高三数学高考（理）二轮复习专题学案专题四 数 列人教大纲版学案14 数列求和及综合应用.ppt

1 数列通项的求法 由递推关系式确定数列的通项 2 数列的性质 通项 求和 3 数列与不等式 数列与函数 数列与方程 4 数列与数学归纳法 学案14数列求和及综合应用 1 2009 四川 等差数列 an 的公差不为零 首项a1 1 a2是a1和a5的等比中项 则数列 an 的前10项之和是 a 90b 100c 145d 190解析由题意知 a1 d 2 a1 a1 4d 即 d 2a1 2 s10 10a1 10 90 100 b 2 2009 安徽 已知 an 为等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 以sn表示 an 的前n项和 则使得sn达到最大值的n是 a 21b 20c 19d 18解析 a2 a1 a4 a3 a6 a5 3d 99 105 3d d 2 又 a1 a3 a5 3a1 6d 105 a1 39 sn na1 n2 40n n 20 2 400 当n 20时 sn有最大值 b 3 2009 江西 公差不为零的等差数列 an 的前n项和为sn 若a4是a3与a7的等比中项 s8 32 则s10等于 a 18b 24c 60d 90解析由得 a1 3d 2 a1 2d a1 6d d 0 2a1 3d 0 s8 8a1 d 32 2a1 7d 8 由 得 s10 3 10 2 60 c 4 2009 湖北 古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 他们研究过图 1 中的1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似的 称图 2 中的1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 a 289b 1024c 1225d 1378解析由图形可得三角形数构成的数列通项an 同理可得正方形数构成的数列通项bn n2 只有1225满足a49 b35 352 c 题型一数列与函数 方程的综合应用 例1 设p q为实数 是方程x2 px q 0的两个实根 数列 xn 满足x1 p x2 p2 q xn pxn 1 qxn 2 n 3 4 1 证明 2 求数列 xn 的通项公式 3 若p 1 q 求 xn 的前n项和sn 1 证明由求根公式 不妨设 则 2 解设xn sxn 1 t xn 1 sxn 2 则xn s t xn 1 stxn 2 由xn pxn 1 qxn 2 得消去t 得s2 ps q 0 s是方程x2 px q 0的根 由题意可知 当时 此时方程组 xn t1xn 1 xn t2xn 1 分别是公比为的等比数列 由等比数列的性质可得两式相减 得 当时 即方程x2 px q 0有重根 p2 4q 0 即 s t 2 4st 0 得 s t 2 0 s t 不妨设s t 由 可知 3 解把p 1 q 代入x2 px q 0 得x2 x 0 解得 探究拓展 本题主要考查数列的递推公式 数列求和以及数列与方程的综合题 考查学生分析问题 解决问题以及推理论证的能力 变式训练1已知二次函数y f x 的图象经过坐标原点 其导函数为f x 6x 2 数列 an 的前n项和为sn 点 n sn n n 均在函数y f x 的图象上 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn tn是数列 bn 的前n项和 求使得tn 对所有n n 都成立的最小正整数m 解 1 设二次函数为f x ax2 bx a 0 则f x 2ax b 由于f x 6x 2得a 3 b 2 所以f x 3x2 2x 又由点 n sn n n 均在函数y f x 的图象上 得sn 3n2 2n 当n 2时 an sn sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 当n 1时 a1 s1 3 12 2 6 1 5 1 所以an 6n 5 n n 2 由 1 得知因此 要使 n n 成立 m必须且仅需满足即m 10 故满足要求的最小正整数m为10 题型二数列与不等式的综合应用 例2 2009 江西 各项均为正数的数列 an a1 a a2 b 且对满足m n p q的正整数m n p q都有 1 当a b 时 求通项an 2 证明 对任意a 存在与a有关的常数使得对于每个正整数n 都有 1 解由将a1 a2 代入上式化简得故数列为等比数列 