高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题07 利用线性规划求目标函数的最值（含解析）.doc

第七章 不等式利用线性规划求目标函数的最值【背一背重点知识】 1. 平面区域的确定方法是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等，只需把区域画出来，结合图形通过计算解决2. 线性规划问题解题步骤：作图画出可行域所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l；平移将直线l平行移动，以确定最优解的对应点a的位置；求值解有关方程组求出a点坐标(即最优解)，代入目标函数，求出目标函数的最值3.最优解的确定方法：线性目标函数zaxby取最大值时的最优解与b的正负有关，当b0时，最优解是将直线axby0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b0时，则是向下方平移【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）线性目标函数中的z不是直线在y轴上的截距，把目标函数化为可知是直线在y轴上的截距，要根据的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值（2）数形结合思想要牢记，作图定要准确，整点问题要验证解决（3）求解线性规划中含参问题的基本方法：线性规划中的含参问题主要有两类：一是在条件不等式组中含有参数；二是在目标函数中含有参数解决此类问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，然后通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件2.典型例题：例1已知关于 的不等式组 ，所表示的平面区域的面积为16，则的值为（ ）a-1或3 b1 c1或 d【答案】c【解析】试题分析：作出可行域（如图所示），且直线可化为，即恒过点，联立，得，则的面积为，解得或；故选c例2已知实数满足如果目标函数 的最小值为-1，则实数等于（ ）a7 b5 c4 d3【答案】b【解析】例3满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）a, b. c.2或1 d.分析：目标函数取得最大值的最优解不唯一，一般是平移直线使其与平面区域的边界重合.【答案】d【解析】【练一练提升能力】1. 已知不等式组，表示的平面区域为m，若直线与平面区域m有公共点，则k的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】试题分析：由题意可知，不等式表示的可行域如下图：由于直线恒过点（3,0），所以当直线过点c时斜率最小为.最大值为0.故选a. 2.给定区域:,令点集是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定_条不同的直线.【答案】【解析】 3.若实数满足条件则的最大值是（）abcd【答案】c【解析】由约束条件作出可行域如图中阴影部分，将化为，作出直线并平移，使之经过可行域，易知经过点时，纵截距最小，同时z最大为,故c正确.基本不等式【背一背重点知识】已知，则(1)如果积是定值p，那么当且仅当时，有最小值是 (简记：积定和最小)(2)如果和是定值p，那么当且仅当时，有最大值是 (简记：和定积最大)【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误而“定”条件往往是整个求解过程中的一个难点和关键（2）.对于公式要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和ab的转化关系.（3）.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.2.典型例题：例1设正实数 满足，则当 取得最大值时， 的最大值为 （ ）a0 b1 c d3【答案】b【解析】试题分析：（当且仅当时取“=”），,当且仅当时取得“=”，满足题意, 的最大值为1例2某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为（1）如果不限定车型，则最大车流量为_辆/小时；（2）如果限定车型，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时.分析：作为函数的应用问题，其处理方法一般有三种思路，一是利用函数的单调性；二是利用基本不等式；三是利用导数.本题通过变换函数的表达式，创造了应用基本不等式的条件-一正、二定、三等，体现了处理问题的灵活性.【解析】【练一练提升能力】1.已知，且，若恒成立，则实数的值取值范围是（ ）a或 b或c d【答案】d【解析】试题分析：因为，所以，解得2. 若的最小值是( )a. b. c. d.【答案】d【解析】 3. 若正实数满足，则（ ）a有最大值 b有最小值 c有最大值 d有最小值【答案】c【解析】试题分析：a中，最小值为4；b中，有最大值为；c中由可知，最大值为，d中由可知有最小值不等式恒成立问题【背一背重点知识】1.一元二次方程根的判别式；2.导数的计算公式及求导法则.【讲一讲提高技能】1.必备技能：恒成立问题的解法：(1)用一元二次方程根的判别式法有关含有参数的一元二次不等式的恒成立问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，利用根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决(2)分离参数求最值法如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量的关系，则可以利用函数的单调性求解恒成立，即大于时大于函数值域的上界恒成立，即小于时小于函数值域的下界2.典型例题：例1若函数在是增函数，则a的取值范围是（）abcd分析: 由函数在是增函数知，在上恒成立，通过分离参数得到在上恒成立，故只需求的最大值.【解析】例2当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是_.分析：本题是涉及线性规划的恒成立问题，应首先画出可行域，分析直线的形态位置变化，通过平移，研究取得最值的位置，建立的不等式（组）.【解析】作出不等式组所表示的区域，由得，由图可知，且在点取得最小值在取得最大值，故，故取值范围为【练一练提升能力】1.已知，若不等式恒成立，则的最大值为 a10 b9 c8 d7【答案】b【解析】 2.若对于一切实数，不等式恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：将不等式变形为，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，即，若，不等式显然成立，若，则须，即，综上所述，即的取值范围是；故填（一） 选择题（12*5=60分）1.已知实数、满足，则的最大值为（ ）a b c d 【答案】c【解析】 2.不等式组表示的平面区域的面积为（ ）a7 b5 c3 d14【答案】a【解析】试题分析：作出可行域如图所示：所以不等式组表示的平面区域的面积为，故选a3.若实数满足，则的最大值是（ ）a b9 c1 d3【答案】b【解析】 4. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（ ）a b c d 【答案】c【解析】 5. 设实数x，y满足，则的最大值为（ ）a b c12 d14【答案】a【解析】试题分析：画出不等式组所表示的平面区域（略）分析可得：，当时， 取得最大值为，当且仅当时取得等号，此时点在约束条件表示的可行域内；，当时， 取得最大值为；当且仅当时取得等号，此时点不在可行域内，故舍所以的最大值为故a正确6.已知，若不等式恒成立，则的最大值为 a10 b9 c8 d7【答案】b【解析】 7.已知，且，则的最小值为（ ）a b c d【答案】a【解析】因为，且，所以，选a8.若不等式对于一切恒成立，则a的最小值是()a0 b2 c d3【答案】c【解析】即，所以，只需不小于的最大值.而，在是减函数，其最小值在时取到为，所以，的最大值为，即的最小值为，选c.9.若，且函数在处有极值，则的最小值为（ ）a、 b、 c、 d、【答案】c【解析】试题分析：因为函数在处有极值，所以，即，则（当且仅当且，即时取“=”）；故选c10.若直线，始终平分圆的周长，则的最小值为 （ ）a、1 b c d6【答案】d【解析】 11.已知不等式的解集为，点在直线上，其中，则的最小值为（ ） (a) (b)8 (c)9 (d) 12【答案】c【解析】由题意可知，代入直线，即，所以，故选c.12.某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）a、1800元 b、2400元 c、2800元 d、3100元【答案】c 【解析】（二）填空题（4*5=20分）13.已知,满足约束条件,若的最小值为,则（ ）a b c d2【答案】