福建省高三数学文数总复习（第1轮） 第十四章第2节直接证明与间接证明课件 新人教A版.ppt

1 在不等式 x2 3 3x 2 a2 ab b2 0中恒成立的不等式有 a b c d d 因为故不等式 恒成立 当a 1 b 1时 2 故不等式 不恒成立 由a2 ab b2 知不等式 恒成立 易错点 因忽视均值不等式成立的前提条件而产生错误 2 设a 0 b 0 则下列不等式中不一定成立的是 a 2b ln ab 1 0c a2 b2 2 2a 2bd a3 b3 2ab2选项a由基本不等式易知正确 选项b由对数函数性质易知正确 选项c由基本不等式得 a2 1 b2 1 2a 2b 命题成立 选项d通过排除易知命题错误 d 3 如果四棱锥的四条侧棱长都相等 就称它为 等腰四棱锥 四条侧棱称为它的腰 以下四个命题中 假命题是 a 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等b 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补c 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆d 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上易错点 由于对几何模型不熟悉而产生错误 b 4 在用反证法证明 存在实数x 使得x2 x 1 0 时 其假设是 对所有的实数x x2 x 1 0 5 已知点an n an 为函数y 的图象上的点 bn n bn 为函数y x图象上的点 其中n n 设cn an bn 则cn与cn 1的大小关系为 因为cn随着n的增大而减小 所以cn cn 1 易错点 不能正确判断数列 cn 的单调性而产生错误 cn cn 1 1 直接证明 1 综合法 定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立的证明方法 综合法是一种由因导果的证明方法 证明步骤用符号表示为 p0 已知 p1 p2 pn 结论 2 分析法 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件或定理 定义 公理等 为止的证明方法 证明步骤用符号表示为 b 结论 b1 b2 bn a 已知 2 间接证明反证法 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出假设与已知矛盾或与某个真命题矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 重点突破 综合法的应用设a b c三数成等比数列 而x y分别为a b和b c的等差中项 试证 运用综合法进行证明有关问题时 常常先把已知条件 翻译 成一些字母或数字关系式 再找它们与所要求证命题之间的关系 经过一系列的中间推理 最后导出所要求证的结论 依题意 a b c三数成等比数列 即由比例性质有 又由题设 所以原题得证 巧妙利用比例的性质是解决本例的关键 已知a b c都是实数 求证 a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 因为a b r 所以a2 b2 2ab c b r 所以c2 b2 2cb a c r 所以a2 c2 2ac 将以上三个不等式相加得2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 即a2 b2 c2 ab bc ca 在 的两边同时加上a2 b2 c2 得3 a2 b2 c2 a b c 2 即a2 b2 c2 a b c 2 在不等式 的两边同时加上2 ab bc ca 得 a b c 2 3 ab bc ca 即 a b c 2 ab bc ca 由 得a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 重点突破 分析法的应用设a 0 b 0 2c a b 求证 不等式的结构复杂 由题设不易 切入 展开推理 所以尝试运用分析法 找所要求证问题的等价命题 要证只要证即证也就是证 a c 20 也就是证a b 2c 显然成立 故用分析法证明问题时 一定要恰当运用 要证 只要证 即证 也即证 等用语 已知函数f x tanx x 0 若x1 x2 0 且x1 x2 求证 f x1 f x2 要证 f x1 f x2 即证明只需证明 只需证明 由于x1 x2 0 故x1 x2 0 所以cosx1cosx2 0 sin x1 x2 0 1 cos x1 x2 0 故只需证明1 cos x1 x2 2cosx1cosx2 即证1 cosx1cosx2 sinx1sinx2 2cosx1cosx2 即证cos x1 x2 1 因为x1 x2 0 且x1 x2 所以上式成立 所以 重点突破 反证法的应用已知a 0 b 0 且a b 2 求证 中至少有一个小于2 已知条件较少 结论反而有三种情况 故联想到从结论的反面入手较为容易 所以考虑使用反证法 假设都不小于2 则因为a 0 b 0 所以1 b 2a 1 a 2b 所以1 1 a b 2 a b 