高考数学大一轮复习 课时限时检测（四十四）立体几何中的向量方法.doc

课时限时检测(四十四)立体几何中的向量方法(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，有可能使l的是()aa(1,0,0)，n(2,0,0)ba(1,3,5)，n(1,0,1)ca(0,2,1)，n(1,0，1)da(1，1,3)，n(0,3,1)【答案】d2平面的一个法向量为n(1，0)则y轴与平面所成的角的大小为()a.b.c. d.【答案】b3.已知平面，的法向量分别为(2,3，5)，v(3，1，4)则()abc、相交但不垂直d以上都不正确【答案】c4在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是a1b1和bb1的中点，则直线am与cn所成角的余弦值为() 图7711a. b.c. d.【答案】a5二面角的棱上有a，b两点，直线ac，bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，则该二面角的大小为()a150b45c60d120【答案】c6如图7712，正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直，ab，af1，m在ef上且am平面bde.则m点的坐标为()图7712a(1,1,1) b.c. d.【答案】c二、填空题(每小题5分，共15分)7在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为 【答案】8在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，bcaa11，则d1c1与平面a1bc1所成角的正弦值为 【答案】9正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是 【答案】30三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)(2013浙江高考改编)如图，在四面体abcd中，ad平面bcd，bccd，ad2，bd2，m是ad的中点，p是bm的中点，点q在线段ac上，且aq3qc. 图7713证明：pq平面bcd.【证明】如图，取bd的中点o，以o为原点，od，op所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系oxyz.由题意知a(0，2)，b(0，0)，d(0，0)设点c的坐标为(x0，y0,0)，因为3，所以q.因为点m为ad的中点，故m(0，1)又点p为bm的中点，故p，所以.又平面bcd的一个法向量为a(0,0,1)，故a0.又pq平面bcd，所以pq平面bcd.11(12分)(2013江苏高考)如图7714，在直三棱柱a1b1c1abc中，abac，abac2，a1a4，点d是bc的中点图7714(1)求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值；(2)求平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值【解】(1)以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，d(1,1,0)，a1(0,0,4) ，c1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4). 因为cos，所以异面直线a1b与c1d所成角的余弦值为.(2)设平面adc1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面adc1的一个法向量取平面aa1b的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面adc1与平面aba1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值为.12(13分)如图7715，四边形abcd为矩形，pd平面abcd，pdqa，qaadpd.图7715(1)求证：平面pqc平面dcq；(2)若二面角qbpc的余弦值为.求的值【解】(1)证明法一设ad1，则dq，dp2，又pdqa，pdqaqd45，在dpq中，由余弦定理可得pq.dq2pq2dp2，pqdq.又pd平面abcd，pddc.cdda，dapdd，cd平面adpq.pq平面adpq，cdpq，又cddqd，pq平面dcq.又pq平面pqc，所以平面pqc平面dcq.法二如图，以d为坐标原点，da，dp，dc所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系dxyz.设ad1，abm(m0)依题意有d(0,0,0)，c(0,0，m)，p(0,2,0)，q(1,1,0)则(0,0，m)，(1,1,0).(1，1,0)，所以0，0，即pqdc，pqdq.又dqdcd.所以pq平面dcq.又pq平面pqc，所以平面pqc平面dcq.(2)依题意有b(1,0，m)，(1,0,0)，(1,2，m)设n1(x1，y1，z1)是平面pbc的法向量，则即因此可取