福建省新课标高中总复习（第1轮）课件：文数第十一章第1节椭圆 (2).ppt

1 了解圆锥曲线的实际背景 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2 掌握椭圆的定义 几何图形 标准方程及简单几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 3 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它们的简单几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 4 了解抛物线的定义 几何图形和标准方程 知道它们的简单几何性质 范围 对称性 顶点 准线 离心率 5 理解直线与圆锥曲线的位置关系 了解圆锥曲线的简单应用 6 理解数形结合的思想 圆锥曲线是高中数学主干知识 平面解析几何的又一核心内容 考查题型广泛 形式多样 难易题均有涉及 小题主要以椭圆 双曲线 抛物线的定义 标准方程和几何性质为主 大题主要考查直线与椭圆的位置关系 抛物线的几何性质及焦点弦问题 内容涉及交点个数问题 有关弦的中点问题及弦长问题 相交围成三角形的面积问题等 在解题过程中计算占了很大的比重 对运算求解能力有较高的要求 计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行 合理利用曲线的定义和性质将计算简化 讲求运算的合理性 如 设而不求 整体代换 等 试题淡化对图形性质的技巧处理 关注解题方向的选择及计算方法的合理性 适当关注与向量 解三角形 函数等知识的交汇 关注对数形结合 函数与方程 化归与转化 特殊与一般思想的考查 关注对整体处理问题的策略 以及待定系数法 换元法等的考查 预计2011年高考在本章的小题考查重点是椭圆 双曲线 抛物线的定义 标准方程和几何性质 特别是椭圆的离心率问题 大题综合考查直线与椭圆的位置关系 抛物线的几何性质及焦点弦问题 以及与其他知识点的综合交汇 1 已知两定点a 1 0 b 1 0 点m满足则点m的轨迹是 a 圆b 椭圆c 线段d 直线因为ab 2 所以点m在线段ab上 故选c 易错点 平面上到两个定点f1 f2的距离之和为定值 且大于的动点轨迹才是椭圆 c 2 已知椭圆 a b 0 的焦点分别为f1 f2 b 4 离心率为 过f1的直线交椭圆于a b两点 则 abf2的周长为 a 10b 12c 16d 20因为b 4 又b2 a2 c2 得a 5 c 3 由椭圆定义可知 abf2的周长为4a 20 选d d 3 椭圆x2 2y2 2的右焦点到直线y 3x的距离是 a b c 1d 将椭圆方程化为所以其右焦点坐标为 1 0 它到直线y x的距离为选b 易错点 研究椭圆的几何性质 须将椭圆方程化为标准方程 b 4 已知椭圆g的中心在原点 长轴在x轴上 离心率为 且椭圆g上一点到g的两个焦点之和为12 则椭圆g的方程为 e 2a 12 a 6 b 3 则所求椭圆方程为 5 椭圆 的两个焦点f1 f2 点p在椭圆上 如果线段pf1的中点恰在y轴上 则 由已知椭圆方程得a 2 b c 3 f1 3 0 f2 3 0 7 因为焦点f1和f2关于y轴对称 所以 则p 3 所故填7 1 椭圆的定义及其标准方程 1 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于常数 大于 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离叫做椭圆的焦距 2 椭圆的标准方程是 a b 0 或 a b 0 3 椭圆的标准方程中a b c之间的关系是a2 b2 c2 4 形如ax2 by2 c的方程 只要a bc为正数 且a b就是椭圆方程 可化为标准形式 2 椭圆的简单几何性质 1 椭圆 a b 0 上的点中 横坐标x的取值范围是 a a 