即2 a b 这与已知a b 2矛盾 故假设不成立 即中至少有一个小于2 结论中若有 都是 都不是 至多 至少 等字眼 或直接从正面证明较为困难的问题 一般可以考虑使用反证法 在 abc中 a b c的对边分别为a b c 若a b c三边的倒数成等差数列 求证 ba b c 所以相加得与矛盾 所以b 90 不成立 所以b 90 已知a 0 求证 由已知a 0 可知b 0 要证需证即证1 a b ab 1 只需证明 即而这正是已知的 因为a 0 所以1 b 0 又所以a b ab 0 则1 a b ab 1 即 1 a 1 b 1 由a 0 1 b 0 故即 对于复杂的不等式 直接运用综合法往往不易入手 因此 通常用分析法探索证题途径 然后用综合法加以证明 所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的 分析法的特点可描述为 执果索因 即从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 分析法的优点是利于思考 因为它方向明确 思路自然 易于掌握 而综合法的优点是易于表述 条理清楚 形式简洁 1 关于综合法与分析法分析法的特点 从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 其逐步推理 实际上是寻找它的充分条件 综合法的特点 从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 实际上是寻找它的必要条件 分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法 既对立又统一 用综合法证题前往往可用分析法寻找解题思路 即所谓的分析 因此分析法既可用于寻找解题思路 也可以是完整的证明过程 在解决较为复杂的问题时 往往是两种方法相互结合使用 2 关于反证法使用反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与已知条件矛盾 也可以是与假设矛盾 或与定义 公理 定理 公式 事实矛盾 反证法的步骤 1 反设 2 推出矛盾 3 下结论 1 2009 四川卷 设v是已知平面m上所有向量的集合 对于映射f v v a v 记a的象为f a 若映射f v v满足 对所有a b v及任意实数 都有f a b f a f b 则f称为平面m上的线性变换 现有下列命题 设f是平面m上的线性变换 a b v 则f a b f a f b 若e是平面m上的单位向量 对a v 设f a a e 则f是平面m上的线性变换 对a v 设f a a 则f是平面m上的线性变换 设f是平面m上的线性变换 a v 则对任意实数k 均有f ka kf a 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 因为f是平面m上的线性变换 所以取 1 即得f a b f a f b 故 正确 任取a b m r 则f a b a b e f a f b a e b e a b e 而 e不一定等于e 故 错 同理利用定义不难验证 正确 本小题在高中数学的基础上 结合高等数学背景 综合集合 映射及平面向量等基础知识 给出一个新概念 考查学生阅读理解及推理论证能力 有利于考查学生进一步学习高等数学的能力及数学潜质 2 2009 湖北卷 已知关于x的函数f x bx2 cx bc其导函数为f x 令g x f x 记函数g x 在区间 1 1 上的最大值为m 如果函数f x 在x 1处有极值 试确定b c的值 若 b 1 证明对任意的c 都有m 2 若m k对任意的b c恒成立 试求k的最大值 因为f x x2 2bx c 由f x 在x 1处有极值 f 1 1 2b c 0f 1 b c bc b 1c 1若b 1 c 1 则f x x2 2x 1 x 1 2 0 此时f x 没有极值 若b 1 c 3 则f x x2 2x 3 x 3 x 可得 解得 或 b 1 c 3 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 1时 f x 有极大值 故b 1 c 3即为所求 证法1 g x f x x b 2 b2 c 当 b 1时 函数y f x 的对称轴x b位于区间 1 1 之外 所以f x 在 1 1 上的最值在两端点处取得 故m应是g 1 和g 1 中较大的一个 所以2m g 1 g 1 1 2b c 1 2b c 4b 4即m 2 证法2 反证法 因为 b 1 所以函数y f x 的对称轴x b位于区间 1 1 之外 所以f x 在 1 1 上的最值在两端点处取得 故m应是g 1 和g 1 中较大的一个 假设m 2 则g 1 1 2b c 2 g 1 1 2b c 2 将上述两式相加得 4 1 2b c 1 2b c 4 b 4 导致矛盾 所以m 2 g x f x x b 2 b2 c 1 当 b 1时 由 可知m 2 2 当 b 1时 函数y f x 的对称轴x b位于区间 1 1 内 此时m max g 1 g 1 g b 由f 1 f 1 4b 有f b f 1 b 1 2 0 若 1 b 0 则f 1 f