第二章2.3等差数列的前n项和(1).PPT

学习目标 1 掌握等差数列前n项和公式及其推导过程 2 初步掌握公式的简单运用 教学重点 难点 重点是等差数列前n项和公式 难点是获得推导公式的思路 克服难点的关键是通过具体例子发现一般规律 前提检测 1 什么叫等差数列 2 数列 1 2 3 n 是等差数列吗 为什么 3 等差数列的通项公式是什么 如果一个数列从第2项起 每一项与它前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 其形式化表示为 an a1 n 1 d 一 等差数列前n项和的引入 引例 1 2 3 100 2 高斯的算法 首项与末项的和 1 100 101 第2项与倒数第2项的和 2 99 101 第3项与倒数第3项的和 3 98 101 第50项与倒数第50项的和 50 51 101 于是所求的和为 高斯 德国著名数学家 3 上述求解过程带给我们什么启示 1 所求的和可以用首项 末项及公差来表示 2 任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和 解法2 设 s 1 2 3 4 97 98 99 100 s 100 99 98 97 4 3 2 1 2s 1 100 2 99 3 98 4 97 97 4 98 3 99 2 100 1 100 101s 100 1 100 2 s 5050注 此法称倒序求和 属代数法 二 等差数列前n项和公式的推导 设等差数列 an 的前n项和为sn an a1 n n 1 d 设 sn a1 a2 a3 an 2 an 1 an sn an an 1 an 2 a3 a2 a1 2sn a1 an a2 an 1 a3 an 2 an 2 a3 an 1 a2 an a1 2sn n a1 an sn n a1 an 2 解决疑难问题 定理 数列 an 是等差数列 m n p q分别为自然数若m n p q 则am an ap aq 证明 设等差数列首项为a1 公差为d 则am an a1 m 1 d a1 n 1 d 2a1 m n 2 dap aq a1 p 1 d a1 q 1 d 2a1 p q 2 d m n p q m n 2 p q 2 am an ap aq 2 公式记忆 用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式 这里对图形进行了割 补两种处理 对应着等差数列前项和的两个公式 三 应用举例 一个堆放铅笔的v形架的最下面一层放一支铅笔 往上每一层都比它下面一层多放一支 最上面一层放120支 这个v形架上共放着多少支铅笔 解 由题意可知 这个v形架上共放着120层铅笔 且自下而上各层的铅笔数成等差数列 将其记为 an 则有a1 1 a120 120 根据等差数列前n项和的公式 答 v形架上共放着7260支铅笔 三 应用举例 等差数列 10 6 2 2 前多少项和是54 解 将题中的等差数列记为 an sn代表该数列的前n项和 则有a1 10 d 6 10 4设该数列前n项和为54 根据等差数列前n项和公式 解得n1 9 n 3 舍去 因此等差数列 10 6 2 2 前9项的和是54 四 随堂练习 根据下列各题中的条件 求相应的等差数列 an 的sn 1 a 5 an 95 n 10 2 a1 100 d 2 n 50 3 a1 14 5 d 0 7 an 32 2 1 求正整数列中前n个数的和 2 求正整数列中前n个偶数的和 3 等差数列5 4 3 2 1 前多少项的和是 30 前15项 小结 一 等差数列的前n项和公式sn na1 n n 1 d 2sn n a1 an 2二 运用和应用 1 函数思想 2 方程思想