2013考研之线性代数总结笔记.doc

2013线性代数强化讲义第一章 行列式1 行列式1）一般的行列式其中为逆序数.排列中若存在大数在前，小数在后，这一对数构成一个逆序，排列中所有逆序的个数称为逆序数.例1 求.2）定义的应用a) .二阶行列式.b) 行列式的某一项例2 设. 求和的系数为多少.含：.的系数为：. 含： 的系数为：2. 行列式的重要性质1）.2). 若行列式的某行（某列）有公因子.则可把公因子提到行列式外面.3). 行列式的两行（两列）互换，其值变号.4) 行列式的某行(某列)可以写成两数之和,则其行列式等于两个行列式之和5). 把行列式的某行（某列）所有元素的倍数加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值.3.行列式的展开定理. 为代数余子式，为余子式.1). 行列展开原理的应用：计算时先用加减法使某些值变为零.然后再用展开法.2). 代数余子式的组合值：它就等于在原来的行列式中把第行换成的行列式.例3 设，计算的值.解析：4. 几个重要的公式.1）三角行列式: .2) 准对角行列式：. .3) 范德蒙德行列式： .注： 范德蒙德行列式用来计算各行（或各列）称等比数列的行列式.4）5) 若为阶方阵, 为的特征值, 则且.其中为多项式.6) 若相似则且，其中为多项式.题型一：数值型行列式的求解1) 各行或各列中的元素成等比，则用范德蒙行列式求解.2) 按行或按列展开降阶处理，只有1-2个非零元.3) 三角形法.注：计算过程中可能能用分块矩阵行列式的计算公式做简化计算.例4 计算行列式.解：（每列减第一列）第二列加第四列得：例5 计算行列式补例：证明 法一：原行列式 注：三对角行列式用上面行依次消去下面的行.法二：递推法由行列展开定理有当有符合条件.假设时结论成立，则时有结论也成立. 证毕.例6 计算行列式解：例7求下面阶行列式的值解：行列式的值 例8 求解：题型二：抽象型行列式的求解（本章的重点）1)利用行列式的向量性质和矩阵性质求解.2)利用矩阵的特征值求解.例9 设是一个阶正交矩阵且求.解：例10 设矩阵其中均为三维向量，已知行列式求行列式解析： 例11 已知求方阵的行列式.解：例12 若三个阶矩阵均不可逆，求解：由题意0，-1，-2为的特征值的特征值为-1，-4，5.例13 设均为阶矩阵，求解：题型三：证明1) 利用的等价条件：(a) (b) (c) 只有零解.2) 反证法：假设矩阵可逆.例14 已知阶矩阵满足，证明不可逆但可逆.证明：，的特征值全为1第二章 矩 阵1.矩阵与方阵：将个数排成行，列，两边画个括号，即形如称为一个行列矩阵，若矩阵为方阵.2. 矩阵的简单运算1）设.则2）数乘运算定义，. 3) 矩阵的乘法 设则.则.a) 矩阵的乘法有下列的性质： b)矩阵乘法的特殊性(b1) 对于矩阵不能推出 故消去率也不成立.(b2) 对于矩阵不一定成立.注：很多数字的计算公式在矩阵中不在成立, 如平方差公式.c) 矩阵的幂. 设是阶方阵，则可以自乘.个相乘为，则为的次幂.矩阵的幂有下面的性质：. .3. 逆矩阵与伴随阵：对于两个矩阵满足，则称是的逆矩阵.1) 可逆的矩阵成为可逆矩阵或非奇异矩阵，不可逆的称为不可逆阵或称为奇异矩阵.对于方阵有 .2）伴随矩阵：. 重要性质是.故而.2) 对于方阵，是的逆矩阵只要或即可.其中一个成立即可.注：上面给出的逆矩阵公式只有理论价值，除了2阶方阵外一般不会用其计算，4. 初等变换与矩阵1) 初等行（列）变换：分两行互换（列）、一行（列）加上另一行（列）的倍数，一行（列）乘法一个非零常数. 