1621圆与方程.doc

高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客：/ansontop 邮箱：anson_专题： 圆与方程考纲要求：内容ABC166 圆的标准方程和一般方程 167 直线与圆、圆与圆的位置关系 168 空间直角坐标系 基本框架：圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系相离相切相交D0，或drD0，或drD0，或dr& 基本知识点（Level A）【1】圆的标准方程和一般方程1圆的最简方程；2标准方程， 其中圆心为，半径为 3一般方程（，其圆心为，半径为S 思考：方程在和时各表示怎样的图形？（点、不表示任何图形）二元二次方程表示圆的充要条件是什么？ （且且）为何圆的一般方程要设为？难到不能用吗？（因为直线的一般式已经把三个字母占用，要遵循先来后到） 确定圆需三个独立的条件，若只有一个条件，则剩下的一个条件将在研究完问题后获得4圆的直径式方程若、，以线段为直径的圆方程为： （即圆上的动点满足，或者使用来推导轨迹方程）5圆的参数方程（为参数），其中圆心为，半径为（也可认为这是利用三角换元，其实这就是将单位圆进行变换得到的）_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）圆与圆关于直线对称，则圆C的方程为 答案：（2）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 答案：或（3）已知是圆（为参数，上的点，则圆的普通方程为 ，P点对应的值为 ，过P点的圆的切线方程是 答案：；（4）如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是 答案：（5）方程表示一个圆，则实数的取值范围为 答案：（6）若（为参数，若，则b的取值范围是 答案：【2】点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若，则：点在圆外；点在圆上；点在圆内_ 经典案例 有疑问随时mail例：点在圆的内部，则的取值范围是 答案：【3】直线与圆的位置关系：直线：与圆：的位置关系有三种：相交、相离、相切（1）可从代数和几何两个方面来判断 代数方法：判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：相交；相离；相切 几何方法：半径比较法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：若，则：相离；相切；相交提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷（2）求圆的弦长方法：垂径定理（3）求圆的切线：“”_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）圆与直线，的位置关系为 答案：相离（2）若直线与圆切于点，则的值 答案：（3）直线被曲线所截得的弦长等于 答案：（4）一束光线从点A(1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 答案：（5）已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则直线m与l的关系是 ，直线l与圆的关系是 答案：，且与圆相离（6）已知圆C：，直线L： 求证：对，直线L与圆C总有两个不同的交点； 设L与圆C交于A、B两点，若，求L的倾斜角； 求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程答案：或；最长：，最短：【4】两圆位置关系的判定方法：（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）设两圆圆心分别为，半径分别为，则：外离条公切线；内切外切相交内含相离外切条公切线；相交条公切线；内切条公切线；内含无公切线 两圆的位置关系：当两圆相交时，公共弦所在的直线方程为（见圆系方程）& 拓展知识点（Level B）【1】圆中问题的处理方式解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用，如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等1圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆周角的一半推论：（1）相等的圆周角所对的弧也相等（2）半径（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形2垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（如图1所示）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧3处理与弦长有关的问题：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解即：（如图2所示）4处理与切线有关的问题：常用点到切点的距离，点到圆心的距离及圆的半径所构成的直角三角形来解即：（如图3所示）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角图1 图2 图3【2】两解问题：（1）（2）（3）（1）截得平行线的弦长相等（斜率不存在）（2）圆外一点引切线（斜率不存在），从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求（3）圆外一点引两条长度相等的割线，割线长度不等于直径【3】角的问题处理方式（1）余弦定理；（2）见直线模块到角与夹角； （3）向量的夹角公式【4】圆系方程1过点，的圆系方程是：其中是直线的方程，是待定的系数2过直线与圆的交点的圆系方程是：，是待定的系数3过圆与圆交点的圆系方程是：，是待定的系数特别地，当时，就是表示： 当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程； 向两圆所引切线长相等的点的轨迹（直线）方程，有的称这条直线为根轴【5】三角形的重心公式若，则的重心的坐标是：& 深化知识点（Level C）【1】圆的参数方程为“三角换元”提供了样板常用三角换元有：（1），（2），（3），（4），【2】圆的切线方程及切线长公式1已知圆 若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是：当在圆外时，表示过两个切点的切点弦方程过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程（内部也存在四点共圆） 过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求（抓住圆心到直线的距离等于半径），这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于轴的切线 斜率为的切线方程可设为，再利用相切条件求，必有两条切线2已知圆 若是圆上的点，则过点的切线方程为：特别地，若，切线方程为 若是圆外一点，由向圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为特别地，若