高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示练习 北师大版必修4.doc

6平面向量数量积的坐标表示a组1.若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(ab)(a+b)=()a.20b.54c.(-10,30)d.(-8,24)解析:ab=-3+8=5,a+b=(-2,6),(ab)(a+b)=(-10,30).答案:c2.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则向量a与向量c=(,-1)的夹角的余弦值是()a.b.c.d.解析:a+b=(3,k+2),又a+b与a共线,所以k+2=3k,解得k=1,于是a=(1,1),设a与c夹角为,则cos =.答案:b3.在以oa为边,ob为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=()a.4b.3c.d.4解析:由已知得=(1,k-1),而由题意得,即=-3+k-1=0,故k=4.答案:d4.已知a=(2,4),则与a垂直的单位向量的坐标是()a.b.c.d.解析:由已知得与a=(2,4)垂直的向量为b=(4,-2),即b=(4,-2),又|b|=1,所以=,于是所求单位向量为.答案:d5.导学号03070107直线l1的一个方向向量为a=(-1,3),直线l2的一个方向向量为b=(1,k),且l2过点(0,5),l1l2,则l2的直线方程为()a.x-3y+15=0b.x-3y+5=0c.x+3y-5=0d.x-3y-15=0解析:由l1l2知ab,因此,由-1+3k=0,得k=,所以直线l2的斜率即为,又l2过点(0,5),所以l2方程为y-5=x,即x-3y+15=0.答案:a6.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180,且|b|=3,则b=.解析:由题意知b=(1,-2)=(,-2)(0).又|b|=3,=3.52=45,2=9.0,=-3.b=(-3,6).答案:(-3,6)7.直线y=2x-1与直线x+y=1的夹角的余弦值为.解析:由已知得两直线的方向向量分别是m=(1,2),n=(1,-1),于是cos =-,于是两直线的夹角的余弦值是.答案:8.在直角三角形abc中,c=90,e,f是斜边ab的两个三等分点,且ac=6,bc=8,那么=.解析:以c为原点,cb,ca分别为x轴、y轴建立坐标系,由已知可得,c(0,0),e,f,于是,于是.答案:9.已知a=(1,2),b=(-3,2).(1)求a-b及|a-b|;(2)求ka+b与a-b垂直,求实数k的值.解:(1)a-b=(4,0),|a-b|=4.(2)ka+b=(k-3,2k+2),a-b=(4,0).(ka+b)(a-b),(ka+b)(a-b)=4(k-3)+(2k+2)0=0,解得k=3.10.导学号03070108已知a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.解:(1)设c=(x,y),|c|=2,=2,即x2+y2=20.由ca和|c|=2,可得解得故c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)(a+2b)(2a-b),(a+2b)(2a-b)=0,即2a2+3ab-2b2=0,25+3ab-2=0,整理得ab=-,cos =-1.又0,=.b组1.已知向量a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),则a与b夹角的余弦值为()a.b.-c.d.解析:由a+b=(2,-8),a-b=(-8,16)得a=(-3,4),b=(5,-12),所以cos=-,故选b.答案:b2.已知点a(-1,1),b(1,2),c(-2,-1),d(3,4),则向量方向上的射影为()a.b.c.-d.-解析:=(2,1),=(5,5),向量方向上的射影为|cos=|.答案:a3.已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是()a.(-2,+)b.c.(-,-2)d.(-2,2)解析:由ab=2+k0得k-2,又当ab时,2k=1,k=,所以a与b夹角为锐角时,k的范围是.答案:b4.(2016江西吉安高三月考)abc中,a=90,ab=2,ac=1,设点p,q满足=(1-),r,若=-2,则=()a.b.c.d.2解析:以点a为坐标原点,为x轴的正方向,为y轴的正方向,建立平面直角坐标系,由题意知b(2,0),c(0,1),p(2,0),q(0,1-),则=(-2,1-),=(2,-1),=-2,-22+(1-)(-1)=-2,解得=,故选a.答案:a5.设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45,则t的值为.解析:a=(4,-3),b=(2,1),a+tb=(4+2t,-3+t).a+tb与b的夹角为45,(a+tb)b=|a+tb|b|cos 45,2(4+2t)+(-3+t)1=,5t+5=.(t+1).将式两边平方得t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3.而t=-3时,式无意义,t=-3舍去,故t=1.答案:16.在平面直角坐标系xoy中,已知点a(-1,-2),b(2,3),c(-2,-1).(1)求以线段ab,ac为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)=0,求t的值.解:(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则=(2,6),=(4,4),所以|=2,|=4.故所求的两条对角线的长分别为2,4.(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.7.导学号03070109在四边形abcd中,=a,=b,=c,=d,且ab=bc=cd=da,试问四边形abcd是什么图形?解:因为a+b+c+d=0,所以a+b=-(c+d).所以(a+b)2=(c+d)2,即|a|2+2ab+|b|2=|c|2+2cd+|d|2.由于ab=cd,所以|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.同理,有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2.由可得|a|=|c|,且|b|=|d|,即四边形abcd的两组对边分别相等.所以四边形abcd是平行四边形.又由ab=bc得b(a-c)=0.而由平行四边形abcd的性质得a=-c,代入上式得b(2a)=0,即ab=0.所以ab,亦即abbc.综上所述,四边形abcd是矩形.8.导学号03070110如图,在abc中,=0,|=8,|=6,l为线段bc的垂直平分线,l与bc交于点d,e为l上异于d的任意一点.(1)求的值;(2)判断的值是否为一个常数,并说明理由.解:(1)以点d为坐标原点