中考数学一轮复习 第24课 相似三角形导学案.doc

第24课 相似三角形【考点梳理】：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。2.相似三角形的表示方法：用符号“”表示，读作“相似于”。3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定sassssaas（asa）hl相似三角形 的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。思考与收获(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。8.相似三角形的传递性如果abca1b1c1，a1b1c1a2b2c2，那么abca2b2c29.位似三角形：两个三角形对应顶点的连线相交于一点且到各对应点成比例的两个相似三角形，且两个三角形的各边分别平行，这样的两个三角形即为位似三角形。上文所提的“相交于一点”即为位似中心！条件： 必须两个三角形相似。两个三角形对应点的连线在一点。 位似中心到各点的长度对应成比例。注意：三条件缺一不可，否则不是位似三角形。【思想方法】1. 常用解题方法设k法2. 常用基本图形a形、x形【考点一】：平行线分线段成比例【例题赏析】（2015宁德 第8题 4分）如图，已知直线abc，直线m，n与a，b，c分别交于点a，c，e，b，d，f，若ac=4，ce=6，bd=3，则df的值是（）a4b4.5c5d5.5考点：平行线分线段成比例分析：直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论解答：解：直线abc，ac=4，ce=6，bd=3，=，即=，解得df=4.5故选b思考与收获点评：本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键【考点二】：相似三角形的判定【例题赏析】（2015，广西钦州，11，3分）如图，ad是abc的角平分线，则ab：ac等于（）abd：cd bad：cd cbc：ad dbc：ac分析：先过点b作beac交ad延长线于点e，由于beac，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得bdecda，e=dac，再利用相似三角形的性质可有=，而利用ad时角平分线又知e=dac=bad，于是be=ab，等量代换即可证解答：解：如图过点b作beac交ad延长线于点e，beac，dbe=c，e=cad，bdecda，=，又ad是角平分线，思考与收获e=dac=bad，be=ab，=，ab：ac=bd：cd点评：此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论关键是作平行线【考点三】：相似三角形的性质【例题赏析】（1）（2015黔西南州）（第5题）已知abcabc且，则sabc：sabc为（） a 1：2 b 2：1 c 1：4 d 4：1考点： 相似三角形的性质分析： 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可解答： 解：abcabc，=（）2= ，故选c点评： 本题考查了相似三角形的性质的应用，能运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方（2）（2015，广西柳州，12，3分）如图，g，e分别是正方形abcd的边ab，bc的点，且ag=ce，aeef，ae=ef，现有如下结论：be=ge；ageecf；fcd=45；gbeech其中，正确的结论有（）思考与收获a 1个b2个c3个d4个考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质分析：根据正方形的性质得出b=dcb=90，ab=bc，求出bg=be，根据勾股定理得出be=ge，即可判断；求出gae+aeg=45，推出gae=fec，根据sas推出gaecef，即可判断；求出age=ecf=135，即可判断；求出fec45，根据相似三角形的判定得出gbe和ech不相似，即可判断解答：解：四边形abcd是正方形，b=dcb=90，ab=bc，ag=ce，bg=be，由勾股定理得：be=ge，错误；bg=be，b=90，bge=beg=45，age=135，gae+aeg=45，aeef，aef=90，beg=45，aeg+fec=45，gae=fec，在gae和cef中gaecef，正确；age=ecf=135，思考与收获fcd=13590=45，正确；bge=beg=45，aeg+fec=45，fec45，gbe和ech不相似，错误；即正确的有2个故选b点评：本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大【考点四】：相似三角形的应用【例题赏析】（2015黔西南州）（第10题）在数轴上截取从0到3的对应线段ab，实数m对应ab上的点m，如图1；将ab折成正三角形，使点a、b重合于点p，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点p的坐标为（0，2），pm的延长线与x轴交于点n（n，0），如图3，当m=时，n的值为（） a 42 b 24 c d 考点： 相似三角形的判定与性质；实数与数轴；等边三角形的性质；平移的性质分析： 先根据已知条件得出pde的边长，再根据对称的性质可得出pfde，df=ef，锐角三角函数的定义求出pf的长，由m=求出mf的长，再根据相似三角形的判定定理判断出pfmpon，利用相似三角形的性质即可得出结论解答： 解：ab=3，pde是等边三角形，pd=pe=de=1，以de的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，pde关于y轴对称，思考与收获pfde，df=ef，dex轴，pf=，pfmpon，m=，fm=，=，即=，解得：on=42故选a点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质，能根据题意得出fm的长是解答此题的关键【考点五】：位似的应用【例题赏析】（2015湖北十堰，第6题3分）.