从而即可验证满足题设条件 2 证明由题设的值仅与m n有关 记为bm n 考察函数 x 0 则在定义域上有故对n n bn 1 g a 恒成立 探究拓展 本题考查数列的通项公式的求法 不等式的解法及利用函数的单调性解题的基本方法 考查了学生分析问题 解决问题的能力 要求较高 变式训练2设数列 an 的前n项的和sn n 1 2 3 1 求首项a1与通项an 2 设tn n 1 2 3 证明 1 解由sn n 1 2 3 得所以a1 2 再由 有n 2 3 4 将 和 相减得 an sn sn 1 an an 1 2n 1 2n n 2 3 4 整理得an 2n 4 an 1 2n 1 n 2 3 4 因而数列 an 2n 是首项为a1 2 4 公比为4的等比数列 即an 2n 4 4n 1 4n 所以an 4n 2n n 1 2 3 2 证明将an 4n 2n 代入 得 题型三数列与解析几何的综合应用 例3 2009 广东 已知曲线cn x2 2nx y2 0 n 1 2 从点p 1 0 向曲线cn引斜率为kn kn 0 的切线ln 切点为pn xn yn 1 求数列 xn 与 yn 的通项公式 2 证明 x1 x3 x5 x2n 1 1 解 2 证明 f x 在 0 上单调递减 f x f 0 0 即x sinx在 0 上恒成立 即x1 x3 x5 x2n 1 探究拓展 解决数列与解析几何这类问题的关键是明确目标 即将待求问题运用相关知识及手段 转化成我们较为熟悉的问题 再用相关的知识去求解 变式训练3已知函数f x x2 4 设曲线y f x 在点 xn f xn 处的切线与x轴的交点为 xn 1 0 n n 其中x1为正实数 1 用xn表示xn 1 2 求证 对一切正整数n xn 1 xn的充要条件是x1 2 3 若x1 4 记an 证明数列 an 成等比数列 并求数列 xn 的通项公式 1 解由题可得f x 2x 所以过曲线上点 xn f xn 的切线方程为y f xn f xn x xn 即y 4 2xn x xn 令y 0 得 4 2xn xn 1 xn 即 4 2xnxn 1 显然xn 0 2 证明 必要性 若对一切正整数n 有xn 1 xn 则x2 x1 而x1 0 即有x1 2 充分性 若x1 2 0 由用递推关系易得xn 0 从而即xn 2 n 2 又x1 2 xn 2 n 1 即xn 1 xn对一切正整数n成立 3 证明所以 数列 an 成等比数列 题型四数列与其它知识的综合应用 例4 2009 重庆 设m个不全相等的正数a1 a2 am m 7 依次围成一个圆圈 1 若m 2009 且a1 a2 a1005是公差为d的等差数列 而a1 a2009 a2008 a1006是公比为q d的等比数列 数列a1 a2 am的前n项和sn n m 满足s3 15 s2009 s2007 12a1 求通项an n m 3 若每个数an n m 是其左右相邻两数平方的等比中项 求证 ma1a2 am 1 解因a1 a2009 a2008 a1006是公比为d的等比数列 从而a2009 a1d a2008 a1d2 由s2009 s2007 12a1得a2008 a2009 12a1 故a1d2 a1d 12a1 即d2 d 12 解得d 3 或d 4 舍去 因此d 3 又s3 3a1 3d 15 解得a1 2 从而当n 1005时 an a1 n 1 d 2 3 n 1 3n 1 而当1006 n 2009时 由a1 a2009 a2008 a1006是公比为d的等比数列 得an a1d2009 n 1 a1d2010 n 1006 n 2009 2 证明由题意 由 得 由 得a1a2 am a1a2 am 2 故a1a2 am 1 下面用反证法证明 m 6k 若不然 设m 6k p 其中1 p 5 若取p 1 即m 6k 1 则由 得am a6k 1 a1 而由 得am由 得从而a6 a6k am 1 1 而故a1 a2 1 由 及 可推得an 1 1 n m 与题设矛盾 同理 若p 2 3 4 5均可得an 1 1 n m 与题设矛盾 因此m 6k为6的倍数 由均值不等式得 又上面三组数内必有一组不相等 否则a1 a2 a3 1 从而a4 a5 an 1 与题设矛盾 故等号不成立 从而a1 a2 a6 6 又m 6k 由 和 得因此由 得 6 6 k 1 6k m ma1a2 am 探究拓展 本题考查了等差数列 等比数列的概念 分类讨论的思想 方程的思想 反证法 基本不等式等重要的数学思想方法 难度较大 要求较高 变式训练4已知a 0 且a 1 数列 an 的前n项和为sn 它满足条件数列 bn 