高考数学 中等生百日捷进提升系列（综合提升篇）专题02 概率统计解答题 文（含解析）.doc

专题二 概率统计解答题（文）以随机事件概率为背景综合题【背一背重点知识】1.互斥事件的概率加法计算公式.2.对立事件的概率计算公式.3.古典概型的意义（1）实验中所以可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等. 4.古典概型的概率公式：【讲一讲提高技能】1.必备技能：能够用列举法把古典概型实验的基本事件一一列举出来.2.典型例题：例1甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分两人4局的得分情况如下：甲6699乙79（）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求的值；（）如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，求的概率；（）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值（结论不要求证明）【答案】（）15；（）；（）的可能取值为， 【解析】试题分析：（）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，说明中至少有一个小于6，从而可得，又在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，可得，从而得本小题只要按常规想法分析题意即可；（）把组成有序数对，这样总的事件可通过列举法列举出来，总数为16，满足的有8种，概率可得；（）由平均得分相同得，又由乙的发挥更稳定，知乙的成绩与均值偏差较小（这样方差较小），因此的值不小于6，不大于9，这样可得的可能值是6，7，8试题解析：（）由题意，得，即 因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零，所以中至少有一个小于6，又因为，且，所以，所以 （）的可能取值为，例2 .某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示（1）请先求出频率分布表中、位置相应数据；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受考官a进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官a面试的概率？【答案】（1）35,03；（2）第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人；（3）【解析】第3组的频率为【练一练提升能力】1.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，.（）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（）求“抽取的卡片上的数字，不完全相同”的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】 2. 海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测地区数量50150100（1）求这6件样品中来自各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.【答案】(1) a，b，c三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.（2）这2件商品来自相同地区的概率为.【解析】（2）设6件来自a，b，c三个地区的样品分别为,则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：，,共15个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，记事件d：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件d包含的基本事件有：共4个.所有，即这2件商品来自相同地区的概率为.以茎叶图为背景概率综合题【背一背重点知识】1.根据茎叶图求平均数,2.根据茎叶图求中位数，众数【讲一讲提高技能】1.必备技能：根据茎叶图解决实际问题，平均数公式，方差公式.2.典型例题：例1某车间名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）合计（1）求这名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这名工人年龄的茎叶图；（3）求这名工人年龄的方差. 分析：（1）利用有关定义及计算公式得：众数为，极差为；（2）根据茎叶图的定义及给定数据画出；（3）先计算年龄的平均数，再应用方差计算公式计算.【解析】例2 .某市为了考核甲，乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价【答案】（1）甲，乙两部门评分的中位数估计值分别是75，67；（2）该市的市民对甲，乙部门的评分高于90的概率的估计分别为；（3）详见解析【解析】试题分析：（1） 50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的平均数即为甲部门评分的中位数同理可得乙部门评分的中位数（2）甲部门的评分高于90的共有5个，所以所求概率为；乙部门的评分高于90的共8个，所以所求概率为（3）市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，且甲部门的评分较集中，乙部门的评分相对分散，即甲部门的评分的方差比乙部门的评分的方差小【练一练提升能力】1.为调查某次考试数学的成绩，随机抽取某中学甲、乙两班各十名同学，获得成绩数据的茎叶图如图（单位：分）（1）求甲班十名学生成绩的中位数和乙班十名学生成绩的平均数；（2）若定义成绩大于等于120分为“优秀成绩”，现从甲班，乙两班样本数据的“优秀成绩”中分别抽取一人，求被抽取的甲班学生成绩高于乙班的概率【答案】(1)中位数是113；(2).【解析】（1）由茎叶图可知：甲班的成绩的中位数是113（3分）乙班的成绩分别是：107，109，109，113，114，118，120，122，127，128按题意抽取后，比较成绩高低的情况列举如下121121128122120121120甲高121120甲高128120甲高122120甲高122121122乙高121122乙高128122甲高122=122乙高127121127乙高121127乙高128127甲高122127乙高128121128乙高121128乙高128=128乙高122128乙高（10分）由表格可知p（a）=2.某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图（1）求分数在的频率及全班人数；（2）求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高；（3）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率【答案】（1）008，25；（2）0012；（3）07【解析】以频率分布直方图为背景的概率综合题【背一背重点知识】1.频率=组距高2.样本容量频率=各组的个数【讲一讲提高技能】1必备技能：读懂频率分布直方图的数据，会绘制频率分布直方图.2典型例题：例1从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列命题：（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据上面补充完整的频率分布直方图用组中值估计出本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少1人在分数段的概率【答案】（1）概率为03，图见解析；（2）71分；（3）09【解析】 （2）平均分为：答：估计这次考试的平均分是71分例2从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）分析：（1）由频率分布表与频率分布直方图即可得结果；（2）由频率分布直方图即可得的值;(3)求平均数.【解析】【练一练提升能力】1.对 岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： （）补全频率分布直方图并求、的值；（）从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率【答案】（）；（）【解析】（2）岁中有4人，岁中有2人设岁中的4人为，岁中的2人为，则选取2人作为领队的有共15种；其中恰有1人年龄在岁的有，共8种，所以选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率为2. 从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量被测学生的身高全部在155cm到195cm之间将测量结果按如下方式分成8组：第一组155,160)，第二组160,165)，第八组190,195，如下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分已知：第1组与第8组的人数相同，第6组、第7组和第8组的人数依次成等差数列(1)求下列频率分布表中所标字母的值.