高三数学高考（理）二轮复习专题学案专题五 立体几何人教大纲版学案16 空间向量与立体几何.ppt

1 空间向量及其运算 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其意义 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 掌握空间向量的线性运算及坐标表示 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 2 空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量 能运用向量语言表述直线与直线 直线与平 学案16空间向量与立体几何 面 平面与平面的垂直关系与平行关系 能运用向量的方法证明有关直线与平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 能运用向量的方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算 了解向量方法在研究立体几何中的应用 1 2009 北京 若正四棱柱abcd a1b1c1d1的底面边长为1 ab1与底面abcd成60 角 则a1c1到底面abcd的距离为 a b 1c d 解析如图所示 直线ab1与底面abcd所成的角为 b1ab 而a1c1到底面abcd的距离为aa1 在rt abb1中 b1b ab tan60 所以aa1 bb1 d 2 2009 全国 已知正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab e为aa1的中点 则异面直线be与cd1所成角的余弦值为 a b c d 解析如图 连结a1b 则a1b cd1 故异面直线be与cd1所成的角即为be与a1b所成的角 设ab a 则a1e a a1b be a1be中 由余弦定理得 c 3 2009 四川 如图 已知正三棱柱abc a1b1c1的各条棱长都相等 m是侧棱cc1的中点 则异面直线ab1和bm所成的角的大小是 解析延长a1b1至d 使a1b1 b1d 则ab1 bd mbd就是直线ab1和bm所成的角 设三棱柱的各条棱长为2 则bm bd 16 4 2 4 12 dm2 c1d2 c1m2 13 dbm 90 答案90 4 若一个底面边长为棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上 则此球的体积为 解析根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径 由球体积为 题型一利用空间向量证明空间位置关系 例1 2009 北京 如图 四棱锥p abcd的底面是正方形 pd 底面abcd 点e在棱pb上 1 求证 平面aec 平面pdb 2 当pd ab且e为pb的中点时 求ae与平面pdb所成的角的大小 方法一 1 证明 四边形abcd是正方形 ac bd pd 平面abcd pd ac ac 平面pdb 平面aec 平面pdb 2 解设ac bd o 连结oe 由 2 知ac 平面pdb于o aeo为ae与平面pdb所成的角 o e分别为db pb的中点 oe pd且oe pd 又 pd 底面abcd oe 底面abcd oe ao 在rt aoe中 aeo 45 即ae与平面pdb所成的角为45 方法二如图 以d为原点建立空间直角坐标系d xyz 设ab a pd h 则a a 0 0 b a a 0 c 0 a 0 d 0 0 0 p 0 0 h 1 证明 a a 0 0 0 h a a 0 ac dp ac bd 又 bd dp d ac 平面pdb 平面aec 平面pdb 2 解当pd ab且e为pb的中点时 p 0 0 设ac bd o 则连结oe 由 1 知ac 平面pdb于o aeo为ae与平面pdb所成的角 aeo 45 即ae与平面pdb所成的角为45 探究拓展 本题主要考查直线和平面垂直 平面与平面垂直 直线与平面所成的角等基础知识 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力等 变式训练1如图所示 四棱锥p abcd的底面abcd是边长为1的菱形 bcd 60 e是cd的中点 pa 底面abcd pa 1 证明 平面pbe 平面pab 2 求二面角a be p的大小 方法一 1 证明如图所示 连接bd 