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正切函数的图像与性质 1 上海市南洋中学卢久红 复习引入 请同学们画出其它象限的三角函数线 一 复习三角函数线 当 在第一象限时 正弦线 sin bm 0余弦线 cos 0b 0正切线 tan at 0 我们将考虑将区间进行八等分 9个点分别为分别画出其中的正切线 然后利用描点法画出正切函数的大致图象 正切函数的图像 0 1 1 x y 二 学习新课探究性质 1 定义域 2 值域 3 周期性 4 奇偶性 5 单调性 r 奇函数 在开区间内 函数单调递增 从图象上看出函数y tanx的单调区间是 但是我们怎样从理论上去加以证明呢 思考一 我们先考察这个区间内的函数y tanx的单调性 在这个区间内任意取x1 x2 且x1 x2 y1 y2 tanx1 tanx2 因为 所以则cosx1 cosx2 0sin x1 x2 0 从而tanx1 tanx2 0 y1 y2 即正切函数y tanx在上是增函数 由奇函数的性质可知 在上正切函数y tanx也是增函数 由于y tanx的周期为 则函数y tanx在开区间内单调递增 解法二 在内任意取x1 x2 且x10 因此1 tanx1 tanx2 0 则tanx1 tanx2 0 tanx1 tanx2 即正切函数y tanx在上是增函数 接下来的证明同前一种方法 说明 在考虑正切函数单调性的时候 一定要讲是在每一个单调区间上的增函数 而不能讲它在定义域上是增函数 为什么 请同学们思考并说明之 例题分析 例1 不通过求值 比较下列各组中两个正切函数值的大小 与 2 比较与的大小 例2 讨论函数的性质 问题拓展 例3 求下列函数的单调区间 区间是 是增函数 递增区间 说明 在考虑正切函数与其他函数复合的问题时 需要分别注意这两个函数的单调性 然后根据复合函数的规则 增增得增 增减得减 来确定单调区间 例4 求下列函数的周期 变式问题2 求解 思考 由上面的例4及其变式 请你归纳一下函数y atan x 的周期是什么 三 巩固练习 求函数y tan的定义域 值域 并指出它的奇偶性 单调性以及周期 四 课堂小结 一 正切函数y tanx的性质 略 二 在求解有关正切函数与其它函数 如一次函数 复合的函数的增减性的时候 一定要将构成此复合函数的每一个函数的单调性都搞清楚 然后根据增增得增 增减得减的原则来确定该函数的单调区间 三 在求解函数周期性的时候 一定要借助y tan
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