高三数学第二轮冲刺课件《专题十二排列与组合、二项式定理的应用》全国通用.ppt

第一课时 排列与组合 第一课时 排列与组合 课前导引 第一课时 排列与组合 课前导引 1 从正方体的6个面中选取3个面 其中有两个面不相邻的选法共有 a 8种b 12种c 16种d 20种 第一课时 排列与组合 课前导引 1 从正方体的6个面中选取3个面 其中有两个面不相邻的选法共有 a 8种b 12种c 16种d 20种 b 2 某人抛掷硬币8次 其中4次正面向上 则证明向上的4次中恰有3次连在一起的情形的不同种数有 2 某人抛掷硬币8次 其中4次正面向上 则证明向上的4次中恰有3次连在一起的情形的不同种数有 解析 把正面向上的4次中恰有3次连在一起看成一个元素 与另一次这两个不同元素插入反面向下的4次的5个空挡中 故共有a52 20种不同情形 2 某人抛掷硬币8次 其中4次正面向上 则证明向上的4次中恰有3次连在一起的情形的不同种数有 解析 把正面向上的4次中恰有3次连在一起看成一个元素 与另一次这两个不同元素插入反面向下的4次的5个空挡中 故共有a52 20种不同情形 20 考点搜索 考点搜索 1 不附加条件的排列组合题 大多用分类讨论的方法 注意分类不重不漏 2 若元素必须相附 一般采用看作一个整体的方法 3 元素不相邻 采用插空法 4 排列组合的混合型问题 交替使用两个原理 链接高考 链接高考 例1 1 在由数字1 2 3 4 5组成的所有没有重复数字的5位数中 大于23145且小于43521的数共有 a 56个b 57个c 58个d 60个 链接高考 例1 1 在由数字1 2 3 4 5组成的所有没有重复数字的5位数中 大于23145且小于43521的数共有 a 56个b 57个c 58个d 60个 c 2 某城市在中心广场建造一个花圃 花圃分为6个部分 如图 现要栽种4种颜色的花 每部分栽种一种 且相邻部分不能栽种相同颜色的花 不同的栽种方法共有 种 用数字作答 解析 本题是一道涂色问题的应用题 可以将不相邻的区域合并成涂同一颜色的区域 再用颜色进行排列 也可以根据条件分布涂色 解法一 把不相邻的区域合并后 成为4个 大区域 然后再把4种颜色对应全排列 462513463512362415362415243516 共5种合并方法 所以5 a44 120种栽种方法 解法二 先从区域1开始种 栽种方法有4种 则区域6有3种栽法 区域5有2种栽法 若区域4与区域6栽种同一种花 则区域2 3两块各有2种栽法 故总共有4 3 2 2 2 96种 若区域4与区域6不栽同一种花 则区域2 3两块中有1种栽法 总共有4 3 2 1 1 24 所以一共有120种栽种方法 例2 有5张卡片 它们的正 反面分别写0与1 2与3 4与5 6与7 8与9 将其中任意三张并排放在一起组成三位数 共可组成多少个不同的三位数 例2 有5张卡片 它们的正 反面分别写0与1 2与3 4与5 6与7 8与9 将其中任意三张并排放在一起组成三位数 共可组成多少个不同的三位数 解析 在解本题时应考虑两方面的问题 1 0不能作百位 但0与1在同一卡片上 因此着眼于限制条件 必须同时考虑0与1的分类 2 每张卡片都有正面与反面两种可能 解法上既可用直接法也可用排除法 解法一 直接法 从0与1两个特殊值着手 可分三类 1 取0不取1 可先从另四张卡片上选一张作百位 有c41种方法 0可在后两位有c21种方法 最后需从剩下的三张中任取一张 有c31种方法 又除含0的那张外 其他两张都有正面或反面两种可能 故此时可得不同的三位数有c41c21c31 22 个 2 取1不取0 同上分析可得不同的三位数c42 23 a33 个 3 0和1都不取 有不同三位数c42 23 a33 个 综上所述 共有不同的三位数c41 c21c31 22 c42 22 a33 c43 23 a33 432 个 解法二 间接法 任取三张卡片可以组成不同三位数c53 23 a33 个 其中0在百位的有c42 22 a22 个 这是不合题意的 故共有不同三位数 c53 23 a33 c42 22 a22 个 例3 四面体的顶点和各棱中点共10个点 在其中取4个不共面的点 则不同的取法共有 a 150种b 147种c 144种d 141种 解析 方法一 从10个点中 任意取4个点的不同取法共有c104种 其中 所取4个点共面的可分为两类 第一类 4个点同在四面体的一个面上 共有4c64种取法 第二类 4个点不同在四面体的一个面上 可分为两种情形 4个点分布在不共面的两条棱上 这只能是恰有1个点是某棱的中点 另3点在棱上 因为共有6条棱 所以有6种取法 4个点所在的不共面的棱不止两条 这时 4个点必然都是棱的中点 它们所在的4条棱必然是空间四边形的四条边 故有3种不同的取法 第二类 4个点不同在四面体的一个面上 可分为两种情形 4个点分布在不共面的两条棱上 这只能是恰有1个点是某棱的中点 另3点在棱上 因为共有6条棱 所以有6种取法 4个点所在的不共面的棱不止两条 这时 4个点必然都是棱的中点 它们所在的4条棱必然是空间四边形的四条边 故有3种不同的取法 所以符合题意的不同取法种数为c104 4c64 6 3 141 方法二 在四面体中取定一个面 记为 那么取不同不共面的4个点 可分为四类 第一类 恰有3个点在 上 这时该3点必然不在同一条棱上 因此 4个点的不同取法数为4 c63 3 68 第二类 恰有2个点在 上 可分两种情况 该2点在同一条棱上 这时4个点的不同取法数为4c32 