由abcd是菱形且 bcd 60 知 bcd是等边三角形 因为e是cd的中点 所以be cd 又ab cd 所以be ab 又因为pa 平面abcd be 平面abcd 所以pa be 而pa ab a 因此be 平面pab 又be 平面pbe 所以平面pbe 平面pab 2 解由 1 知 be 平面pab pb 平面pab 所以pb be 又ab be 所以 pba是二面角a be p的平面角 在rt pab中 tan pba pba 60 故二面角a be p的大小是60 方法二如图所示 以a为原点 建立空间直角坐标系 则相关各点的坐标分别是a 0 0 0 b 1 0 0 1 证明因为 0 0 平面pab的一个法向量是n0 0 1 0 所以和n0共线 从而be 平面pab 又因为be 平面pbe 所以平面pbe 平面pab 2 解易知 1 0 0 0 设n1 x1 y1 z1 是平面pbe的一个法向量 所以y1 0 x1 z1 故可取n1 0 1 而平面abe的一个法向量是n2 0 0 1 于是 cos n1 n2 故二面角a be p的大小是60 题型二利用空间向量求空间角 例2 如图所示 在三棱锥s abc中 侧面sab与侧面sac均为等边三角形 bac 90 o为bc中点 1 证明 so 平面abc 2 求二面角a sc b的余弦值 1 证明由题设ab ac sb sc sa abc为等腰直角三角形 连结oa 所以oa ob oc sa 且ao bc 又 sbc为等腰三角形 故so bc 且so sa 从而oa2 so2 sa2 所以 soa为直角三角形 so ao 又ao bc o 所以so 平面abc 2 解方法一取sc中点m 连结am om 由 1 知so oc sa ac 得om sc am sc oma为二面角a sc b的平面角 由ao bc ao so so bc o得ao 平面sbc 所以ao om 又am sa 所以二面角a sc b的余弦值为 方法二以o为坐标原点 射线ob oa os分别为x轴 y轴 z轴的正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 设b 1 0 0 则c 1 0 0 a 0 1 0 s 0 0 1 故mo sc ma sc 的大小等于二面角a sc b的平面角 所以二面角a sc b的余弦值为 探究拓展 利用向量解决二面角的问题时 一定要注意法向量的方向 否则易求成其补角 再观察图形才能确定其具体值 变式训练2如图所示 正四棱柱ab cd a1b1c1d1中 aa1 2ab 4 点e在cc1上且c1e 3ec 1 证明 a1c 平面bed 2 求二面角a1 de b的余弦值 方法一 1 证明依题设 ab 2 ce 1 连接ac交bd于点f 则bd ac 由三垂线定理知 bd a1c 在平面a1ca内 连接ef交a1c于点g 故rt a1ac rt fce aa1c cfe cfe与 fca1互余 于是a1c ef a1c与平面bed内两条相交直线bd ef都垂直 所以a1c 平面bed 2 解作gh de 垂足为h 连接a1h 由三垂线定理知a1h de 故 a1hg是二面角a1 de b的平面角 所以二面角a1 de b的余弦值为 方法二以d为坐标原点 分别以da dc dd1为x轴 y轴 z轴 建立如图所示直角坐标系d xyz 依题设 b 2 2 0 c 0 2 0 e 0 2 1 a1 2 0 4 0 2 1 2 2 0 2 2 4 2 0 4 1 证明因为故a1c bd a1c de 又db de d 所以a1c 平面dbe 2 解设向量n x y z 是平面da1e的法向量 则n n 故2y z 0 2x 4z 0 令y 1 则z 2 x 4 n 4 1 2 等于二面角a1 de b的平面角的大小 所以二面角a1 de b的余弦值为 题型三利用空间向量求距离 例3 2009 江西 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd pa ad 4 ab 2 以ac中点o为球心 ac为直径的球面交pd于点m 交pc于点n 1 求证 平面abm 平面pcd 2 求直线cd与平面acm所成的角的大小 3 求点n到平面acm的距离 方法一 1 证明依题设知 ac是所作球面的直径 则am mc 又因为pa 平面abcd 所以pa cd 又cd ad ad pa a 所以cd 平面pad 所以cd am am mc m 所以am 平面pcd am 