山东省冠县武训高级中学高二数学 8.5 抛物线及其标准方程同步辅导教材.doc

8.5 抛物线及其标准方程本章主要内容8.5 抛物线及其标准方程课本第115页至第119页一、 本讲主要内容1、 抛物线的定义2、 抛物线的标准方程3、 抛物线定义的运用4、 运用待定系数法求抛物线方程 三、学习指导 1、抛物线的定义是从椭圆、双曲线的第二定义引出的，采用了分类讨论的思想。椭圆和双曲线都有两个定义，但抛物线只有一个。椭圆和双曲线的顶点、焦点、准线成对出现，而抛物线只有一个焦点、顶点、准线。2、课本p.116给出了四种不同开口方向之下的抛物线方程，其规律有： （1）纵向比较：可记忆成“次数定轴，系数定向”。次数定轴是指一次项系数的正负决定开口方向，若系数为正，则抛物线开口为坐标轴正方向；若系数为负，则抛物线开口为坐标轴负方向。 （2）横向比较；焦点在对称轴上，准线与对称轴垂直；一次项系数的1/4值为焦点非零坐标，其相反数为准线方程中的数值。3、求抛物线的标准方程，思路同椭圆及双曲线，用待定系数法。尽管抛物线方程中的参数只有一个p，但因类型较多，因此在解题时应正确选用。4、用定义解题是抛物线的重要思想方法。课本p.117例2是一道重要、典型的例题，同学们应仔细体会转化的思想。四、典型例题例1、互相垂直的两直线l1、l2交于点m，点nl1，以a、b为端点的弧l上任一点到l2的距离与到点n的距离相等，若amn是锐角三角形，|am|=，|an|=3,|bn|=6，建立适当的坐标系，求曲线弧c的方程。解题思路分析：因弧c上任意一点到直线l2的距离与到点n距离相等，根据抛物线定义可知，ab是抛物线的一段弧，n为焦点，l2为准线。以l1为x轴，mn中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线方程为y2=2px（p0），弧c方程为y2=2px，xaxxb，直线l2：。过a作aa1l2，a1为垂足，则|aa1|=|an|=3 |am|= |a1m|=即 ya= 又 |aa1|= 由得或因amn为锐角三角形，而当xa=2， p=2时，n（1，0），a在x轴上的射影在n右侧，amn为钝角三角形，故舍去。 |bn|=xb+ xb=4 曲线弧c的方程为y2=8x（1x4，y0）注：本题也可以以l1、l2所在直线分别为x轴、y轴建立坐标系，不过曲线弧c所在抛物线方程不是标准方程。例2、抛物线拱桥如图，水面宽|ab|=2a时，拱顶离水面h，一货船在水面上部分的横截面是矩形cdeg。（1） 若矩形长|cd|为a，则高|de|为何值时船才能通过； （2）求矩形面积s的临界值m，使当sm时，可适当调整矩形的长与高，让船通过拱桥；而当sm时，无论怎样调整，船都不能过桥。解题思路分析：这是一个实际问题，为了精确地求出|de|，应通过建立坐标系，用解析几何知识求解。 （1）如图建立坐标系xoy，|de|最大值为e在抛物线上，当船高小于|de|最大值时，货船可以通过。由抛物线的对称性知，xd=xe=,因d到x轴距离为h，故欲求|ed|，只需求e到x轴的距离，即e点纵坐标的绝对值。设抛物线方程为x2=-2py（p0） b（a，-h）在抛物线上 a2=2ph 2p= 抛物线方程为x2=令 x= 则 y= ye= |de|=h-|ye|=h- 高|de|时，船能通过（2） 本小题即为求内含矩形cdeg的最大值。建立目标函数，用基本不等式求解。设e（x0，y0），则 s=2x0(y0+h)=2x0( 当且仅当2x02=a2-x02，x0=时，smax= m=注：解应用型问题，首先要读懂题意，如本题“船能通过”的含义，然后在正确翻译为数学语言的基础上，建立数学模型。象本题的函数，再用相关数学知识求解。例3、抛物线p过点a（m，6），b（，m），求p的标准方程。解题思路分析：首先应确定点a、b所在象限，由此定抛物线的标准方程类型。象限的区分通过点a、b的坐标符号来讨论。（1） 当m0时，a、b均在第一象限； 设p：y2=2px（p0），则 p：y2=18x 设p：x2=2py（p0)，则 p：（2） 当m0时，点a在第二象限，点b在第四象限，抛物线p的标准方程不存在。 注：含字母问题应从分类讨论的思想着手，找到解题突破口。例4、已知抛物线方程为标准方程，焦点在y轴上，抛物线上一点m（a，-4）到焦点f的距离为s，求抛物线的方程和a的值。