福建省新课标高中总复习（第1轮）课件：文数第十章第2节圆与方程.ppt

1 圆心为点c 8 3 且过点a 5 1 的圆的标准方程为 a x 8 2 y 3 2 5b x 8 2 y 3 2 5c x 8 2 y 3 2 25d x 8 2 y 3 2 25半径所以所求的圆的标准方程为 x 8 2 y 3 2 25 选d d 2 方程y 对应的曲线是 原曲线方程可化为x2 y2 4 y 0 表示下半圆 选a a 3 半径为5且圆心在y轴上的圆与x轴相切 则圆的方程为 a x2 y2 10y 0b x2 y2 10y 0或x2 y2 10y 0c x2 y2 10y 0d x2 y2 10 x 0或x2 y2 10 x 0 b 设圆心为 0 b 由题意 则圆的方程为x2 y b 2 b2 因为半径为5 所以 5 b 5 故圆的方程为x2 y2 10y 0或x2 y2 10y 0 选b 易错点 圆心的位置可能在y轴上半轴或下半轴 4 已知圆c1 x 1 2 y 1 2 1 圆c2与圆c1关于直线x y 1 0对称 则圆c2的方程为 设圆c2的圆心为 a b 则依题意 对称圆的半径不变 为1 故填 x 2 2 y 2 2 1 x 2 2 y 2 2 1 有 解得 a 2b 2 5 若圆x2 y2 a2 1 x 2ay a 0关于直线x y 1 0对称 则实数a 依题意直线x y 1 0 过已知圆的圆心所以解得a 3或a 1 当a 1时 方程x2 y2 a2 1 x 2ay a 0不能表示圆 所以只能取a 3 填3 易错点 方程x2 y2 dx ey f 0仅在d2 e2 4f 0时才表示圆 因此需检验不等式是否成立 3 1 圆的定义 平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 轨迹 叫做圆 定点叫做圆心 定长叫做圆的半径 2 圆的方程 1 标准方程 以 a b 为圆心 r r 0 为半径的圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 2 一般方程 x2 y2 dx ey f 0 当d2 e2 4f 0时 表示圆的一般方程 其圆心的坐标为半径当d2 e2 4f 0时 只表示一个点 d2 e2 当d2 e2 4f 0时 不表示任何图形 3 点与圆的位置关系圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 圆心c a b 半径r 若点m x0 y0 在圆c上 则 x0 a 2 y0 b 2 r2 若点m x0 y0 在圆c外 则 x0 a 2 y0 b 2 r2 若点m x0 y0 在圆c内 则 x0 a 2 y0 b 2 r2 4 对称问题圆 x a 2 y b 2 r2关于直线x 0的对称圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 关于直线y 0的对称圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 关于直线y x的对称圆的方程为 x b 2 y a 2 r2 关于直线y x的对称圆的方程为 x b 2 y a 2 r2 5 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分这条弦所对的两段弧 若ab为圆o的弦 圆心o到弦ab的距离为d 圆半径为r 则 重点突破 圆的方程 求过两点a 1 4 b 3 2 且圆心在直线y 0上的圆的标准方程 并判断点p 2 4 与圆的位置关系 求过a 4 1 b 6 3 c 3 0 三点的圆的方程 并求这个圆半径长和圆心c坐标 欲求圆的标准方程 只需求出圆心坐标和圆的半径 而要判断点p与圆的位置关系 只需看点p与圆心的距离和圆的半径的大小关系 设出圆的方程 解方程组即可 解法1 待定系数法 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 因为圆心在y 0上 故b 0 所以圆的方程为 x a 2 y2 r2又因为该圆过a 1 4 b 3 2 两点 则 1 a 2 16 r2 3 a 2 4 r2 解得a 1 r2 20 解法2 直接求出圆心坐标和半径 因为圆过a 1 4 b 3 2 两点 所以圆心必在线段ab的中垂线l上 又因为kab 1 故l的斜率为1 又ab的中点为 2 3 故线段ab的中垂线l的方程为x y 1 0 又知圆心在直线y 0上 故圆心为c 1 0 所以半径故所求圆的方程为 x 1 2 y2 20 又点p 2 4 到圆心 1 0 的距离为所以点p在圆外 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 因为三点a 4 1 b 6 3 c 3 0 都在圆上 所以它们的坐标都是方程的解 将它们的坐标代入方程得 42 12 4d e f 062 3 2 6d 3e f 0 3 2 02 3d 0 e f 0 解得 d 2e 6f 15 所以圆的方程为x2 y2 2x 6y 15 0 即 x 1 2 y 3 2 25 所以圆心坐标为 1 3 半径为r 5 待定系数法 是求圆的方程的常用方法 一般的 在选用圆的方程形式时 若问题涉及圆心和半径 则选用标准方程比较简便 否则选用一般方程方便些 根据下列条件求圆的方程 圆过p 4 2 q 1 3 两点 且在y轴上截得的线段长为4 已知圆的半径为 圆心在直线y 2x上 圆被直线x y 0截得的弦长为4 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 4d 2e f 20d 3e f 10 令x 0 由 得y2 ey f 0 由已知其中y1 y2是方程 的两根 y1 y2 2 y1 y2 2 4y1y2 e2 4f 48 联立方程解得d 2 e 0 f 12或d 10 e 8 f 4 故所求的圆的方程为x2 y2 2x 12 0或x2 y2 10 x 