2） 三种初等矩阵: 将单位阵进行初等行或列就可以得到初等矩阵., 3) 对于一个矩阵进行初等行（列）变换，相等对此矩阵左（右）乘一个相应的初等矩阵.4) 等价存在可逆矩阵使得5） 初等变换法求矩阵的逆：.注：5. 分块矩阵：分成几块，将其看成小的矩阵相乘，每块的乘法也就矩阵相乘.几个常见的分块：1) 为的解.注：若, 则为为的解2） 6 几个常见的公式1) 关于和.a) 这四个运算任意两个的运算顺序可以交换.b)c)d)2) 关于的结论a) , 当可逆时. b) 3) 关于矩阵的可逆性：.4) 关于分块矩阵a）b)，.注： .题型一：求矩阵的高次幂1) 或，此时，故而.2) 一般而言或用二项式定理.3) 计算矩阵的低次幂，归纳规律求解，应用此方法的问题一般均有一定的提示.4) 相似化方法.a) 若，则.b) 若是一可对角化阵，则存在可逆阵和对角阵使得使得.例1 设令求.解：例2 设其中为三阶可逆矩阵，求.解： 例3 设2，2，1是三阶矩阵的特征值，对应的特征向量为求矩阵和.解：例4 ，求.解： 题型二：求逆与解矩阵方程1 数值型1） 求逆矩阵：2） 数值型求方程: 先处理掉与,然后将未知量放在左边, 其他量放在右边, 求逆解方程.例5 设，其中，求.解析：利用 可得 例6 设，求.解：.例7 设矩阵满足，其中，为单位矩阵，为的伴随矩阵，求.解：2 抽象型方法：从矩阵满足的式子开始凑，直到凑成或的式子.例8 方阵满足求.解：例9 已知且，求.解：题型三：关于伴随矩阵(本章重点)1) 利用公式或求解.2) 利用 例10 设求解：例11 设是阶非零矩阵，满足，证明(1) ; (2) 若，证明.解：(1) , 故而.若，这与为非零矩阵相矛盾，故(2) 例12 设为阶矩阵，分别为的伴随矩阵，分块矩阵，则的伴随矩阵是（）A. B. C. D. 解：题型四 关于初等变换与矩阵(本章重点)例13 设是阶矩阵，将的第行与第行对调后得到的矩阵记为，证明可逆，并求.解： 由例14 设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得到.再将的第一列的-1倍加到第2列得到.记，则（） 解： 例15 设为3阶矩阵, 为的伴随矩阵, 若交换的第一行与第二行得到矩阵，则解: 由题意，故. 从而 第三章 向量1. 向量：将一组数排成一列（或一行）.一般我们默认为列向量.2. 向量间的关系1).线性表示：存在满足称可由表示有解. 2）的每个向量都可由线性表示，称可由线性表示注：两组向量可互相表出称两个向量组等价. 向量组的等价性与矩阵等价性不同.例1. 下列说法中哪个正确，哪个不正确.(A) 如果可由表示，则对任意的，可由表示.(B) 如果存在,使得可以由表示,则可以由表示.(C) 若和均可以由表示，则可由表示.(D) 若和不可以由表示，则不可由表示.3) 向量之间的关系：设.若等式成立仅当，则称向量组线性无关.否则称线性无关.注：线性相关 线性无关4）单个向量线性相关等价于其是零向量, 两个向量线性相关等价于其是它们对应成比列.3 线性相关性与线性表示的常见文字结论1) 相关性： 部分相关 整体相关; 整体无关，部分无关. 减分量不改变相关; 加分量不改变无关.2) 混合结论: (重要结论)a) 线性相关等价于存在一个向量可以由其他向量线性表示.b) 线性无关，而线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一.4. 极大线性无关组与秩1）两种定义法：线性无关的子向量组 + 任意其他向量可以由这组向量表示.线性无关的子向量组 + 加任何其他向量线性相关.