中 bn an lgan 1 求数列 bn 的前n项和tn 2 若对一切n n 都有bn bn 1 求a的取值范围 解 1 当n 1时 当n 2时 an an n n 此时bn an lgan an lgan n anlga tn b1 b2 bn a 2a2 3a3 nan lga即aun a2 2a3 nan 1设un a 2a2 3a3 nan 1 a un a a2 a3 an nan 1 2 由bn bn 1 nanlga n 1 an 1lga可得 当a 1时 由lga 0 可得 n n a 1 对一切n n 都成立 此时的解为a 1 当0 a 1时 由lga 0 可得n n 1 a n n 0 a 1 0 a 对一切n n 都成立 此时的解为0 a 由 可知 对一切n n 都有bn bn 1的取值范围是0 a 或a 1 考题再现 2009 山东 等比数列 an 的前n项和为sn 已知对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 2 当b 2时 记bn 2 log2an 1 n n 证明 对任意的n n 不等式 解题示范 解 1 因为对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 所以得sn bn r 当n 1时 a1 s1 b r 2分当n 2时 an sn sn 1 bn r bn 1 r bn bn 1 b 1 bn 1 4分又因为 an 为等比数列 所以r 1 公比为b 所以an b 1 bn 1 5分 2 当b 2时 an b 1 bn 1 2n 1 bn 2 log2an 1 2 log22n 1 1 2n 6分7分下面用数学归纳法证明不等式 当n 1时 左边 右边 因为所以不等式成立 8分 假设当n k k n 时不等式成立 则当n k 1时 11分所以当n k 1时 不等式也成立 由 可得不等式恒成立 12分 1 求数列通项公式的方法 1 观察法 寻找项与项数的关系 然后猜想 检验 即得通项公式 注意利用前n项得到的通项公式不一定唯一 2 利用前n项和与通项的关系 3 公式法 利用等差 等比数列的通项公式 2 由递推关系式求通项常用方法 1 逐差法 型如an 1 an 2n an 1 an 2n 则an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2 逐商法 型如an 1 3nan an 1 3n an 则an 3 待定系数法 型如an 1 k an b 若k 0时 则为常数列 若k 1时 则为等差数列 若k 1 且b 0时 法 一 可设an 1 t k an t 得an 1 kan k 1 t 由 k 1 t b 得则数列是以为首项 k为公比的等比数列 所以 kn 1 法 二 把等式an 1 k an b两边都除以kn 1 得转化为第 1 类 4 取倒数法 型如 an 0 取倒数得所以数列是以为首项 1为公差的等差数列 5 待定系数法 型如 an 1 aan bn a b 0 则 当a 1时 可化为第 1 类型 当a 1 b 1时 可化为第 3 类型 当 a 1 b 1时 法 一 原式可化为这时可转化为第 3 类型 法 二 原式可化为an 1 tbn 1 a an tbn 即an 1 aan t a b bn 则t a b 1 所以所以数列 an 是以为首项 以a为公比的等比数列 进而求出通项an 6 取倒数法 型如 an 1 若a b 则数列为等差数列 若a b 则可化为第 3 类型 型如 则bn 1 abn b 可化为第 3 类型 3 求和时常用的基本方法 1 公式求和法 能直接利用等差数列 等比数列求和公式 或可通过适当拆分 重新组合 能直接利用等差数列 等比数列求和公式 2 裂项求和法 型如 3 错位相减求和法 型如 an bn 其中 an 是等差数列 bn 是等比数列 的前n项和 一定要注意项数和最后一项的符号 4 倒序相加求和法 它主要适用于型如ai an 1 i aj an 1 j 1 i j n 4 在解答数列与不等式 数列与函数 数列与方程的有关问题时 特别是数列与不等式经常利用不等式的适当放缩来解答或证明 1 的放缩根据不同的要求 大致有三种情况 3 的放缩根据不同的要求 大致有两种情况 因为可把数列看成函数图象上孤立的 点 所以有时利用函数的单调性证明数列的项的大小 或证明不等式 5 在利用数学归纳法证明问题时 特别是 在利用假设证明 n k 1 也成立时 一定要对所给式子进行灵活变形 适当取舍 合理放缩 牢牢地盯住结论 一 选择题1 