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第七章直线和圆的方程 7 6圆的方程 4 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系种类 种类 相离 没有交点 相切 一个交点 相交 二个交点 直线与圆的位置关系的判定 代数方法 直线方程l ax by c 0圆的方程c x a 2 y b 2 r2 直线与圆的位置关系的判定 几何方法 小结 消去y得 25x2 120 x 96 0 1202 100 96 4800 0 所以方程组有两解 直线l与圆c相交 几何法 圆心c 3 2 到直线l的距离d 因为r 2 d r所以直线l与圆c相交 比较 几何法比代数法运算量少 简便 例1 过点p 1 1 的直线l与圆m x 3 2 y 4 2 4 1 当直线和圆相切时 求切线方程和切线长 2 若直线的斜率为2 求直线被圆截得的弦ab的长 3 若圆的方程加上条件x 3 直线与圆有且只有一个交点 则直线的斜率的取值范围是 解 1 若直线l的斜率存在 设l的方程 y 1 k x 1 即kx y k 1 0因为直线与圆相切 所以圆心m到直线l的距离d r 即 若直线l的斜率不存在 则其方程为 x 1满足要求故所求切线方程为21x 20y 41 0或x 1 2 直线l的方程为 y 1 2 x 1 圆心m到直线l的距离d 故弦ab 3 如图r 3 2 q 3 6 演示 在直角三角形pma中 有 mp r 2所以切线长 pa 例2 求由下列条件所决定圆x2 y2 4的切线方程 1 经过点 2 经过点 3 斜率为 1 解 1 点在圆上 故所求切线方程为 解 2 设切线方程为 直线与圆相切 圆心到直线的距离等于半径 所求切线方程为 解 设圆的切线方程为 代入圆的方程 整理得 直线与圆相切 解得 所求切线方程为 例3 求圆 x 3 2 y 4 2 1关于直线x y 0对称的圆的方程 解 圆 x 3 2 y 4 2 1的圆心是c 3 4 设对称圆圆心为c a b 化简 得 解得 所以 所求圆的方程是 x 4 2 y 3 2 1 则 分析 两圆对称则其半径相同 因此只要求出圆心坐标即可 而两圆对称 它们的圆心也必关于直线对称 另 由于点 a b 关于直线x y 0的对称点为 a b 因此在原方程中只需将 x y 换为 y x 化简即可 例 已知圆的方程是 x a 2 y b 2 r2 求经过圆上一点m x0 y0 的切线方程 解 设圆心为c 切线的斜率为k c 半径cm的斜率为k1 因为圆的切线垂直于过切点的半径 于是 经过点m的切线方程是 整理得 m x0 y0 在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 所求切线方程为 当mc与坐标轴平行时 可以验证上面的方程同样适用 总结 直线与圆的位置关系 几何法 代数法线段与圆弧的位置关系 数形结合思
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