高考数学大一轮复习 8.3直线、平面平行的判定与性质教师用书 理 苏教版.doc

8.3直线、平面平行的判定与性质1直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，aaba，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abp，a，b，a，b，a结论aba【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(4)空间四边形abcd中，e，f分别是ab，ad的中点，则ef平面bcd.()(5)若，直线a，则a.()1设，为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n，m.可以填入的条件有_答案或解析由面面平行的性质定理可知，正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确2(2014徐州模拟)下列命题中，正确的序号为_平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；平行于同一个平面的两个平面平行；若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行；若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案解析由面面平行的判定定理和性质知正确对于，位于两个平行平面内的直线也可能异面3如图，正方体abcda1b1c1d1中，ab2，点e为ad的中点，点f在cd上若ef平面ab1c，则线段ef的长度等于_答案解析因为直线ef平面ab1c，ef平面abcd，且平面ab1c平面abcdac，所以efac，又e是da的中点，所以f是dc的中点，由中位线定理可得efac，又在正方体abcda1b1c1d1中，ab2，所以ac2，所以ef.4已知平面平面，直线a，有下列命题：a与内的所有直线平行；a与内无数条直线平行；a与内的任意一条直线都不垂直其中真命题的序号是_答案解析因为，a，所以a，在平面内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题为真命题，命题为假命题在平面内存在无数条直线与直线a垂直，故命题为假命题题型一直线与平面平行的判定与性质例1(2014山东改编)如图，四棱锥pabcd中，adbc，abbcad，e，f，h分别为线段ad，pc，cd的中点，ac与be交于o点，g是线段of上一点(1)求证：ap平面bef；(2)求证：gh平面pad.思维点拨(2)中可证明平面ohf平面pad.证明(1)连结ec，adbc，bcad，bc綊ae，四边形abce是平行四边形，o为ac的中点又f是pc的中点，foap，fo平面bef，ap平面bef，ap平面bef.(2)连结fh，oh，f，h分别是pc，cd的中点，fhpd，fh平面pad.又o是be的中点，h是cd的中点，ohad，oh平面pad.又fhohh，平面ohf平面pad.又gh平面ohf，gh平面pad.思维升华判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa) (2013福建改编)如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，abdc，abad，bc5，dc3，ad4，pad60.(1)若m为pa的中点，求证：dm平面pbc；(2)求三棱锥dpbc的体积方法一(1)证明如图，取pb中点n，连结mn，cn.在pab中，m是 pa的中点，mnab，mnab3，又cdab，cd3，mncd，mncd，四边形mncd为平行四边形，dmcn.又dm平面pbc，cn平面pbc，dm平面pbc.(2)解vdpbcvpdbcsdbcpd，又sdbc6，pd4，所以vdpbc8.方法二(1)证明如图，取ab的中点e，连结me，de.在梯形abcd中，becd，且becd，四边形bcde为平行四边形，debc，又de平面pbc，bc平面pbc，de平面pbc.又在pab中，mepb，me平面pbc，pb平面pbc，me平面pbc，又demee，平面dme平面pbc.又dm平面dme，dm平面pbc.(2)同方法一题型二平面与平面平行的判定与性质例2(2013陕西)如图，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，o为底面中心，a1o平面abcd，abaa1.(1)证明：平面a1bd平面cd1b1；(2)求三棱柱abda1b1d1的体积(1)证明由题设知，bb1綊dd1，四边形bb1d1d是平行四边形，bdb1d1.