在平面直角坐标系中，已知点a（4，2），b（6，4），以原点o为位似中心，相似比为，把abo缩小，则点a的对应点a的坐标是（）a（2，1）b（8，4）c.（8，4）或（8，4）d.（2，1）或（2，1）考点：位似变换；坐标与图形性质分析：根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k，即可求得答案解答：解：点a（4，2），b（6，4），以原点o为位似中心，相似比为，把abo缩小，点a的对应点a的坐标是：（2，1）或（2，1）故选：d点评：此题考查了位似图形与坐标的关系此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k【真题专练】思考与收获1. （2015黑龙江哈尔滨，第7题3分）（2015哈尔滨）如图，四边形abcd是平行四边形，点e在ba的延长线上，点f在bc的延长线上，连接ef，分别交ad，cd于点g，h，则下列结论错误的是（） a = b = c = d =2. （2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第6题3分）视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“e”之间的变换是（）a平移b旋转c对称d位似3. （2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第12题3分）如图：把abc沿ab边平移到abc的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是abc面积的一半，若ab=，则此三角形移动的距离aa是（）思考与收获a1bc1d4（2015青海，第15题3分）在平行四边形abcd中，点e是边ad上一点，且ae=2ed，ec交对角线bd于点f，则等于（）abcd5. （2015贵州省贵阳,第6题3分）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）a2：3b：c4：9d8：276. （2015辽宁省朝阳,第题3分）已知两点a（5，6）、b（7，2），先将线段ab向左平移一个单位，再以原点o为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段cd，则点a的对应点c的坐标为（）思考与收获a（2，3）b（3，1）c（2，1）d（3，3）7. （2015辽宁省盘锦,第14题3分）如图，已知abc中，ab=5，ac=3，点d在边ab上，且acd=b，则线段ad的长为8. （2015辽宁省盘锦,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰obc的边ob在x轴上，ob=cb，ob边上的高ca与oc边上的高be相交于点d，连接od，ab=，cbo=45，在直线be上求点m，使bmc与odc相似，则点m的坐标是（1，1）或（，）9. （2015齐齐哈尔,第22题6分）如图，在边上为1个单位长度的小正方形网格中：思考与收获（1）画出abc向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的a1b1c1（2）以点b为位似中心，将abc放大为原来的2倍，得到a2b2c2，请在网格中画出a2b2c2（3）求cc1c2的面积10. （2015广东茂名24，8分）如图，rtabc中，acb=90，ac=6cm，bc=8cm动点m从点b出发，在ba边上以每秒3cm的速度向定点a运动，同时动点n从点c出发，在cb边上以每秒2cm的速度向点b运动，运动时间为t秒（0t），连接mn（1）若bmn与abc相似，求t的值；（2）连接an，cm，若ancm，求t的值【真题演练参考答案】1. （2015黑龙江哈尔滨，第7题3分）（2015哈尔滨）如图，四边形abcd是平行四边形，点e在ba的延长线上，点f在bc的延长线上，连接ef，分别交ad，cd于点g，h，则下列结论错误的是（） a = b = c = d =考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析： 根据相似三角形的判定和性质进行判断即可解答： 解：四边形abcd是平行四边形，adbf，bedc，ad=bc，故选c点评： 此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断2. （2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第6题3分）视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“e”之间的变换是（）a平移b旋转c对称d位似考点：几何变换的类型分析：开口向上的两个“e”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换如果没有注意它们的大小，可能会误选a解答：解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换故选d点评：本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形3. （2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第12题3分）如图：把abc沿ab边平移到abc的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是abc面积的一半，若ab=，则此三角形移动的距离aa是（）a1bc1