平面abm 所以平面abm 平面pcd 2 解由 1 知 am pd 又pa ad 则m是pd的中点 可得am 且m到平面abcd的距离为2 设d到平面acm的距离为h 由vd acm vm acd 设所求角为 则 3 解由 1 可求得pc 6 因为an nc 由得pn 所以nc pc 5 9 故点n到平面acm的距离等于点p到平面acm距离的又因为m是pd的中点 则p d到平面acm的距离相等 由 2 可知所求的距离为 方法二 1 同方法一 2 解如图所示 建立空间直角坐标系 则a 0 0 0 p 0 0 4 b 2 0 0 c 2 4 0 d 0 4 0 m 0 2 2 设平面acm的一个法向量n x y z 令z 1 则n 2 1 1 设所求角为 则所求角的大小为 3 解由条件可得 an nc 在rt pac中 pa2 pn pc 所以pn 所求距离等于点p到平面acm距离的设点p到平面acm的距离为h 则所以所求距离为 探究拓展 在空间图形中 如果线段较多 关系较为复杂 如平行 垂直 角和距离等均有涉及 常常需要多种方法灵活使用 合理结合 才能达到较为理想的效果 在建立坐标后 应根据条件首先确定相应点的坐标 然后通过向量的坐标计算解决相应问题 变式训练3如图所示 在四棱锥p abcd中 侧面pad 底面abcd 侧棱pa pd 底面abcd为直角梯形 其中bc ad ab ad ad 2ab 2bc 2 o为ad中点 1 求证 po 平面abcd 2 求异面直线pb与cd所成角的余弦值 3 求点a到平面pcd的距离 方法一 1 证明在 pad中 pa pd o为ad中点 所以po ad 又侧面pad 底面abcd 平面pad 平面abcd ad po 平面pad 所以po 平面abcd 2 解连接bo 在直角梯形abcd中 bc ad ad 2ab 2bc 又od bc且od bc 所以四边形obcd是平行四边形 所以ob dc 由 1 知 po ob pbo为锐角 所以 pbo是异面直线pb与cd所成的角 因为ad 2ab 2bc 2 在rt aob中 ab 1 ao 1 所以ob 在rt poa中 因为ap ao 1 所以op 1 在rt pbo中 所以异面直线pb与cd所成的角的余弦值为 3 解由 2 得cd ob 在rt poc中 所以pc cd dp s pcd 又s acd ad ab 1 设点a到平面pcd的距离为h 由vp acd va pcd 得s acd op s pcd h 方法二 1 同方法一 2 解以o为坐标原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向 建立空间直角坐标系o xyz 则a 0 1 0 b 1 1 0 c 1 0 0 d 0 1 0 p 0 0 1 所以异面直线pb与cd所成的角的余弦值为 3 解设平面pcd的法向量为n x0 y0 z0 由 2 知 1 0 1 1 1 0 即x0 y0 z0 取x0 1 得平面的一个法向量为n 1 1 1 又 1 1 0 从而点a到平面pcd的距离 题型四利用空间向量解决探索性问题 例4 2009 北京 如图 在三棱锥p abc中 pa 底面abc pa ab abc 60 bca 90 点d e分别在棱pb pc上 且de bc 1 求证 bc 平面pac 2 当d为pb的中点时 求ad与平面pac所成的角的大小 3 是否存在点e使得二面角a de p为直二面角 并说明理由 方法一 1 证明 pa 底面abc pa bc 又 bca 90 ac bc 又 ac pa a bc 平面pac 2 解 d为pb的中点 de bc de bc 又由 1 知 bc 平面pac de 平面pac 垂足为点e dae是ad与平面pac所成的角 pa 底面abc pa ab 又pa ab abp为等腰直角三角形 ad ab 在rt abc中 abc 60 bc ab de ab 在rt ade中 sin dae ad与平面pac所成的角的大小为 3 解 de bc 又由 1 知 bc 平面pac de 平面pac 又 ae 平面pac pe 平面pac de ae de pe aep为二面角a de p的平面角 pa 底面abc pa ac pac 90 在棱pc上存在一点e 使得ae pc 这时 aep 90 故存在点e使得二面角a de p是直二面角 方法二如图所示 以a为原点建立空间直角坐标系a xyz 设pa a 由已知可得a 0 0 0 p 0 0 a 1 证明 0 0 a 