第三章 概率3.2 古典概型古典概型.ppt

古典概型 前面我们学习了概率的的种基本类型和基本性质 下面我们来看几种基本常见的概率问题 古典概型 我们直到通过多次重复试验 通过计算它们的频率 我们可以得到一些事件的概率的估计 但这种方法耗时较多 而且得到的仅是概率的近似值 在一些特殊情况下 我们可以通过模拟的方法得到一些事件概率的通用方法 古典概型就是这样一类概率类型 我们来分析以下下列事件的构成 1 掷一枚质地均匀的硬币的试验 2 掷一枚质地均匀地骰子的试验 1的试验结果 2的试验结果 基本事件 基本事件 1 任何两个基本事件是互斥的 2 任何事件可以表示成基本事件的和 例1 从字母a b c d中任意取出两个不同的字母的试验中 有哪些基本事件 上述试验的共同特点是 a a b b a c c a d a b c b b d c c d 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 每个基本事件出现的可能性相等 具有这两个特点的概率模型称为 古典概型 classicalmodelsofprobability 在古典概型下 基本的概率是多少 随机事件的概率是多少 根据以前的知识我们知道 投币试验 正面朝上 的概率和 反面朝上 的概率相等 即 p 正面朝上 p 方面朝上 且p 正面朝上 p 方面朝上 p 必然事件 1 因此 p 正面朝上 p 方面朝上 古典概型中 试验的所有基本事件为n个 n个可能结果 随机事件a包含m个基本事件 m个可能结果 那么随机事件a的概率为 如果一次试验中可能出现的结果有n个 而且所有结果出现的可能性都相等 那么每一个基本事件的概率都是 如果某个事件a包含的结果有m个 那么事件a的概率为 从集合角度看古典概型的概 事件a的概率可解释为子集a的元素个数与全集i的元素个数的比值 即 试验一 抛掷一枚均匀的硬币 试验的结果有 个 其中 正面朝上 的概率 出现 反面朝上 的概率 试验二 掷一粒均匀的骰子 试验结果有 个 其中出现 点数5 的概率 试验三 转8等份标记的转盘 试验结果有 个 出现 箭头指向4 的概率 6 1 6 8 1 8 思考 1 向一个圆面内随机地投一个点 如果该点落在每一个点都是等可能的 你认为这是古典概型吗 为什么 2 如图 射击运动员向一靶心进行射击 这一试验的结果只有有限个 命中10环 命中9环 命中1环和命中0环 你认为这是古典概型吗 为什么 例1 同时抛掷二颗骰子 计算 一共有几种不同的结果 其中向上的点数之和是5 事件a 的结果有多少种 其中向上的点数之和是5 事件a 的概率是多少 解 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 1 两个骰子的基本事件有 共36种 2 和为5点的结果有 1 4 2 3 3 2 4 1 3 由于每一种出现的可能性相同 共有36种 其中 3 有4种因此 说明 1 判断是否为等可能性事件 2 列举所有基本事件的总结果数n 3 列举事件a所包含的结果数m 当结果有限时 列举法是很常用的方法 4 利用古典概率的公式计算其概率 练习 1 储蓄卡上的密码是一种四位数字号码 位上的数字可在0到9这十个数字中选取 l 使用储蓄卡时 如果随意按下一个四位数字号码 正好按对这张储蓄卡的密码的概率只有多少 2 某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字 他在使用这张卡时如果前三位号码仍按本卡密码 而随意按下密码的最后一位数字 正好按对密码的概率是多少 2 某种饮料每箱装12听 如果其中有2听不合格 问质检人员从中抽出2听 检测出不合格产品的概率有多大 例 在一个健身房里用拉力器锻炼有2个装质量盘的箱子 每个箱子中都装有4个不同的质量盘 2 5kg 5kg 10kg和20kg 每次都随机地从2个箱子中各取1各质量盘 1 随机地从2个箱子中各取1个质量盘 共有多少种可能的结果 用表格列出来 2 计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的概率 i 20kg ii 30kg iii 不超10kg iv 超过10kg 3 如果一个人不能拉动超过22kg的质量 那么他不能拉开拉力器的概率是多少 1 从2个箱子里各取1个质量盘 所有可能的结果如下表所示 解 由于选取质量盘是随机的 因此这16种结果出现的可能性是相同的 而选取的两个质量盘都是最重的只有一种 所以 其概率为1 16 2 从2个箱子里各取1个质量盘 总质量的所有可能的结果如下表所示 由于选取质量盘是随机的 因此这16种结果出现的可能性是相同的 则 因为总质量为20kg的所有可能结果只有一种 所以其概率为p a 1 16 0 0625 因为总质量为30kg的所有可能结果有2种 所以其概率为p a 1 8 0 125 因为总质量不超过10kg的所有可能结果共4种 所以其概率为 p a 1 4 0 25 因为总质量超过10kg的所有可能结果共12种 所以其概率为p a 3 4 0 75 3 由 2 知 总质量超过22kg的所有可能结果共7种 所以他不能拉开拉力器的概率为p a 7 16 0 44 对于古典概型 由于每个样本事件发生的可能性是一样的 因此也叫等可能概型 在计算古典概型的概率时 基本事件发生的概率我们可以利用列举法来计算概率 考虑基本事件的方式不同得到的概率也不一样 但是对于基本事件很多时 列出所有的事件是很困难的 你有办法处理这些问题吗 对于这类问题 我们可以根据不同的需要 利用计算机建立适当的概率模型来模拟实验 只要设计的概率模型满足古典概型的两个特点即可 其中利用产生随机数法是经常用到的 随机数的产生我们有多种方法 1 抽签法 抽签法产生随机数的方法比较简单 它产生的随机数是不可预料的 2 计算机或计算器产生随机数 利用计算机的随机函数 randbetween 产生的随机数 是按照一定的算法 产生具有规律性的 称为伪随机数 pseudorandomnumber 我们可以参考课本p124 125页的方法产生随机数的方法 也可以通过网络搜索有关随机数的知识 下面我们来看看具体的随机数的模拟方法 例3 天气预报说 在今后的三天中 每天下雨的概率为40 则这三天中恰有两天下雨的概率为多少 1 抽签法 在编号为0 9的签签中随便抽取一只 用1 2 3 4表示会下雨 其他的表示不下雨 有放回的随机抽取三只签 2 随机数模拟 蒙特卡洛 montecarlo 法 利用计算机随机产生一组三位数模拟3天的下雨情况 其中有2各数字在1 2 3 4中的一个或两个即可 如产生20组数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113