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2 2 1椭圆的标准方程 2020年3月1日星期日 修远中学梁成阳 第二课时 复习回顾 1求动点轨迹方程的一般步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合 可以省略 直接列出曲线方程 3 用坐标表示条件p m 列出方程 5 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 可以省略不写 如有特殊情况 可以适当予以说明 4 化方程为最简形式 3 列等式 4 代坐标 坐标法 5 化简方程 1 建系 2 设坐标 图形 方程 焦点 f c 0 f 0 c a b c之间的关系 c2 a2 b2 mf1 mf2 2a 2a 2c 0 定义 2 两类标准方程的对照表 注 共同点 椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上 中心在坐标原点的椭圆 方程的左边是平方和 右边是1 不同点 焦点在x轴的椭圆项分母较大 焦点在y轴的椭圆项分母较大 练习 1椭圆上一点p到一个焦点的距离为5 则p到另一个焦点的距离为 a 5 b 6 c 4 d 10 2 椭圆的焦点坐标是 a 5 0 b 0 5 c 0 12 d 12 0 c a 3 已知椭圆的方程为 焦点在x轴上 则其焦距为 a2b2c2d2 a 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 例1已知圆a x 3 2 y2 100 圆a内一定点b 3 0 圆p过b点且与圆a内切 求圆心p的轨迹方程 解 设 pb r 圆p与圆a内切 圆a的半径为10 两圆的圆心距 pa 10 r 即 pa pb 10 大于 ab 点p的轨迹是以a b两点为焦点的椭圆 2a 10 2c ab 6 a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 即点p的轨迹方程为 1 p f1 f2 例3已知f1 f2是椭圆的焦点 p为椭圆上一点 且 则的面积为 解 例4 将圆 4上的点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的一半 求所的曲线的方程 并说明它是什么曲线 设所的曲线上任一点的坐标为 x y 圆 上的对应点的坐标为 x y 由题意可得 因为 所以 即 1 将圆按照某个方向均匀地压缩 拉长 可以得到椭圆 2 利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法 例5在 abc中 bc 24 ac ab边上的中线之和为39 求 abc的重心的轨迹方程 y x o e f g a c b 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆 则m的取值范围是 0 4 变式 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆 则m的取值范围是 1 2 练习 练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程 2 焦点为f1 0 3 f2 0 3 且a 5 答案 1 a b 1 焦点在x轴上 3 两个焦点分别是f1 2 0 f2 2 0 且过p 2 3
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