注：两种定义的等价性可以3中的混合结论证明.2）极大线性无关组本身不唯一,但是其中向量的个数是唯一的,称为向量组的秩.3）矩阵的秩a) 向量定义法：矩阵的行向量组的秩定义为列秩，行向量组的秩为行秩，而行秩等于列秩称为矩阵的秩.b) 矩阵定义法：至少有一个阶子式不为0，大于阶的子式全为0.注：若有一个阶子式不为0，则有 若阶子式全为0, 5 与秩有关的结论（重点）1) 秩的计算： 2) 矩阵的秩：a) . b) c) d) 若可逆，则；若，则不可逆即.e) 若，则.3）秩与线性表示可由表出有解.不可由表出无解.可由唯一的线性表出有唯一解可由不唯一线性表出有解不唯一.注：若为一个方阵，则可由唯一的线性表出有唯一解 此即为克莱默法则.3) 秩与线性相关与无关：a) 线性相关有非零解若，则为阶方阵，线性相关就等价于b) 线性无关只有零解若，则为阶方阵，线性无关就等价于4) 秩与矩阵的等价等价存在可逆矩阵使得注：两向量组等价秩相等.例2 证明对于一个非零矩阵.的充要条件是存在两个向量使得.分析：充分性利用矩阵秩的性质显然可得.必要性：从而等价于矩阵.从而存在可逆阵使得记，即得结论.题型一：数值型线性表示、相关性问题（重点题型）主要是向量组的能否表示、求秩、求极大线性无关组、用极大线性无关组表示其他向量几种问题.几个相应的算法：1)求秩：将通过初等行变换阶梯矩阵，非零行数即矩阵的秩.2)求极大线性无关组：将通过初等行变换阶梯矩阵，台角所在列即是极大线性无关组.3)求表示关系：将通过初等行变换得出最简阶梯阵的表示关系，表示关系和原来相同.注：向量组的线性表示和线性相关性问题，都可以利用秩来判断，事实上都是求秩问题. 例3 已知的线性无关，求.解： .例4(重点题) 若可由 线性表出，但是不能由线性表示，试确定常数.分析:把此要求用秩表示出来. 解： 当时,有当时,有.故.又当时当时当或时, 有综上所述可得故.注：参数打头开始讨论.例5 设向量组, 已知线性相关,求参数, 并求它的一个极大线性无关组, 用此向量组表示其他向量.分析： 线性相关, 故而,则将其组成矩阵利用行变换变成最简阶梯型,台角的列标是1，2故而是一个极大线性无关组，通过最简阶梯型的表示关系我们即可知道，.例6(重点题) 设和.试讨论为何值时，(1) 不能由线性表出.(2) 可由唯一线性表出，并求出表达式.(3) 可由线性表出但不唯一，并求出表达式.解： . ，方程有唯一解. ,题型二：抽象讨论矩阵的秩1) 关于矩阵秩的5个不等式和等式.2) 两个常用的向量组讨论.a) 若向量组可由表示，则b) 若且线性无关，则例7 已知线性无关，则 的秩（）.A 2 B 3 C 4 D 1解：例8 设为的矩阵,且.则为多少？解： 例9 有一组维向量.若.而又已知，求.解：由于,因此为或当b- g可以被a1,a2,as,线性表示时,r(a1,a2,as,b- g)=k;否则r(a1,a2,as, b- g)=k+1. 由于r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as,)=k,因此b可以被a1,a2,as线性表示; 而r(a1,a2,as, b, g)=k+1,因此 g不可以被a1,a2,as线性表示.因此b- g不可以被a1,a2,as线性表示. 所求答案是k+1.例10 已知，且, 则为多少？解：.例11 设都是3维向量，若，证明：(1) . (2) 若线性相关，则.解：(1) (2) 若线性相关，则存在使得或.不妨设.故.题型三：抽象型线性相关和线性表示问题1) 定义法. 证明线性无关一般都用此法但也不绝对.2)秩法. 主要用于提供了向量组的秩(或线性无关)信息的问题.3)既有线性相关又有线性表示: 主要利用两个结论.a) 线性相关等价于存在一个向量可以由其他向量线性表示.b) 线性无关，而线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一.