c42 3 27 该2点不在同一条棱上 这时4个点的不同取法数为 c62 3c32 c42 1 30 第三类 恰有1个点在 上 可分为两种情形 该点是棱的中点 这时4个点的不同取法数为3 3 9 该点不是棱的中点 这时4个点的不同取法数为3 2 6 第三类 恰有1个点在 上 可分为两种情形 该点是棱的中点 这时4个点的不同取法数为3 3 9 该点不是棱的中点 这时4个点的不同取法数为3 2 6 第四类 4个点都不在 上 只有1种取法 应用分类计数原理 得所求的不同取法数为68 27 30 9 6 1 141 例4 4个男同学 3个女同学站成一排 1 3个女同学必须排在一起 有多少种不同的排法 2 任何两个女同学彼此不相邻 有多少种不同的排法 3 其中甲 乙两同学之间必须有3人 有多少种不同的排法 4 甲 乙两人相邻 但都不与丙相邻 有多少种不同的排法 5 女同学从左到右按高矮顺序排 有多少种不同的排法 3个女生身高互不相等 解析 1 3个女同学是特殊元素 我们先把她们排好 共有p33种排法 由于3个女同学必须排在一起 我们可视排好的女同学为一整体 再与甲同学排队 这时是5个元素的全排列 应有a55种排法 由乘法原理 有a33a55种 720种不同排法 2 先将男生排好 共有a44种排法 再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有a53种方案 故符合条件的排法共有a44a53 1440种不同排法 3 甲 乙2人先排好 有a22种排法 再从余下5人中选3个排在甲 乙2人中间 有a53种排法 这时把已排好的5人视为一个整体 与最后剩下的2人再排 又有a33种排法 这样总共有a22a53a33 720种不同排法 4 安排甲 乙和丙3人以外的其他4人 有a44种排法 由于甲 乙要相邻 故再把甲 乙排好 有a22种排法 最后把甲 乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有a52种排法 这样 总共有a44a22a52 960种不同排法 评注 排列问题中 部分元素相邻的问题可用 视一法 解 部分元素不相邻的问题可用 插入法 解 部分元素定序的问题也可用 插入法 解 例5 按以下要求分配6本不同的书 各有几种分法 1 平均分给甲 乙 丙三人 每人2本 2 平均分成三份 每份2本 3 甲 乙 丙三人一人得1本 一人得2本 一人得3本 4 分成三份 一份一本 一份2本 一份3本 5 甲 乙 丙三人中 一人得4本 另二人每人得1本 6 分成三份 一份4本 另两份每份1本 7 甲得1本 乙得1本 丙得4本 均只要求列式 解析 例6 将4个编号为1 2 3 4的小球放入4个编号为1 2 3 4的盒子中 1 有多少种放法 2 每盒至多一球 有多少种放法 3 恰好有一个空盒 有多少种放法 4 每个盒内放一个求 并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同 有多少种放法 5 把4个不同的小球换成4个相同的小球 恰有一个空盒 有多少种放法 6 把4个不同的小球换成20个相同的小球 要求每个盒内的球数不少于它的编号数 有多少种放法 解析 解析 4 1个球的编号与盒子编号相同的选法有c41种 当1个球与1个盒子的编号相同时 同局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种 故共有c41 2 8种 5 先从四个盒子中选出三个盒子 再从三个盒子中选出一个盒子放两个球 余下两个盒子各放一个 由于球是相同的即没有顺序 所以属于组合问题 故共有c43c31 12种放法 6 隔板法 先将编号为1 2 3 4的4个盒子分别放0 1 2 3个球 再把剩下的14个球分成四组 即 这14个球中间13个空挡中放入三块隔板 共有c133 286种 如 即编号为1 2 3 4盒子分别再放2 5 3 4个球 评注 1 做排列组合应用题 首先要分清问题的类型 是用基本计数原理 还是排列问题或是组合问题 2 第 3 小题常见的错误解法 即先选出3个球放入4个盒子中的三个 有c43c43种 再把剩下的一个球放入有球的三个盒子中的一个有3种 故有c43c43 3 288种放法 请读者细心体会为什么出现重复情形 3 第 6 小题的 投题 问题实际上是转化为求不定方程x y z 14有多少组正整数 若先将编号为1 2 3 4的4个盒子分别放1 2 3 4个球 则转化为求不定方程x y z 10有多少组非正整数 第二课时 二项式定理的应用 第二课时 二项式定理的应用 解析 解析 答案 c 解析 考点搜索 考点搜索 1 已知二次式 探求二项展开式中的特殊项 2 已知三项式 求展开式式中某一项或某一项的系数 3 求展开式中某些项的系数和与差 4 二项展开式定理和二项展开式的性质的综合应用 链接高考 链接高考 例1 1 第6项 2 第3项的系数 3 含x9的项 4 常数项 链接高考 例1 1 第6项 2 第3项的系数 3 含x9的项 4 常数项 解析 例2 1 展开式中含x的一次幂的项 2 展开式中所有含x的有理项 3 展开式中系数最大的项 解析 例3 解析 令x 1 则 解析 令x 1 则 2 2 得 3 2 得 3 2 得 例4 例4 解析 评注 要求三项式n次幂的展开式中的特定项 一般通过结合律 借助于二项式定理的通项求解 如解法一 当幂指数较小时 可以直接写出展开的全部或局部 如解法二 二项式定理是用