又bd平面cd1b1，b1d1平面cd1b1，bd平面cd1b1.a1d1綊b1c1綊bc，四边形a1bcd1是平行四边形，a1bd1c.又a1b平面cd1b1，d1c平面cd1b1，a1b平面cd1b1.又bda1bb，平面a1bd平面cd1b1.(2)解a1o平面abcd，a1o是三棱柱abda1b1d1的高又aoac1，aa1，a1o1.又sabd1，sabda1o1.思维升华证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化如图，在正方体abcda1b1c1d1中，s是b1d1的中点，e、f、g分别是bc、dc、sc的中点，求证：(1)直线eg平面bdd1b1；(2)平面efg平面bdd1b1.证明(1)如图，连结sb，e、g分别是bc、sc的中点，egsb.又sb平面bdd1b1，eg平面bdd1b1，直线eg平面bdd1b1.(2)连结sd，f、g分别是dc、sc的中点，fgsd.又sd平面bdd1b1，fg平面bdd1b1，fg平面bdd1b1，由(1)知，eg平面bdd1b1，且eg平面efg，fg平面efg，egfgg，平面efg平面bdd1b1.题型三平行关系的综合应用例3如图所示，在四面体abcd中，截面efgh平行于对棱ab和cd，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维点拨利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值解ab平面efgh，平面efgh与平面abc和平面abd分别交于fg、eh.abfg，abeh，fgeh，同理可证efgh，截面efgh是平行四边形设aba，cdb，fgh (即为异面直线ab和cd所成的角或其补角)又设fgx，ghy，则由平面几何知识可得，两式相加得1，即y(ax)，sefghfgghsin x(ax)sin x(ax)x0，ax0且x(ax)a为定值，当且仅当xax时，x(ax)，此时x，y.即当截面efgh的顶点e、f、g、h为棱ad、ac、bc、bd的中点时截面面积最大思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决如图所示，四棱锥pabcd的底面是边长为a的正方形，侧棱pa底面abcd，在侧面pbc内，有bepc于e，且bea，试在ab上找一点f，使ef平面pad.解在平面pcd内，过e作egcd交pd于g，连结ag，在ab上取点f，使afeg，egcdaf，egaf，四边形fega为平行四边形，feag.又ag平面pad，fe平面pad，ef平面pad.f即为所求的点又pa面abcd，pabc，又bcab，bc面pab.pbbc.pc2bc2pb2bc2ab2pa2.设pax则pc，由pbbcbepc得：aa，xa，即paa，pca.又ce a，即gecda，afa.即afab.立体几何中的探索性问题典例：(14分)如图，在四棱锥sabcd中，已知底面abcd为直角梯形，其中adbc，bad90，sa底面abcd，saabbc2.tansda.(1)求四棱锥sabcd的体积；(2)在棱sd上找一点e，使ce平面sab，并证明规范解答解(1)sa底面abcd，tansda，sa2，ad3.2分由题意知四棱锥sabcd的底面为直角梯形，且saabbc2，4分vsabcdsa(bcad)ab2(23)2.7分(2)当点e位于棱sd上靠近d的三等分点处时，可使ce平面sab.9分取sd上靠近d的三等分点为e，取sa上靠近a的三等分点为f，连结ce，ef，bf，则ef綊ad，bc綊ad，bc綊ef，cebf.12分又bf平面sab，ce平面sab，ce平面sab.14分解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论第二步：证明探求结论的正确性第三步：给出明确答案第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”，“只需使成立”.方法与技巧1平行问题的转化关系2直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质3平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.