纵坐标y的取值范围是 b b 2c 若 2a 则点p的轨迹不存在 若 2a 则点p的轨迹是线段f1f2 2 椭圆的对称轴为x轴和y轴 椭圆的对称中心为原点 对称中心叫椭圆的中心 3 椭圆 a b 0 的四个顶点是 a 0 a 0 0 b 0 b 它们是椭圆与其对称轴的交点 4 离心率范围是 0 1 重点突破 椭圆的定义及其标准方程设椭圆的中心在原点 坐标轴为对称轴 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直 且此焦点与长轴上较近的端点距离为2 2 求此椭圆的方程 设所求椭圆或 a b 0 根据题意列出关于a b c的方程组 从而求出a b c的值 设所求椭圆或 a b 0 b ca c 2 2a2 b2 c2 舍去 则所求椭圆求椭圆的方程 借助于数形结合 先定位分析焦点所在的位置 再用待定系数法 将已知条件代入求解 则 解得 a 2b 2c 2 或 a 6 8b 4 6c 4 6 已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上 点p到两焦点的距离分别为5和3 过p点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 求此椭圆方程 设所求椭圆或 a b 0 两个焦点分别为f1 f2 则由题意得 所以a 4 在方程中令x c 得在方程中令y c 得依题意知 3 所以b 2 则椭圆方程为或 重点突破 椭圆的几何性质已知p点为椭圆 y2 1上的点 f1 f2是椭圆的两个焦点 且 f1pf2 60 求 f1pf2的面积 求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题 常用正 余弦定理进行求解 依题意得 在 f1pf2中 由余弦定理得解得则 f1pf2的面积为 圆锥曲线定义与三角形的有关性质相结合是解本题的关键 常用的解题技巧要熟记于心 已知p为椭圆 y2 1上的动点 f1 f2是椭圆的两个焦点 且 f1pf2 求当 取最大值时 点p的位置 设则m n 4 在 f1pf2中 由余弦定理得因为m n 4 m 0 n 0 所以mn 当且仅当m n时 取得 所以cos 所以当 取得最大值时 点p在短轴的两个顶点处 重点突破 直线与椭圆的位置关系已知直线l y x m与椭圆相交于p q两点 求实数m的取值范围 是否存在实数m 使得等于椭圆的短轴长 若存在求出m的值 若不存在 请说明理由 联立直线与椭圆的方程 由 0解得 假设存在 由弦长公式可解得m的值 检验m是否满足 0的条件 y x m整理得5x2 6mx 3m2 6 0 由已知得 36m2 20 3m2 6 0 解得 m 联立 设p x1 y1 q x2 y2 则由 x1 x2 x1x2 所以 知 由得解得因为0 m2 5所以存在实数m 使得pq等于椭圆的短轴长 直线方程与椭圆方程联立 消元后得到一元二次方程 然后通过判别式 来判断直线与椭圆相交 相切 相离 第 题求出m值要检验是否满足 0 在椭圆x2 4y2 16中 求通过点m 2 1 且被这点平分的弦所在的直线的方程和弦长 当直线斜率不存在时 m不可能为弦的中点 所以可设直线方程为y k x 2 1 代入椭圆方程 整理得 1 4k2 x2 16k2 8k x 16k2 16k 12 0 显然1 4k2 0 16 12k2 4k 3 0 由于解得k 故所求弦所在直线方程为x 2y 4 0 x 2y 4 0 x2 4y2 16所以y1 0 y2 2 所以弦长 由 得y2 2y 0 如图所示 已知a b c是椭圆e a b 0 上的三点 其中a点的坐标为 2 0 bc过椭圆的中心o 且ac bc 求点c的坐标及椭圆e的方程 若椭圆e上存在两点p q 使得 pcq的平分线总是垂直于x轴 试判断向量pq与ab是否共线 并给出证明 利用rt aoc 可求出c点坐标 判断向量pq与ab是否共线 