(3)过定点(0,1)(4)当x0时，y1；当x0时，0y1(5)当x0时，0y1；当x0时，y1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)()44.()(2).()(3)函数y2x1是指数函数()(4)函数y|x|的值域是(，1()2已知函数f(x)ax(0a1)，对于下列命题：若x0，则0f(x)1；若x1，则f(x)0；若f(x1)f(x2)，则x1x2.其中正确的命题()a有3个b有2个 c有1个d不存在解析结合指数函数图象可知正确答案a3(2014陕西卷)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()af(x)x3bf(x)3xcf(x)xdf(x)x解析axyaxay，满足f(xy)f(x)f(y)，可先排除a，c，又因为f(x)为单调递增函数，故选b.答案b4若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_解析由y(a21)x在(，)上为减函数，得0a211，1a22，即1a或a1.答案(，1)(1，)5(人教a必修1p52例4(1)改编)计算： _.答案4a考点一指数幂的运算例1 化简下列各式：(1)(0.06)2.50；(2).规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数考点二指数函数的图象及其应用例2 (1)函数f(x)axb的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()aa1，b0 ba1，b0c0a1，b0 d0a1，b0(2)已知实数a，b满足等式2 014a2 015b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()a1个b2个 c3个d4个解析(1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0，故选d.(2)设2 014a2 015bt，如图所示，由函数图象，可得若t1，则有ab0；若t1，则有ab0；若0t1，则有ab0.故可能成立，而不可能成立答案(1)d(2)b规律方法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解【训练2】 (2015衡水模拟)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解析曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1答案1,1考点三指数函数的性质及其应用例3 (1)下列各式比较大小正确的是()a1.72.51.73b0.610.62c0.80.11.250.2d1.70.30.93.1(2)若函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析(1)a中，函数y1.7x是增函数，2.53，1.72.51.73.b中，y0.6x在r上是减函数，10.62.c中，(0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小y1.25x在r上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11,00.93.10.93.1.(2)若a1，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)为减函数，不合题意若0a1，有a14，a2m，故a，m，检验知符合题意答案(1)b(2)规律方法(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可【训练3】 设函数f(x)kaxax(a0且a1)是定义域为r的奇函数(1)若f(1)0，试求不等式f(x22x)f(x4)0的解集；(2)若f(1)，且g(x)a2xa2x4f(x)，求g(x)在1，)上的最小值解因为f(x)是定义域为r的奇函数，所以f(0)0，所以k10，即k1，f(x)axax.(1)因为f(1)0，所以a0，又a0且a1，所以a1.因为f(x)axln aaxln a(axax)ln a0，所以f(x)在r上为增函数，原不等式可化为f(x22x)f(4x)，所以x22x4x，即x23x40，所以x1或x1或x0，且a1)的图象可能是()解析当x1时，y0，故函数yaxa(a0，且a1)的图象必过点(1,0)，显然只有c符合答案c3(2014武汉模拟)设a()1.4，b，cln ，则a，b，c的大小关系是()aabcbbcaccabdbac解析cln 1()0a()1.4b，故选d.答案d4(2014东北三校联考)函数f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点a，下列函数中图象不经过点a的是()ayby|x2|cy2x1dylog2(2x)解析f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点(1,1)，又由0知(1,1)不在函数y的图象上答案a5若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()a(，2b2，)c2，)d(，2解析由f(1)得a2，a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减故选b.答案b二、填空题6.(a0)的值是_解析.答案7函数f(x)ax(a0，a1)在1,2中的最大值比最小值大，则a的值为_解析当0a1时，aa2，a或a0(舍去)当a1时，a2a，a或a0(舍去)综上所述，a或.答案或8已知函数f(x)ax(a0，且a1)，且f(2)f(3)，则a的取值范围是_解析因为f(x)axx，且f(2)f(3)，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以1，解得0a1.答案(0,1)三、解答题9求下列函数的定义域、值域及单调性(1)y6x2x2；(2)y|x|.解(1)函数的定义域为r，令u6x2x2，则yu.二次函数u6x2x222，函数的值域为.又二次函数u6x2x2的对称轴为x，在上u6x2x2是减函数，在上是增函数，又函数yu是减函数，y6x2x2在上是增函数，在上是减函数(2)定义域为xr.|x|0，y|x|x|01.故y|x|的值域为y|y1又y|x|是偶函数，且y|x|所以函数y|x|在(，0上是减函数，在0，)上是增函数(此题可借助图象思考)10已知f(x)是定义在实数集r上的奇函数，且当x(0,1)时，f(x).(1)求函数f(x)在(1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性解(1)f(x)是xr上的奇函数，f(0)0.设x(1,0)，则x(0,1)f(x)f(x)，f(x)，f(x)(2)设0x1x21，f(x1)f(x2)，0x1x21，2x12x2，2x1x2201，f(x1)f(x2)0，f(x)在(0,1)上为减函数能力提升题组(建议用时：25分钟)11函数yaxb(a0且a1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为()a(1，)b(0，)c(0,1)d无法确定解析函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在负半轴上而当x0时，ya0b1b，由题意得解得所以ab(0,1)答案c12若关于x的方程|ax1|2a(a0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是()a(0,1)(1，)b(0,1)c(1，)d解析方程|ax1|2a(a0且a1)有两个实数根转化为函数y|ax1|与y2a有两个交点当0a1时，如图(1)，02a1，即0a.当a1时，如图(2)，而y2a1不符合要求综上，0a.答案d13当x2,2时，ax0，且a1)，则实数a的范围是_解析x2,2时，ax0，且a1)，若a1，yax是一个增函数，则有a22，可得a，故有1a；若0a1，yax是一个减函数，则有a2，故有a1.综上知a(1，)答案(1