失误与防范1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”3解题中注意符号语言的规范应用.a组专项基础训练(时间：40分钟)1设，是两个不同的平面，m，n是平面内的两条不同的直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是_m且l1 l1且l2m且n ml1且nl2答案解析ml1，且nl2，但/ ml1且nl2，“ml1，且nl2”是“”的一个充分不必要条件2若直线a平行于平面，则下列结论错误的是_(填序号)a平行于内的所有直线；内有无数条直线与a平行；直线a上的点到平面的距离相等；内存在无数条直线与a成90角答案解析若直线a平行于平面，则内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以不正确，、正确又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以正确3如图所示，四棱锥pabcd的底面是一直角梯形，abcd，baad，cd2ab，pa底面abcd，e为pc的中点，则be与平面pad的位置关系是_答案平行解析取pd的中点f，连结ef、af；在pcd中，ef綊cd，又abcd，且cd2ab，ef綊ab.四边形abef为平行四边形ebaf，又eb面pad，af面pad，be面pad.4给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面、的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m.n，l，则mn.其中真命题的个数为_答案1解析中当与不平行时，也可能存在符合题意的l、m；中l与m也可能异面；中ln，同理，lm，则mn，正确5下列四个正方体图形中，a，b为正方体的两个顶点，m，n，p分别为其所在棱的中点，能得出ab平面mnp的图形的序号是_答案解析中易知npaa，mnab，平面mnp平面aab可得出ab平面mnp(如图)中，npab，能得出ab平面mnp.6在四面体abcd中，m，n分别是acd，bcd的重心，则四面体的四个面中与mn平行的是_答案平面abd与平面abc解析如图，取cd的中点e.则emma12，enbn12，所以mnab.所以mn平面abd，mn平面abc.7如图所示，abcda1b1c1d1是棱长为a的正方体，m、n分别是下底面的棱a1b1、b1c1的中点，p是上底面的棱ad上的一点，ap，过p、m、n的平面交上底面于pq，q在cd上，则pq_.答案a解析平面abcd平面a1b1c1d1，mnpq.m、n分别是a1b1、b1c1的中点，ap，cq，从而dpdq，pqa.8在四面体abcd中，截面pqmn是正方形，则在下列结论中，错误的为_(填序号)acbd；ac截面pqmn；acbd；异面直线pm与bd所成的角为45.答案解析pqmn是正方形，mnqp，则mn平面abc，由线面平行的性质知mnac，则ac截面pqmn，同理可得mqbd，又mnqm，则acbd，故正确又bdmq，异面直线pm与bd所成的角即为pmq45，故正确9如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abac5，bb1bc6，d，e分别是aa1和b1c的中点(1)求证：de平面abc；(2)求三棱锥ebcd的体积(1)证明取bc中点g，连结ag，eg.因为e是b1c的中点，所以egbb1，且egbb1.由直棱柱知，aa1綊bb1，而d是aa1的中点，所以eg綊ad，所以四边形egad是平行四边形所以edag.又de平面abc，ag平面abc，所以de平面abc.(2)解因为adeg，eg平面bce，ad平面bce，所以ad平面bce，所以vebcdvdbecvabceveabc，由(1)知，de平面abc.所以veabcvdabcadbcag36412.10如图，e、f、g、h分别是正方体abcda1b1c1d1的棱bc、cc1、c1d1、aa1的中点求证：(1)eg平面bb1d1d；(2)平面bdf平面b1d1h.证明(1)取b1d1的中点o，连结go，ob，易证四边形bego为平行四边形，故obge，由线面平行的判定定理即可证eg平面bb1d1d.(2)由题意可知bdb1d1.如图，连结hb、d1f，易证四边形hbfd1是平行四边形，故hd1bf.又b1d1hd1d1，bdbfb，所以平面bdf平面b1d1h.b组专项能力提升(时间：30分钟)1对于平面和共面的直线m，n，下列命题中为真命题的是_若m，n与平面所成的角相等，则mn；若m，n，则mn；若m，mn，则n；若m，n，则mn.答案解析正三棱锥pabc的侧棱pa，pb与底面所成角相等，但pa与pb相交，应排除；若m，n，则m与n平行或相交，应排除；若m，mn，则n或n，应排除；因为m，n共面，设经过m，n的平面为，因为m，所以m.因为n，所以nm.2如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e、f、g、h分别是棱cc1、c1d1、d1d、cd的中点，n是bc的中点，动点m在四边形efgh上及其内部运动，则m满足条件_时，有mn平面b1bdd1.答案m线段fh解析因为hnbd，hfdd1，所以平面nhf平面b1bdd1，故线段fh上任意点m与n相连，都有mn平面b1bd