d考点：相似三角形的判定与性质；平移的性质专题：压轴题分析：利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出ab，再求aa就可以了解答：解：设bc与ac交于点e，由平移的性质知，acacbeabcasbea：sbca=ab2：ab2=1：2ab=ab=1aa=abab=1故选a点评：本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等4（2015青海，第15题3分）在平行四边形abcd中，点e是边ad上一点，且ae=2ed，ec交对角线bd于点f，则等于（）abcd考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：根据题意得出defbcf，那么=；由ae：ed=2：1可设ed=k，得到ae=2k，bc=3k；得到=，即可解决问题解答：解：如图，四边形abcd为平行四边形，edbc，bc=ad，defbcf，=，设ed=k，则ae=2k，bc=3k；= ，故选a点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出defbcf是解题的关键5. （2015贵州省贵阳,第6题3分）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）a2：3b：c4：9d8：27考点：相似三角形的性质分析：根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解解答：解：两个相似三角形面积的比是（2：3）2=4：9故选c点评：本题考查对相似三角形性质的理解（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比6. （2015辽宁省朝阳,第题3分）已知两点a（5，6）、b（7，2），先将线段ab向左平移一个单位，再以原点o为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段cd，则点a的对应点c的坐标为（）a（2，3）b（3，1）c（2，1）d（3，3）考点：位似变换；坐标与图形变化-平移专题：几何变换分析：先根据点平移的规律得到a点平移后的对应点的坐标为（4，6），然后根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k求解解答：解：线段ab向左平移一个单位，a点平移后的对应点的坐标为（4，6），点c的坐标为（4，6），即（2，3）故选a点评：本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k也考查了坐标与图形变化平移7. （2015辽宁省盘锦,第14题3分）如图，已知abc中，ab=5，ac=3，点d在边ab上，且acd=b，则线段ad的长为考点：相似三角形的判定与性质分析：由已知先证abcacd，再根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求出ad的值解答：解：a=a，acd=b，abcacd，=，ab=5，ac=3，=，ad=故答案为点评：本题考查相似三角形的判定和性质识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的值8. （2015辽宁省盘锦,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰obc的边ob在x轴上，ob=cb，ob边上的高ca与oc边上的高be相交于点d，连接od，ab=，cbo=45，在直线be上求点m，使bmc与odc相似，则点m的坐标是（1，1）或（，）考点：相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征分析：根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，可得odc是等腰三角形，先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得到ac，bc，ob，oa，oc，ad，od，cd，bd的长度，再根据相似三角形的判定与性质分两种情况得到bm的长度，进一步得到点m的坐标解答：解：ob=cb，ob边上的高ca与oc边上的高be相交于点d，ab=，cbo=45，ab=ac=，od=cd，在rtbac中，bc=2，ob=2，oa=obab=2，在rtoac中，oc=2，在rtoad中，oa2+ad2=od2，（2）2+ad2=（ad）2，解得ad=2，od=cd=22，在rtbad中，bd=2，如图1，bmccdo时，过m点作mfab于f，=，即=，解得bm=，mfab，ca是ob边上的高，mfda，bmfbda，=，即=，解得bf=1，mf=1，of=obbf=1，点m的坐标是（1，1）；如图2，bcmcdo时，过m点作mfab于f，=，即=，解得bm=2，mfab，ca是ob边上的高，mfda，bmfbda，=，即=，解得bf=2+，mf=，of=bfob=，点m的坐标是（，）综上所述，点m的坐标是（1，1）或（，）故答案为：（1，1）或（，）点评：考查了相似三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质和勾股定理，关键是得到bm的长度，注意分类思想的应用9. （2015齐齐哈尔,第22题6分）如图，在边上为1个单位长度的小正方形网格中：（1）画出abc向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的a1b1c1（2）以点b为位似中心，将abc放大为原来的2倍，得到a2b2c2，请在网格中画出a2b2c2（3）求cc1c2的面积考点： 作图-位似变换；作图-平移变换分析： （1）根据平移的性质画出图形即可；（2）根据位似的性质画出图形即可；（3）根据三角形的面