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则a1a2 a2a3 anan 1等于 a 16 1 4 n b 16 1 2 n c 1 4 n d 1 2 n 解析 a1 4 an an 1 4 故a1a2 a2a3 a3a4 anan 1 23 21 2 1 2 3 25 2n c 2 已知数列 an 为等差数列 bn 为等比数列 其公比q 1 且bi 0 i 1 2 n 若a1 b1 a2009 b2009 则 a a1005 b1005b a1005 b1005c a1005 b1005d a1005 b1005或a1005 b1005解析因a1 b1 a2009 b2009 所以a1 a2009 b1 b2009 又 an 为等差数列 bn 为等比数列 所以2a1005 a1 a2009 b1 b2009 2b1005 即a1005 b1005 a 3 已知数列 an 的前n项和sn n2 9n n n 第k项满足5 ak 8 则k等于 a 9b 8c 7d 6解析因a1 s1 8 而当n 2时 由an sn sn 1求得an 2n 10 此式对于n 1也成立 要满足5 ak 8 只须5 2k 10 8 从而有而k为自然数 因而只能取k 8 b 4 已知两个等差数列 an 和 bn 的前n项和分别为an和bn 且则使得为整数的正整数n的个数是 a 2b 3c 4d 5解析由等差数列的前n项和及等差中项 故n 1 2 3 5 11时 为整数 d 5 设正项数列 an 的前n项的积为tn 令pn 称pn为数列a1 a2 a3 an的 理想数 已知数列a1 a2 a3 a501的 理想数 为22008 那么数列32 a1 a2 a3 a501的 理想数 为 a 22008b 22009c 22010d 22011解析设数列a1 a2 a3 a501前n项积为tn 数列32 a1 a2 a3 a501前n项积为hn h1 h2 h3 h502 32 32t1 32t2 32t501 32502 t1 t2 t501 32502 22008 501 32502 2502 2004 22009 502 则所求的 理想数 为22009 b 6 已知f x 是定义在r上的不恒为零的函数 且对于任意实数a b r满足 f a b af b bf a f 2 2 an n n bn n n 考察下列结论 其中正确的是 f 0 f 1 f x 为偶函数 数列 an 为等差数列 数列 bn 为等比数列 a b c d 解析 令a b 0 则f 0 0 令a b 1 则f 1 0 即f 0 f 1 故 正确 令a b 1 则f 1 0 令a x r b 1 则f x xf 1 f x f x 故 错误 令a 2n b 2 则f 2n 1 2nf 2 2f 2n 因f 2 2 所以即数列 an 是以1为首项 1为公差的等差数列 故 正确 由 可知 所以即数列 bn 是以2为首项 2为公比的等比数列 故 正确 答案d 二 填空题7 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s4 10 s5 15 则a4的最小值为 解析因为s4 10 s5 15 所以a5 s5 s4 5 又a1 a4 5 a1 a5 6 则a5 a4 1 所以a4 4 即a4的最小值为4 4 8 已知函数f x 2x 等差数列 an 的公差为2 若f a2 a4 a6 a8 a10 4 则log2 f a1 f a2 f a3 f a10 解析 f a2 a4 a6 a8 a10 a2 a4 a6 a8 a10 2 又 a1 a3 a5 a7 a9 a2 d a4 d a10 d 2 5d 8 a1 a2 a10 2 8 6 log2 f a1 f a2 f a10 a1 a2 a10 6 6 9 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 5 且nsn 1 2n n 1 n 1 sn n n 则过点p n an 和q n 2 an 2 n n 的直线的一个方向向量的坐标可以是 填写一个符合条件的即可 解析由条件知所以数列是等差数列 又所以 5 2 n 1 2n 3 即sn 2n2 3n 当n 2时 an sn sn 1 4n 1 当n 1时 a1也满足此式 所以kpq 设直线pq的方向向量为u a b 则有所以u 1 4 1 4 10 数列 an 满足关系式 1 an 1 2 an 2 且a1 1 则 解析由题意知an 1an an 2an 1 即所以数列是以2为首项 2为公比的等比数列 则 2n 1