例12 设向量组线性无关，令，试讨论的线性相关性.解：若线性无关；例13 设向量组可由线性表示且线性无关，证明线性无关且可由表示.证明：由于线性无关例14 设是阶矩阵，若存在正整数使得线性方程组有解向量且，证明向量组线性无关.解：设使得依次进行可得例15 设向量可由向量组表出, 但不能由线性表示. 记向量组：，则( )(A) 不能由表出，也不能由表出(B) 不能由表出，能由表出(C) 能由表出，也能由表出(D) 能由表出，不能由表出解析：由题意可由向量组表出, 则 且不为0否则其能被表示.故而能由表出. 又若其能被表示, 可由向量组表出则必有可由向量组表出, 矛盾. 故不能由表出第四章 线性方程组1. Kramer法则：方阵，若，则有唯一解，为用替代第列的行列式.2. 齐次线性方程组1) 解的结构.若是的解，则也是方程的解.2) 解的表达. 解向量中的极大线性无关组称为基础解系.a) 由表示定理我们知道任何一个解都用基础解系表出.b) 基础解系向量的个数为c) 若基础解系为则通解为.3) 解的分类.a) 只有零解当且仅当，若为方阵，则又等价与.b) 有非零解当且仅当.例1 方程组只有零解的条件是什么？解： .3) 基础解系的判定. 基础解系是解向量中的一个极大线性无关组，向量个数为. 故而其有以下两个等价条件：(a) 此组向量是线性无关的解，个数为.(b) 此组向量是线性无关的解，且任何解都可以由它表出.4) 非齐次方程.1) 有解的充要条件是：.2) 解的结构.设是非齐次方程的解，则是齐次方程的解（同微分方程）.3) 解的表达. 设非齐次方程的一个特解是,齐次方程组的基础解系则其通解为.其中.注：非齐次方程线性无关解有个.4) 解的分类：即有解的情形下分为两种情形：a) ,齐次方程只有零解，故而方程只有唯一解，若用向量组表达：此时可用向量组表示，且向量线性无关则表示方法唯一.b) .齐次方程有非零解，故而方程有无穷组解.若用向量组表达：此时可用向量组表示，且向量线性相关则表示方法有无穷种.c) 若为方阵，则有唯一解.例2 元线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（）(A) 增广矩阵的秩. (B) 导出组有非零解.(C) 方程组有两个不同的解. (D) 的列向量线性无关.注：方程的无穷多解等价于有解不唯一.题型一：参数型方程求解.利用方程解的性质求参数，然后利用下面的算法求解方程：1) step1将增广矩阵利用行变换变成阶梯型矩阵.2) step2判断增广的非零行数是否等于原来矩阵的非零行数，不相等的话直接结束，方程无解.若相等转入第3步.3) step3将阶梯矩阵转换成最简阶梯矩阵.4) step4求特解.台角元素的列标向量是非自由向量，其余向量为自由向量.令自由变量为0，解出非自由变量为一特解.事实上非自由变量取值就等于最右侧向量值.5) 求齐的基础解析.将自由变量的值令为到，通过求解方程求出非自由变量的值.例3 方程组的增广矩阵（最后一列为）为，求这个方程的通解.解：，取，例4(重点题) 已知非线性方程 有三个线性无关的解.(1) 证明方程组系数矩阵的秩. (2) 求的值及方程组的通解.解：(1) (2)故例5 (96真题，重点题)讨论取什么值时下面的方程组无解？有唯一解并求解？有无穷组解并求通解？分析：无解时唯一解时无穷解留作习题. 答案可参考96年数学四真题.例6 齐次方程组的系数矩阵为何值时方程组有非零解？求此情形下的通解.解 (1) 有非零解，并且它与同解，基础解系应有个解.(2) 当时，有非零解.