高考数学一轮复习 专题4 立体几何 理 新人教版.doc

专题四立 体 几 何热点一空间点、线、面的综合位置关系及应用高考对空间线面关系的判断与证明的考查主要是以多面体为载体,对空间线线平行与垂直,线面平行与垂直,面面平行与垂直的定义、判定与性质进行考查,其中线面及面面的平行与垂直是核心.例1如图,在三棱柱abc -a1b1c1中,侧棱垂直底面,acb=90,ac=bc=aa1,d是棱aa1的中点.(1)求证:平面bdc1平面bdc;(2)平面bdc1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.【审题】此三棱柱为直三棱柱,本身有较多的垂直关系:如bc平面acc1a1等.又d为aa1的中点,利用三角形特征(如dac)可证adc=45.平面bdc1分割三棱柱后,成为锥体b-acc1d.【求解】(1)由题设知bccc1,bcac,cc1ac=c,所以bc平面acc1a1.又dc1平面acc1a1,所以dc1bc.由题设知a1dc1=adc=45,所以cdc1=90,即dc1dc.又dcbc=c,所以dc1平面bdc.又dc1平面bdc1,故平面bdc1平面bdc.(2)设棱锥b -dacc1的体积为v1,ac=1.由题意得v1=.又三棱柱abc-a1b1c1的体积v=1,所以(v-v1)v1=11.故平面bdc1分此棱柱所得两部分体积的比为11.热点二线面位置关系的存在性问题空间线面位置关系重点研究了线面位置的证明与线面角的计算等问题,与这些问题有关的开放与探索型问题,在高考中也多次出现.按类型分,可以是条件追溯型,可以是存在探索型,也可以是方法类比探索型.例2(2014四川)在如图所示的多面体中,四边形abb1a1和acc1a1都为矩形.(1)若acbc,证明:直线bc平面acc1a1.(2)设d,e分别是线段bc,cc1的中点,在线段ab上是否存在一点m,使直线de平面a1mc?请证明你的结论.【求解】(1)因为四边形abb1a1和acc1a1都是矩形,所以aa1ab,aa1ac.因为ab,ac为平面abc内的两条相交直线,所以aa1平面abc.因为直线bc平面abc,所以aa1bc.又由已知,acbc,aa1,ac为平面acc1a1内的两条相交直线,所以bc平面acc1a1.(2)如图,取线段ab的中点m,连接a1m,mc,a1c,ac1,设o为a1c,ac1的交点.由已知,o为ac1的中点.连接md,oe,则md,oe分别为abc,acc1的中位线,所以mdac,oeac.因此mdoe.连接om,从而四边形mdeo为平行四边形,所以demo.因为直线de平面a1mc,mo平面a1mc.所以直线de平面a1mc.即线段ab上存在一点m(线段ab的中点),使直线de平面a1mc.热点三空间计算与三视图的综合应用求空间几何体的表面积和体积是立体几何的重要内容之一,也是高考考查的热点问题之一.在高考中,常以选择题或填空题的形式出现,难度中等.高考考查对空间几何体的表面积和体积的考查主要有两个方面:一是求简单组合体的表面积和体积,常考的组合体有多面体与多面体的组合、多面体与旋转体的组合等;二是以三视图为背景求空间几何体的表面积和体积.例3(2014重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().a. 12b. 18c. 24d. 30【求解】由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的.三棱柱的底面是两直角边长分别为3和4的直角三角形,高为5;截去的锥体的底面是两直角边的长分别为3和4的直角三角形,高为3,所以该几何体的体积为v=【答案】c演练经典习题1. (2014湖北)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h,计算其体积v的近似公式v.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式v相当于将圆锥体积公式中的近似取为().2. (2014陕西)四面体abcd及其三视图如图所示,平行于棱ad,bc的平面分别交四面体的棱ab,bd,dc,ca于点e,f,g,h.(1)求四面体abcd的体积;(2)求证:四边形efgh是矩形.(第2题)3. 如图,直三棱柱acb-abc,abc=90,ab=ac=,aa=1,故m,n分别为ab和bc的中点.(1)求证:mn平面aacc;(2)求三棱锥a -mnc的体积.(第3题)4. (2013东城区高中示范校综合练习)如图所示,在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别为dd1,db的中点.(1)求证:ef平面abc1d1;(2)求证:efb1c;(3)求三棱锥b1 -efc的体积.(第4题)5. (2013山东名校联考信息优化卷)如图,四棱锥p-abcd中,四边形abcd是矩形