分组频数频率频率/组距180,185)xy185,190)mn190,195)zp(2)若从样本身高属于第6组和第8组的所有男生中随机的抽取2名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|xy|5事件的概率【答案】（1）y0.08，n0.06，p0.008，z2（2）【解析】 (2)由(1)知，身高在180,185)内的人数为4人，设为a，b，c，d，身高在190,195内的人数为2人，设为a，b，若x，y180,185)有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y190,195有ab有1种情况，若x180,185)，y190,195时，有aa，ba，ca，da，ab，bb，cb，db有8种情况所以基本事件总数为61815种所以，事件“|xy|5”所包含的基本事件为617种，p(|xy|5).与变量间的相关关系与独立性检验为背景的概率综合题【背一背重点知识】1.能识别，会做列联表.2.能计算的值，比较观测值k与临界值表中相应的检验水平，根据小概率水平肯定或否定小假设，来判断是否相关.【讲一讲提高技能】1必备技能：正确理解题意，会列列联表.2典型例题：例1某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（）应收集多少位女生样本数据？（）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率. （）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879分析：（1）利用分层抽样的应用可以算出，记应收集90位女生的样本数据.（2）根据频率分布直方图可得.（3）根据题意300位学生中有人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的.可以画出每周平均体育运动时间与性别列联表，计算.则有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【解析】每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得.有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 例2电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。()根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？()将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。附0.050.013.8416.635非体育迷体育迷合计男女合计分析：（i）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出，与3.841比较即可得出结论；（ii）由题意，列出所有的基本事件，计算出事件“任选3人，至少有1人是女性”包含的基本事件数，即可计算出概率【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545 女451055合计7525100将列联表中的数据代入公式计算，得 3分因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. 6分 【练一练提升能力】1.微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司名员工中的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有人，其余每天使用微信在一小时以上若将员工年龄分成青年（年龄小于岁）和中年（年龄不小于岁）两个阶段，使用微信的人中是青年人若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中是青年人（）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出列联表；青年人中年人合计经常使用微信不经常使用微信合计（）由列联表中所得数据，是否有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？（）采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取人，从这人中任选人，求事件 “选出的人均是青年人”的概率附：【答案】（i）180人；（ii）有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”；（iii）【解析】所以可列下面列联表：青年人中年人合计经常使用微信8040120不经常使用微信55560合计13545180（）将列联表中数据代入公式可得： 由于,所以有的把握认为“经常使用微信与年龄有关” 2. 为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收人（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表：月收入15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数4812521将月收入不低于55的人群称为“高收人族”，月收入低于55的人群称为“非高收入族”（i）根据已知条件完成下面的2x2列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令？非高收入族高收入族总计赞成不赞成总计（ii）现从月收入在15，25）的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率附：k2= p（k2k0）0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879【答案】（）不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令；（）0.6.【解析】解：（i）由题意，可得2x2列联表，非高收入族高收入族总计赞成29332不赞成11718总计401050假设非高收入族与赞成楼市限购令没有关系，则k2= =不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令；解答题（共10题）1.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为t其范围为0，10，分别有五个级别：t0，2）畅通;t2，4)基本畅通; t4，6）轻度拥堵; t6，8)中度拥堵；t8，10严重拥堵，晚高峰时段(t2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示(i)请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个？()用分层抽样的方法从交通指数在4，6），6，8），8，l0的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；()从()中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率【解析】 所选个路段中至少一个轻度拥堵的概率是2.某单位n名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁到50岁之间，按年龄分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到的频率分布直方图如右图所示，下表是年龄的频率分布表， （1）求正整数的值.(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中分别用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在1,2,3组中的人数分别是多少？（3）在的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有一人在第3组的概率.【解析】 3. 今年暑假期间，雅礼中学组织学生进社区开展社会实践活动部分学生进行了关于“消防安全”的调查，随机抽取了50名居民进行问卷调查，活动结束后，对问卷结果进行了统计，并将其中“是否知道灭火器使用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：年龄（岁）频数141286知道的人数348732（1）求上表中的、的值，并补全下图所示的频率分布直方图；（2）在被调查的居民中，若从年龄在的居民中各随机选取1人参加消防知识讲座，求选中的两人中仅有一人不知道灭火器的使用方法的概率【答案】（1），频率分布直方图见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可得，年龄在的频数为，年龄在的频数为，由表格可算出纵坐标，据此可补全频率分布直方图；（2）记年龄在区间的居民为（其中居民为不知道使用方法）；年龄在区间的居民为（其中居民不知道使用方法）列举可得出基本事件的总个数，其中满足题意的有个，由概率计算公式即可得出所求的结果.试题解析：（1）年龄在的频数为，年龄在的频数为；由表格可算出纵坐标分别为和，补全直方图如下 4.某校学生依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练及考核，若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，若每一次考试是否合格互不影响。（1）求学生甲体能考核与外语考核都合格的概率（2）设学生甲不放弃每一次考核的机会，求学生甲恰好补考一次的概率【答案】（1）；（2）【解析】 5.如图，从a1（1,0,0），a2（2,0,0），b1（0,1,0,）b2（0,2,0），c1（0,0,1），c2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。求这3点与原点o恰好是正三棱锥的四个