高考数学大一轮复习 5.2平面向量基本定理及坐标表示教师用书 理 苏教版.doc

5.2平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在abc中，向量，的夹角为abc.()(3)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(6)已知向量a(1sin ，1)，b(，1sin )，若ab，则等于45.()1(2014福建改编)在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是_e1(0,0)，e2(1,2)；e1(1,2)，e2(5，2)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2(2,3)答案解析由题意知，中e10，中两向量均共线，都不符合基底条件，故正确(事实上，a(3,2)2e1e2)2已知a(3,0)，b(0,2)，o为坐标原点，点c在aob内，oc2，且aoc，设 (r)，则的值为_答案解析过c作cex轴于点e.由aoc，知oece2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.3已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b与c共线，则k_.答案1解析因为a2b(，1)2(0，1)(，3)与c(k，)共线，所以3k，因此k1.4在abcd中，ac为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5).题型一平面向量基本定理的应用例1(1)在梯形abcd中，abcd，ab2cd，m，n分别为cd，bc的中点，若，则_.(2)如图，在abc中，p是bn上的一点，若m，则实数m的值为_答案(1)(2)解析(1)因为()22，所以，所以.(2)设k，kr.因为kk()k()(1k)，且m，所以1km，解得k，m.思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决已知abc中，点d在bc边上，且2，rs，则rs的值是_答案0解析，.又rs，r，s，rs0.题型二平面向量的坐标运算例2已知a(2,4)，b(3，1)，c(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求m、n的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设o为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)m(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，n(9,2)(9，18)思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则(1)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab_.(2)在平行四边形abcd中，ac为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则_.答案(1)(1,2)(2)(3，5)解析(1)a(，)，b(，)，故ab(1,2)(2)由题意得()2(1,3)(4,8)(3，5)题型三向量共线的坐标表示例3(1)已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_.(2)(2014陕西)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.答案(1)(4，8)(2)解析(1)由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)即m4.从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)(2)因为ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因为00，得2sin cos ，tan .思维升华(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(b0)，则ab.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解(1)已知梯形abcd，其中abcd，且dc2ab，三个顶点a(1,2)，b(2,1)，c(4,2)，则点d的坐标为_(2)abc中，内角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，则角c_.答案(1)(2,4)(2)60解析(1)在梯形abcd中，dc2ab，2.设点d的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点d的坐标为(2,4)(2)因为pq，则(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，所以，结合余弦定理知，cos c，又0c0，b0，o为坐标原点，若a，b，c三点共线，则的最小值为_答案解析由已知得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)()(3)(32).(当且仅当ba时，等号成立)5给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点c在以o为圆心的圆弧上运动若xy，其中x，yr，求x