例7(重点题) 设已知线性方程组有两个不同解.(1) 求. (2) 求通解.解 (1) 由题意故(2) 最简阶梯型例8 已知和是线性方程组的解，是它对应的齐次方程的解，求方程组的通解.解：由题意是齐次线性方程的两个线性无关解.又(有一个二阶子式不为0)为齐次线性方程组的基础解系.故原方程的通解为.题型二：基础解系问题1) 基础解系的两个判断方法 2) 基础解系可以用来求方程的通解.例9 设是阶矩阵,是的个线性无关解.证明：1) 是的基础解系.2) 任何解均可由表出.证明：1) 故线性无关.对于是的解，又，故是的一组基础解系.2) 设是的一个解，则存在使得：例10 若向量组是的基础解系，和，问为何值时为方程的一基础解系.解：为的解，且，故而为基础解系线性无关题型三：抽象方程组的求解1) 确定齐次方程基础解系的个数.2) 利用解的结构构造出所需非齐次方程的特解和齐次方程的基础解系.例11 已知的通解.解：，又，故为基础解系.通解为.例12 已知是四阶矩阵，若的通解是.又求方程组的通解.解：由题意，又为的解，故又.由题意题型五：线性方程组的公共解1）将两方程联立, 考虑新方程组的解。2）若已知一个方程组的通解或者基础解析，则代入另一方程求解。3）若已经二个方程组的通解，则令它们相等求出对应系数即可。例13 已知（I）, (II)(1) 求(I)的基础解系. (2) 当为何值时(I),(II)有非零公共解，并求公共解.解：(1)(2) (I)的通解为代入（II）得：例14 已知方程组和有公共解，求和全部公共解.解：有解，通解为.，唯一解为.，无解.例15 设均为阶方阵且.证明有公共的特征向量.解：考虑，由于其就是公共的特征向量，此时的特征值为0.题型五：齐次线性方程组的同解1) (I):和(II):同解当且仅当且(I)的基础解系也是(II)的解.2) (I)和(II)同解当且仅当的行向量和的行向量等价.例16已知方程组(I)：和(II)：同解，求的值.解：是的基础解系故也是的解.例17 设是矩阵，是矩阵，证明方程组和同解的充分必要条件是.解： 同解，又的解必是的解，故而和同解.题型六：线性方程组的应用1) 将一些条件比如转换成线性方程组的语言，就是的列向量是的解，然后利用解的性质与结构求解.注：的另一思路是利用.2) 构造方程组.a) 要证明可逆，只要证明有非零解.b) 要证明只要证明与同解.例18 设,为的列数，证明.证明：，由于，从而均是的解，均可由基础解系表出.例19 设为一实矩阵，证明.证明：先证与同解，故与同解，从而第五章 特征值和特征向量1. 特征值和特征向量1) 对于方阵，若存在常数和非零向量，称为的特征值，为属于的特征向量.2) 若为特征值，则有非零解. 从而.3)求特征值和特征向量的算法.a) 先求方程的解得到特征值.b) 对于每个，求线性方程的非零解即为对应的特征向量.例1.求的特征值和特征向量:求的特征值和特征向量解：特征向量为：。求.2. 几个性质1）几何重数和代数重数.a) 设的一个特征值为，若其是方程的重根，则称为的代数重数,b) 由于特征向量中的极大线性无关组是的基础解析，故而最大线性无关的特征向量个数为.这个称为几何重数.c) 代数重数一定大于等于几个重数.(2) 属于不同特征值的特征向量线性无关.例2 若和是分别属于两个不同特征值和的特征向量， 证明不可能是的特征向量.3) 迹和行列式.a) 行列式等于特征值的乘积.故而.b) 迹(对角元素之和)等于特征值之和.注1：对于两个矩阵.有.这个经常用来计算抽象矩阵的迹.注2：对于一般的矩阵秩和特征值不存在必然联系.对于实对称阵，秩等于非零特征值的个数.4) 矩阵运算中的特征值和特征向量.设的所有特征值为.a) 设为一个一元多项式.