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4 在二阶椭圆型方程组中的应用接下来我们应用山路引理来证明变系数二阶椭圆型方程组边值问题的非平凡解的存在性。问题 考虑变系数二阶椭圆型方程组 的非平凡解的存在性。其中是中的有界区域，且具有光滑的边界。；,是Caratheodory方程，并且存在方程满足不失一般性，我们设现在我们考虑问题(6)的非平凡解的存在性，亦即考虑求泛函在的临界点。其中和接下来我们需要f(x,u)和F(x,u)分别满足以下假设条件： ，对于某个； 存在，使得对于任意的 ， 对一致； 是一个关于的增函数；其中 是一个很小的常数，是算子在Dirichlet零边界条件下的主特征值。同样g(x,v)和G(x,v)满足以下条件： ，对于某个； 存在，使得对于任意的 ， 对一致； 是一个关于的增函数；其中是一个很小的常数，是算子在Dirichlet零边界条件下的主特征值。对于H(x,u,v),h1(x,u,v)和h2(x,u,v)，我们需要以下的假设： ，并且对于任意的， ，k是一个非正的常数； 存在，和R0使得当时，.我们首先定义在空间中的范数为：其中下面我们来证明它是一个范数。证： 首先由于的定义，可以知道是一个非负函数。接下来验证其满足范数的条件。(a) 已知同时由的构造我们可以得到。(b) 另一方面由柯西不等式可得所以可以得出。(c) 故上述定义的是一个范数。定理4： 若f(x,u)和F(x,u)满足，g(x,v)和G(x,v)满足，并且H(x,u,v)，和满足，那么二阶椭圆型方程组(6)至少有一个非零解。证明: 为了利用山路引理，我们需要逐条验证该引理的条件。 验证P.S.条件。设，满足 我们有 其中 结合(9)与(10)我们可以得到 取，不失一般性，我们设，从(8)与(11)我们得到(当n足够大时)其中均为常数，由此均为有界的，所以存在两个子列，满足。由于为紧致的12，从(h3)可以得到和由与的紧致性，与(9)，(10)我们最终得到。故(P.S.)条件满足。 验证存在正常数使得，其中是中以零点为中心，以为半径的球。事实上，由条件可得，存在常数，以及0，使得当时，从而，当时，有联合条件(f1)与(g1)，存在常数m1,m2使得利用Sobolev嵌入定理以及Poincar不等式可得，其中是常数，让，从而.由于,可取足够小，以致,取适当 ，以致|kmes()|=21。那么。即得。 找，使得，且。让表示在Dirichlet零边界条件下的第一特征函数，表示在Dirichlet零边界条件下的第一特征函数。则，且为了方便可让。考虑下列函数由条件知以及其中和d均为常数。由于，以及不为0。因此，当时，。 取适当大的t0，并让
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