8y 4 0 将p q点的坐标代入 式得 解法1 设圆的方程为 x a 2 y b 2 10 由圆心在直线y 2x上 得b 2a 由圆在直线x y 0截得的弦长为4 将y x代入 x a 2 y b 2 10 整理得2x2 2 a b x a2 b2 10 0 由弦长公式得化简得a b 2 解 得a 2 b 4或a 2 b 4 所以所求圆方程为 x 2 2 y 4 2 10或 x 2 2 y 4 2 10 解法2 根据图形的几何性质 半径 弦长的一半 弦心距构成直角三角形 由勾股定理 可得弦心距因为弦心距等于圆心 a b 到直线x y 0的距离 所以又已知b 2a 解得a 2 b 4或a 2 b 4 所以所求圆方程为 x 2 2 y 4 2 10或 x 2 2 y 4 2 10 重点突破 与圆有关的最值问题已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求y x的最大值和最小值 求x2 y2的最大值和最小值 根据代数式的几何意义 借助于平面几何知识 数形结合求解 方程x2 y2 4x 1 0变形为 x 2 2 y2 3 所表示的图形是圆 y x看作是直线y x b在y轴上的截距 当直线y x b与圆相切时 纵截距b取得最大值和最小值 此时解得b 2 所以y x的最大值为 2 最小值为 2 x2 y2表示圆上一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为所以x2 y2的最大值是 2 2 7 4 最小值是 2 2 7 4 涉及与圆有关的最值 可以借助圆的几何性质 依照数形结合思想进行求解 联想过两点的直线的斜率公式 两点间距离公式 过定点的直线系或平行线系等知识的应用 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求的最大值与最小值 设 k 即y kx 当直线y kx与圆相切时 斜率k取得最大值和最小值 因为圆心 2 0 到直线y kx的距离为 所以得k 所以 重点突破 直线与圆的方程的应用图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图 该圆拱跨度ab 20m 拱高op 4m 在建造时每隔4m需用一个支柱支撑 求支柱a2p2的高度 精确到0 01 先建立直角坐标系 只需求出p2的纵坐标 就可得支柱a2p2的高度 建立如图所示的直角坐标系 设圆心坐标是 0 b 圆的半径是r 则圆的方程是x2 y b 2 r2 下面确定b和r的值 因为p b都在圆上 所以它们的坐标 0 4 10 0 都满足方程x2 y b 2 r2 02 4 b 2 r2102 0 b 2 r2 解得 b 10 5 r2 14 52 于是得到方程组 所以圆的方程为x2 y 10 5 2 14 52把点p2的横坐标x 2代入圆的方程 得 2 2 y 10 5 2 14 52 因为y 0 所以 10 5 14 36 10 5 3 86m答 支柱a2p2的长度约为3 86m 直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用 用坐标方法解决几何问题时 先用坐标和方程表示相应的几何元素 点 直线 圆 将几何问题转化为代数问题 然后通过代数运算解决代数问题 最后解释代数运算的结果的几何含义 得到几何问题的结论 一艘轮船在沿直线返回港口的途中 接到气象台的台风预报 台风中心o位于轮船a正西70km处 受影响的范围是半径为30km的圆形区域 已知港口b位于台风中心正北40km处 如果这艘轮船不改变航线 那么它是否会受到台风的影响 以台风中心为原点o 东西方向为x轴 建立如图所示的直角坐标系 其中 取10km为单位长度 则受台风影响的圆形区域对 应的圆心为o的圆的方程为x2 y2 9 轮船航线所在直线l的方程为4x 7y 28 0 因为圆心o到直线的距离所以这艘轮船不改变航线 不会受到台风的影响 已知圆x2 y2 x 6y m 0和直线x 2y 3 0交于p q两点 且op oq o为坐标原点 求该圆的圆心坐标及半径 利用op oq得到o点在以pq为直径的圆上 在利用勾股定理求解 设已知圆的圆心为c 弦pq中点为m 因为cm pq 所以kcm 2 所以cm所在直线的方程为即 y 2x 4 y 2x 4x 2y 3 0 解得m的坐标为 1 2 由方程组 则以pq为直径的圆可设为 x 1 2 y 2 2 r2 因为op oq所以点o在以pq为直径的圆上 所以 0 1 2 0 2 2 r2 即r2 5 mq2 5 在rt cmq中 因为cq2 cm2 mq2 所以所以m 3 所以半径为 圆心为 3 在解决与圆有关的问题中 借助与圆的几何性质 往往会使得思路简洁明了 简化运算 1 求圆的方程常用待定系数法 步骤大致是 根据题意 选择标准方程或一般方程 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 解出a b r或d e f代入标准方程或一般方程 2 研究与圆有关的最值问题时 可借助图形的性质 利用数形结合求解 一般地 形如形式的最值问题 可转化为动直线的斜率的最值问题 形如t ax by形式的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 形如v x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点的最值问题 3 点与圆的位置关系可利用点与圆心的距离和半径r的大小来判断 4 圆的问题的解题技巧 处理有关圆的问题 要特别注意圆心半径及平面几何知识的应用 如弦心距 半径 弦长的一半构成的直角三角形经常用到 利用圆的一些特殊几何性质解题 往往使问题简化 1 2009 辽宁卷 已知圆c与直线x y 0及x y 4 0都相切 圆心在直线x y 0上 则圆c的方程为 a x 1 2 y 1 2 2b x 1 2 y 1 2 2c x 1 2 y 1 2 2d x