的的全部特征值为并且的特征向量与相同，继而.b) 设可逆，则的全部特征值为并且的特征向量与相同.若可逆，则的全部特征值为，并且的特征向量与相同.c) 和有相同的特征值，但特征向量不一定相同.5) 一个重要推论：若满足，则的任何特征值均满足.题型一：由特征值和特征向量的反求矩阵参数1) 若已知特征向量，直接利用定义求解.2) 若已知全部或部分特征值，求个参数的值.a) 直接利用性质，对于所有已知的特征值列出本式.b) 若已知所有特征值，也可利用迹和行列式与特征值的关系列出两个等式. 然后再选个特征值代入方程.例3 若是的特征向量，求的特征值和.解：设为的特征值，故为的特征值.从而，又由于，.例4 若的特征值之和为2，特征值之积为-2，若则.解：由题意可得：例5 设矩阵有特征值，求的值. 解：由题意.3 相似矩阵1) 对于两个方阵和相似是指存在可逆矩阵，使得.显然相似具有传递性，也就是相似，相似，则必定相似.2) 若相似，即存在可逆矩阵，使得，则a) 有相同的特征值，是的特征向量当且仅当是的特征向量.b) 有相同的迹和行列式,c) 有相同的秩.3) 两点注记a) 若两矩阵迹和行列式相等，甚至特征值相等或特征多项式一样，都不能说明矩阵相似.b) 若两矩阵的迹、秩、行列式有一个不等,或者两个矩阵特值不等则必定不相似,4) 运算中相似关系，设相似，即存在可逆矩阵，使得.a) 设为一个一元多项式，则有，故而相似.b) 设可逆，则，故而相似，也相似.例6 设相似对角阵，问为多少？解：例7 设，已知矩阵相似，则（A）2 (B) 3 （C）4 (D) 5解： 实对称实对称，可对角化.为不为0的特征值个数.相似相似题型二：抽象矩阵的特征值和特征向量1) 矩阵运算的特征值关系或者定义法求解.2) 若已知关系通过求解方程得到所有可能的特征值然后利用矩阵秩、迹和行列式进行个数上的判断.3) 先求原来矩阵的某个相似矩阵的特征值和特征向量，然后利用相似关系得到原矩阵的特征值和特征向量.例8 设方阵满足，在下列情形下求.(1) (2) 为实对称阵，.解：,，故特征值为2，-1，-1.的特征值为8，2，2. 的特征值为2，2，-1.的特征值为5，5，8. 例9 设是2阶矩阵，线性无关，则的一个非零特征值是（ ）.解：，故特征值为1，0.例10(2003) 求的特征值和特征向量.解：，的特征值为7，1，1.对应的特征向量为 .对应的特征向量为.4. 正交矩阵和Schmidt正交化.1) 内积. 设维列向量，则称为向量的内积.，记作，称为向量的长度.若则称为单位向量.2) 正交. 称正交. 若一个向量组中任意两个向量都正交，则向量组称为正交的向量组. 正交的向量组一定是线性无关. 若正交向量组中的每一个向量都是单位向量，称向量组为规范（标准）正交向量组.3) Schmidt正交化. 任何一线性无关的向量组都可以用下面方法化为规范正交向量组. 算法：Step1：正交化Step2：规范化（标准化）.4) 正交矩阵：a) .这是由于故而.b) ，实特征值必定为.5. 对角化. 若矩阵相似于一个对角阵则称可对角化.1) 由于相似矩阵有相同的特征值，故而对角阵的元素就是的特征值.但是并不是每个矩阵都可以相似对角化，它需要满足下面的等价条件之一：a) 具有个线性无关的特征向量.这个也就是理论价值，算起来不实用.b) 每个特征值的代数重数等于几何重数.即.2) 两个可对角化的特殊矩阵(a) 所有的特征值均不相等的矩阵.(b) 实对称矩阵，对于实对称矩阵具有下面的性质：(b1) 实对称矩阵的特征值和特征向量必定都是实的. 不同特征值之间的特征向量不仅线性无关还是正交的.(b2) 存在正交矩阵使得，其中为对角阵.6. 