可从pq与ab的斜率入手 因为且bc经过原点 所以又a 2 0 acb 90 所以c 且a 2代入椭圆方程得 则椭圆e的方程为 解得b2 4 对于椭圆上的两点p q 若 pcq的平分线总垂直于x轴 则pc与cq所在直线关于直线x 3对称 设直线pc的斜率为k 则直线cq的斜率为 k 所以直线pc的方程为y k x 即y k x 直线cq的方程为y k x 将 代入得 1 3k2 x2 6k 1 k x 9k2 18k 3 0 因为c 在椭圆上 所以x 是方程 的一个根 所以所以同理可得 所以 因为c 所以b 又a 2 0 所以所以kab kpq 所以向量pq与向量ab共线 平面向量作为数学解题工具 常与平面解析几何综合考查 在向量与解析几何的综合性问题中 写出向量的坐标是关键 过在椭圆上的点作直线时 切记此点的横坐标是直线与椭圆方程联立后一元二次方程的一个根 1 求椭圆的标准方程常用的方法是轨迹方程法和待定系数法 1 由椭圆的几何性质直接求出参数a b 2 先设出椭圆的标准方程 根据已知条件列出方程 用待定系数法求出参数a b 2 解决直线与圆锥曲线的位置问题时常利用数形结合法 设而不求法 弦长公式及根与系数的关系去解决 设直线l与曲线c交于a x1 y1 b x2 y2 两点 则3 椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形 解决焦点三角形的相关问题常利用椭圆的定义和正弦 余弦定理求解 1 2009 浙江卷 已知椭圆 a b 0 的左焦点为f 右顶点为a 点b在椭圆上 且bf x轴 直线ab交y轴于点p 若则椭圆的离心率是 a b c d d 对于椭圆 因为则oa 2of 所以a 2c 所以e 选d 对于对解析几何中与平面向量结合的考查 既体现了几何与向量的交汇 也体现了数形结合的巧妙应用 2 2009 福建卷 已知直线x 2y 2 0经过椭圆c a b 0 的左顶点a和上顶点d 椭圆c的右顶点为b 点s是椭圆c上位于x轴上方的动点 直线as bs与直线l x 分别交于m n两点 求椭圆c的方程 求线段mn的长度的最小值 当线段mn的长度最小时 在椭圆c上是否存在这样的点t 使得 tsb的面积为 若存在 确定点t的个数 若不存在 说明理由 解法1 由已知得 椭圆c的左顶点为a 2 上顶点为d 0 1 所以a 2 b 1 故椭圆c的方程为 y2 1 直线as的斜率k显然存在 且k 0 故可设直线as的方程为y k x 2 从而my k x 2 y2 1 由 得 1 4k2 x2 16k2x 16k2 4 0 设s x1 y1 则 2 x1 得从而即又b 2 0 故直线bs的方程为y x 2 y x 2 x 由 得 x 所以n故又k 0 所以当且仅当即k 时等号成立 所以k 时 线段mn的长度取最小值 由 可知 当mn取最小值时 k 此时bs的方程为x y 2 0 s 所以要使椭圆c上存在点t 使得 tsb的面积等于 只须点t到直线bs的距离等于 所以t在平行于bs且与bs距离等于的直线l 上 设直线l x y t 0 则由解得t 或t x y 0 得5x2 12x 5 0 由于 44 0 故直线l 与椭圆c有两个不同的交点 当t 32时 由 x y 0 得5x2 20 x 21 0 由于 20 0 故直线l 与椭圆c没有交点 综上所述 当线段mn的长度最小时 椭圆上仅存在两个不同的点t 使得 tsb的面积等于 当t 时 由 解法2 同解法1 设s x0 y0 则所以故设则ym 0 yn 0 则所以故当且仅当ym yn 时 等号成立 即mn的长度的最小值为 由 可知 当mn取最小值时 n 因为b 2 0 所以kbs kbn 1 此时bs的方程为x y 2 0 s 所以设与直线bs平行的直线方程为x y t 0 x y t 0 y2 1 由 得5x2 8tx 4t2 4 0 当直线与椭圆c有唯一公共点时 有 64t2 20 4t2 4 0 解得t 当t 时 两平行