解题思路分析：不妨设抛物线方程为x2=2my（m0） m在抛物线上 m0 时，上式几何意义为点p到定点m的距离与它到直线x=-3的距离相等 点p轨迹为抛物线，焦点m（3，0），准线x=-3 p=6，抛物线方程为y2=12x当x0），y=0（x0）的准线相切，则p=_。15、设p是抛物线x2=2y上的一点，若p到此抛物线准线距离为8.5，则p点坐标为_。 （三）解答题16、求以点f（1，1）为焦点，以l：-x+y-2=0为准线的抛物线方程。17、已知双曲线c：，抛物线h以c的下顶点为焦点，以原点为顶点，求抛物线h的标准方程与准线方程。18、设m点与f（0，4）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求m点的轨迹方程。19、已知曲线c：y=x2，求它关于直线x-y-2=0对称的曲线c的方程。20、抛物线c：y2=4ax（a0)上动点m，当m到点a（1，0）的距离|ma|最小时，m的位置为m0，若|m0a|0），令x=4，y=-2得p=4，抛物线方程为x2=-8y。4、c。 准线方程为，即y=-a。5、c。 因焦点既在坐标轴上 ，又在直线3x-4y-12=0上，故焦点坐标为（4，0）或（0，-3），当焦点为（4，0）时，抛物线方程为y2=16x；当焦点为（0，-3）时，抛物线方程为x2=-12y。6、b。 抛物线标准方程为x2=ay，焦点为（0，）。7、c。 将方程整理为，该式的几何意义为点m到定点（0，0）的距离等于m到直线3x+4y-12=0的距离，由抛物线定义可知，动点m的轨迹为抛物线。8、b。 准线为x=-1，设p（x0，y0），则|pf|=x0-(-1)=x0+1=10，x0=9，y02=36，y0=6。9、d。 动点p到a的距离等于p到直线y=-2的距离，动点p的轨迹为抛物线，对称轴在y轴上，p=4，方程为x2=8y。10、a。 m到点a与到直线l的距离相等，p=6. （二）填空题11、 （-3，0） 焦点在x轴上，横坐标为。12、 y2=8x 在y=3x-6中，令y=0，得x=2，2p=8。13、 16 点（，0）为焦点，p到直线x=的距离为15，又与间的距离为1，画图可得，p到直线的距离为15+1=16。14、 2 圆心（3，0），半径r=4，抛物线准线x=，|3+|=4，p=2，或p=-14 （舍）。15、 （4，8） 设p（x0，y0），因抛物线准线为y=，y0-()=8.5，y0=8，x02=16，x0=4。 （三）解答题16、解：设抛物线上任一点p（x，y），则由定义得： 两边平方得： 2(x-1)2+(y-1)2=(x-y+2)2展开，整理得： x2+2xy+y2-8x=017、解： 双曲线c的下顶点a（0，） 抛物线h的焦点f（0，） 抛物线方程x2=y，准线l：y=18、解：设点m（x，y），则m与点f（0，4）的距离等于m到直线x=-4的距离 点m轨迹是抛物线，f为焦点，直线x=-4为准线 p=8所求轨迹方程为抛物线y2=16x19、解：设p(x，y)是所求曲线c上任一点，p（x0，y0）是p关于x-y-2=0的对称点则 y0=x02 (x-2)2=(y+2)2整理得：x=y2+4y+6 所求曲线c方程为(y+2)2=x-220、解：（1）设m（x，y）则 |ma|2=(x-1)2+y2=(x-1)2+4ax=x2+2(2a-1)x+1 =x+(2a-1)2+4a-4a2（x0） 当2a-10，a时，x=0时(|ma|2)min=1（舍） 当2a-10，0a时，x=1-2a时(|ma|2)min=4a-4a2此时，|ma|=1 0a0），xaxxb，直线l2：过a作aa1l2，a1为垂足，则|aa1|=|an|=3 xa= 又 |am|= |a1m|= ya= =2pxa 由得，或 amn为锐角三角形 舍去一组解又 |bn|= xb=4 曲线弧c的方程为y2=8x（1x4，y0）例2的解：（1）如图建立坐标系，设抛物线方程为x2=-2py（p0） b(a，-h)在抛物线上 a2=2ph 抛物线方程为 在抛物线方程中令得 |de|= 货船高不超过时，货船可能通过 （2）设e（x0,y0），则 s= = 当且仅当2x02=a2-x02，x0=时，