0 0 bc ap 又 bca 90 bc ac 又ac ap a bc 平面pac 2 解 d为pb的中点 de bc e为pc的中点 又由 1 知 bc 平面pac de 平面pac 垂足为点e dae是ad与平面pac所成的角 ad与平面pac所成的角的大小为 3 同方法一 探究拓展 本题主要考查直线和平面垂直 直线与平面所成的角 二面角等基础知识 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 变式训练4 2009 福建 如图所示 四边形abcd是边长为1的正方形 md 平面abcd nb 平面abcd 且md nb 1 e为bc的中点 1 求异面直线ne与am所成角的余弦值 2 在线段an上是否存在点s 使得es 平面amn 若存在 求线段as的长 若不存在 请说明理由 解 1 如图 以d为坐标原点 建立空间直角坐标系d xyz 依题意 易得d 0 0 0 a 1 0 0 m 0 0 1 c 0 1 0 b 1 1 0 n 1 1 1 e 1 0 异面直线ne与am所成角的余弦值为 2 假设在线段an上存在点s 使得es 平面amn 由es 平面amn 得经检验 当as 时 es 平面amn 故线段an上存在点s 使得es 平面amn 此时as 考题再现 2009 四川 如图 正方形abcd所在平面与平面四边形abef所在平面互相垂直 abe是等腰直角三角形 ab ae fa fe aef 45 1 求证 ef 平面bce 2 设线段cd的中点为p 在直线ae上是否存在一点m 使得pm 平面bce 若存在 请指出点m的位置 并证明你的结论 若不存在 请说明理由 3 求二面角f bd a的余弦值 解题示范 1 证明因为 abe为等腰直角三角形 ab ae 所以ae ab 又因为平面abef 平面abcd ae 平面abef 平面abef 平面abcd ab 所以ae 平面abcd 所以ae ad 因此 ad ab ae两两垂直 以a为坐标原点建立如图所示的直角坐标系a xyz 设ab 1 则ae 1 b 0 1 0 d 1 0 0 e 0 0 1 c 1 1 0 因为fa fe aef 45 所以 afe 90 从而 所以 0 1 1 1 0 0 所以ef be ef bc 因为be 平面bce bc 平面bce bc be b 所以ef 平面bce 4分 2 解存在点m 当m为ae中点时 pm 平面bce 所以pm fe 又ef 平面bce 直线pm 平面bce 故pm 平面bce 8分 3 解设平面bdf的一个法向量为n1 并设n1 x y z 取y 1 则x 1 z 3 从而n1 1 1 3 取平面abd的一个法向量为n2 0 0 1 故二面角f bd a的余弦值为12分 从近几年的高考试题看 立体几何解答题大多为可用向量 坐标 法求解 从而使解题更简捷有效 对空间向量的考查主要集中于对向量概念和运算的考查 特别是平行 垂直关系及夹角 距离的运算 要结合直线的方向向量及平面的法向量 这些方法比传统的空间关系几何法具备明显的优越性 利用空间向量解决立体几何问题的策略 1 基向量法 利用空间向量基本定理 用一组基底把有关空间向量表示出来 然后通过向量的有关运算解决 2 坐标法 通过建立适当的空间直角坐标系 通过向量的坐标运算解决问题 其步骤为 建立立体图形与空间向量的联系 首先建立适当的坐标系 正确找到相关点的坐标 用空间向量表示问题中涉及的直线平面 把立体几何问题转化为向量问题 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的位置关系 如平行 垂直 共面 以及它们之间的距离和夹角等问题 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 一 选择题1 如图在平行六面体abcd a1b1c1d1中 m是面bcc1b1的中心 若给出以下结论 a b c 2 a 1 a 2c a b 其中正确结论的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析由题意知所以a 1 b c 则a b c 2 a 1 a 2c 答案d2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g分别为cd aa1 bb1的中点 则异面直线ef与d1g所成的角的余弦值等于 a b c d 解析建立以da为x轴 dc为y轴 dd1为z轴的空间坐标系 设ab 