高考数学大一轮复习 7.4基本不等式及其应用教师用书 理 苏教版.doc

7.4基本不等式及其应用1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，br)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，br)(4)2 (a，br)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)ab()2成立的条件是ab0.()(3)函数f(x)cos x，x(0，)的最小值等于4.()(4)“x0且y0”是“2”的充要条件()(5)若a0，则a3的最小值为2.()(6)a2b2c2abbcca(a，b，cr)()1若a，br，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是_a2b22ab ab2 2答案解析a2b22ab(ab)20，错误对于，当a0，b0，2 2.2若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是_ 12 a2b28答案解析4ab2(当且仅当ab时，等号成立)，即2，ab4，不成立；1，不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，故成立3设x，yr，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为_答案1解析由axby3，得：xloga3，ylogb3，由a1，b1知x0，y0，log3alog3blog3ablog321，当且仅当ab时“”成立，则的最大值为1.4(2014福建)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)答案160解析设该长方体容器的长为x m，则宽为 m又设该容器的造价为y元，则y2042(x)10，即y8020(x)(x0)因为x24(当且仅当x，即x2时取“”)，所以ymin80204160(元).题型一通过配凑法利用基本不等式求最值例1(1)已知x，求f(x)4x2的最大值；(2)已知x为正实数且x21，求x的最大值；(3)求函数y的最大值解(1)因为x0，则f(x)4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.(2)因为x0，所以x ，又x2()(x2)，所以x()，即(x)max.(3)令t0，则xt21，所以y.当t0，即x1时，y0；当t0，即x1时，y，因为t24(当且仅当t2时取等号)，所以y，即y的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值)思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(1)已知0x2)在xa处取最小值，则a_.答案(1)(2)3解析(1)因为0x0,33x0.由基本不等式可得x(33x)3x(33x)()2，当且仅当3x33x，即x时，等号成立(2)因为x2，所以x20，则f(x)x(x2)2224，当且仅当x2，即x3时取等号即当f(x)取得最小值时，x3，即a3.题型二通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值例2(1)已知x0，y0且xy1，则的最小值为_(2)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_答案(1)18(2)6解析(1)(常数代换法)x0，y0，且xy1，()(xy)1010218.当且仅当，即x2y时等号成立，当x，y时，有最小值18.(2)由已知得x.方法一(消元法)x0，y0，y0，y0，9(x3y)xyx(3y)()2，当且仅当x3y时等号成立设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.思维升华条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值(1)若两个正实数x，y满足1，并且x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是_(2)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_答案(1)(4,2)(2)5解析(1)x2y(x2y)()228，当且仅当，即x2y时等号成立由x2ym22m恒成立，可知m22m8，即m22m80，解得4m0，y0，y，3x4y4y4(y)25，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.题型三基本不等式与函数的综合应用例3(1)已知f(x)32x(k1)3x2，当xr时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是_(2)已知函数f(x)(ar)，若对于任意xn*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_答案(1)(，21)(2)，)解析(1)由f(x)0得32x(k1)3x20，解得k13x，而3x2(当且仅当3x，即xlog3时，等号成立)，k12，即kg(3)，g(x)min.(x)3，a，故a的取值范围是，)思维升华(1)af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立a0)，若f(x)在(1，)上的最小值为4，则实数p的值为_答案解析由题意得x10，f(x)x1121，当且仅当x1时取等号，因为f(x)在(1，)上的最小值为4，所以214，解得p.题型四基本不等式的实际应用例4某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400 元/m2，以后每增加一层费用增加40 元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成_层答案10解析设应把楼房设计成x层，每层有面积y m2，则平均每平方米建筑面积的成本费为k20x3802380780，当且仅当20x，即x10时取等号，故应把楼房设计成10层思维升华对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若pq0，则提价多的方案是_答案(1)80(2)乙解析(1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得y2 20.当且仅当(x0)，即x80时“”成立(2)设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1p%)(1q%)，方案乙：(1%)2，因为1%，且pq0，所以1%，即(1p%)(1q%)0，y0，且1，则xy的最小值是_(2)函数y12x(x0)的最小值为_易错分析(1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件如：12，2，xy24，得(xy)min4.(2)没有注意到x0，y0，xy(xy)()332(当且仅当yx时取等号)当x1，y2时，(xy)min32.(2)x0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件3对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数yx(m0)的单调性失误与防范1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.a组专项基础训练(时间：40分钟)1下列不等式一定成立的是_lg(x2)lg x(x0)；sin x2(xk，kz)；x212|x|(xr)；1(xr)答案解析当x0时，x22xx，所以lg(x2)lg x(x0)，故不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当xk，kz时，sin x的正负不定，故不正确；由基本不等式可知，正确；当x0时，有1，故不正确2若a0，b0，且ln(ab)0，则的最小值是_答案4解析由a0，b0，ln(ab)0得故4.当且仅当ab时上式取“”3已知x0，y0，且4xyx2y4，则xy的最小值为_答案2解析x0，y0，x2y2，4xy(x2y)4xy2，44xy2，即(2)(1)0，2，xy2.4设f(x)是定义在r上的以3为周期的奇函数，若f(1)1，f(2)，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(1)1.10(3a2)(a1)0，1a0，a恒成立，则a的取值范围是_答案a解析，因为x0，所以x2(当且仅当x1时取等号)，则，即的最大值为，故a.7设x，yr，且xy0，则(x2)(4y2)的最小值为_答案9解析(x2)(4y2)54x2y2529，当且仅当x2y2时“”成立8某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_答案20解析设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为2，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为x240，当且仅当x，即x20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨9(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求函数y的最大值解(1)yx().当x0，24，当且仅当，即x时取等号于是y4.故函数的最大值为.(2)0x0，y，当且仅当x2x，即x1时取等号，当x1时，函数y的最大值为.10某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积s的最大允许值是多少？为使s达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x(x0)米，一侧砖墙长为y(y0)米，则顶部面积sxy，依题设，得40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy12020s，则s61600，即(10)(16)0，故010，从而00，则当a_时，取得最小值答案2解析由于ab2，所以，由于b0，|a|0，所以21，因此当a0时，的最小值是1；当a0，b0，若不等式0恒成立，则m的最大值为_答案16解析因为a0，b0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立因为2 6，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即m的最大值为16.5经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tn*)的旅游人数f(