相似对角化的算法.1) 非对称矩阵的相似对角化算法如下：Step1：求出特征值；Step2：求出对应特征向量，将其列向量写成一个矩阵；Step3：即.题型三：非对称矩阵的相似对角化1) 参数型矩阵. 先利用可对角化的条件求出参数，然后通过相似对角化的算法得到矩阵.2) 未知矩阵. 先求出所有的特征值和特征向量，然后判断是否相似对角化，得到矩阵.例12 设阶方阵，其中为维非零向量.1) 求的所有特征值. 2) 讨论可相似对角化的条件.解：(1) 的特征值只可能，0.并且由于的所有特征值为.(2) 如果.则0为重特征值.相似对角化条件为.与为非零向量矛盾.当，则0为重特征值则满足相似对角化条件可对角化，故而可相似对角化条件为.例13 设矩阵.(1) 求. (2) 求可逆矩阵使得.解：(1) 可相似对角化,由于(2) 2对应的特征向量为，6对应特征向量为例14 线性方程组.有无穷多解，而是三阶矩阵，分别是关于特征值1，-1，0的三个特征向量，求和.解：当线性相关（已知向量组）矛盾.当时，2) 对称矩阵用正交相似对角化，用二次型的语言是用正交变换变成标准型，算法如下：Step1：求出特征值；Step2：求出特征向量，将相同特征值间的特征向量进行Schmidt正交化，这样得到的特征向量就称标准正交特征向量组.Step3：将得到的新的向量作为列向量写成一个正交矩阵.则题型四：对称矩阵的相似对角化1) 参数型矩阵. 先利用已知条件求出参数，然后通过相似对角化算法得到矩阵2) 未知矩阵. 先利用特征向量的正交性求出所有特征向量.然后利用实对称的可对角化行得到矩阵.例15 设.已知线性方程组有解但解不唯一,求(1) 的值. (2) 求正交矩阵，使为对角阵. (3) 求.解：(1) (2) 特征值为3，-3，0.对应的特征向量为.例16 设三阶实对称矩阵的特征值为，对应于的特征向量为,求矩阵.例17 设3阶实对称矩阵的各行元素之和为3.向量都是齐次方程的解.(1) 求的特征值和特征向量.(2) 求正交矩阵和对角阵，使.(3) 求及.解：(1) 的特征值为3，0，0.3对应的特征向量为，0对应的特征向量为.(2) 与不正交，我们利用Smith正交化得到正交的特征向量组.令(3) ， 第六章 二 次 型1. 二次型及其矩阵1) 含有个变量的二次齐次多项式 称为(元)二次型.2) 若记则，其中为一对称阵和二次型一一对应.我们称其为二次型对应的矩阵.称为二次型的秩.3) 若可逆，则线性变换为一可逆线性变换.a) 二次型经过可逆线性变换化为新的二次型.b) 若，则其称为原二次型的一个标准型.若，则称其为原二次型的一个规范型.例1：已知二次型,试写出该二次型的矩阵形式.解析：2. 矩阵的合同1) 若存在可逆矩阵，使得两个对称矩阵满足，称矩阵合同.a) 对称矩阵的合同是一个等价关系，具有反身性、对称性和传递性.b) 若合同且可逆，则合同.2) 合同他们对应的二次型经可逆线性变换可互相转换.3) 对于实对称矩阵，存在正交矩阵，使得.这样二次型经过正交变换，就变成了一个新的二次型其是一个以矩阵的特征值为系数的标准型.3. 惯性定理1) 定理：在二次型的标准型中，正平方项的个数和负平方项的个数是唯一确定的，即规范性（不考虑排列顺序）是唯一的.正平方项的个数叫做正惯性指数，负平方项的个数叫做负惯性指数，正负惯性指数之差称为符号差.2) 正惯性指数等于的正特征值数，负惯性指数等于的负特征值数，正负惯性指数之和等于矩阵的秩.3) 对称阵合同它们对应二次型的规范型相同的特征值正的个数相同，负的个数也相同.这是由于对应的二次型可以相互转换等价于对应二次型的规范型相同.例2二次型的秩为（），正惯性指数为（ ），规范型为（ ）解析：的特征值为0，3，3