2a 则f 2a 0 a e 0 a 0 g 2a 2a a d1 0 0 2a 所以 2a a a 2a 2a a 答案b 3 已知点p a b c共面 点o不在该平面内 sn是等差数列 an 的前n项和 且满足 则s2009的值为 a 2007b 2008c 2009d 2010解析因点p a b c共面 点o不在该面内 所以a1 a2009 a5 a2005 2 c 4 2008 北京 如图所示 动点p在正方体abcd a1b1c1d1的对角线bd1上 过点p作垂直于平面bb1d1d的直线 与正方体表面相交于m n两点 设bp x mn y 则函数y f x 的图象大致是 解析如图所示 由题意知mn始终与平面bb1d1d垂直 则mn应在过bd1且与平面bb1d1d垂直的平面内 取aa1的中点为o 连结d1o b1o 则平面d1ob即为过bd1且与平面bb1d1d垂直的平面 则m的轨迹为线段ob或od1 然后根据解三角形的知识得y关于x的函数关系式 从而可知图象应为两条折线段 答案b 5 在正四面体s abc中 e为sa的中点 f为 abc的中心 则异面直线ef与ab所成的角是 a 30 b 45 c 60 d 90 解析过f作fm ab交ac于点m 连接em ef sf af 则 efm是异面直线ab ef所成的角或其补角 因为点f是底面的中心 af平分 bac 又fm ab am fm sf 面abc sf af e是sa的中点 ae fe mae mfe mae mfe efm 60 答案c6 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 点m是棱ab上异于点a的一定点 点p是平面abcd内的一动点 且点p到直线a1d1的距离的平方比到点m的距离的平方大4 则点p的轨迹形状为 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 解析如图 建立以da为x轴 dc为y轴 dd1为z轴的空间直角坐标系 设m 2 a 0 a 0 2 且为常数 p x y 0 由题意可知点p到直线a1d1的距离为则 pq 2 pm 2 4 p的轨迹应为一条抛物线 答案d 二 填空题7 已知球o的面上四点a b c d da 平面abc ab bc da ab bc 则球o的体积等于 解析以cd为弦 连结两端点与球面上的点a b 均有ac ad bc bd 由此可判定cd为该球的直径 由da ab bc 得所以球的半径所以v球 8 已知m a1 a2 a3 n b1 b2 b3 且 m 5 n 6 m n 30 则 解析因m n m n cos m n 又 m 5 n 6 m n 30 所以cos m n 1 即m与n同向共线 故可设m kn k 0 即a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 又 m 5 n 6 所以 9 在四面体abcd中 ab 1 ad bc 3 cd 2 abc dcb 则二面角a bc d的大小等于 解析如图 因 abc dcb 所以ab bc dc bc 因此向量的夹角就是二面角a bc d的大小 而在rt bcd中 dcb bc 3 cd 2 bd 在 dab中 bd2 ab2 ad2 所以 dab cos abd 故二面角a bc d的大小等于答案10 等边三角形abc与正方形abde有一公共边ab 二面角c ab d的余弦值为m n分别是ac bc的中点 则em an所成角的余弦值等于 解析如图所示 取de的中点k 连接nk 四边形mnke是平行四边形 me nk ank为异面直线em an所成的角 连接ak 设正方形abde的边长为a 在平面abc内过n作nf ab交ab于f 过f作fg de交de于g 连接ng 则 nfg为二面角c ab d的平面角 即cos nfg nf fg a bf ng2 nf2 fg2 2nf fgcos nfg ed 平面nfg 在 ank中 cos ank 答案 三 解答题11 2008 安徽 如图所示 在四棱锥o abcd中 底面abcd是边长为1的菱形 abc oa 底面abcd oa 2 m为oa的中点 n为bc的中点 1 证明 直线mn 平面ocd 2 求异面直线ab与md所成角的大小 3 求点b到平面ocd的距离 方法一 1 证明如图 1 取ob的中点e 连接me ne 则me ab 又 ab cd me cd 又 ne oc 平面mne 平面ocd 又 mn 平面mne