高考数学大一轮复习 9.6双曲线教师用书 理 苏教版.doc

9.6双曲线1双曲线定义平面内到两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数(小于f1f2的正数)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合pm|mf1mf2|2a，f1f22c，其中a、c为常数且a0，c0.(1)当2af1f2时，p点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0) 1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长a1a22a；线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长b1b22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)知识拓展巧设双曲线方程(1)与双曲线1 (a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t (t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1 (mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()1若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_答案解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2(2013福建改编)双曲线y21的顶点到其渐近线的距离d_.答案解析双曲线的顶点(2,0)到渐近线yx的距离d.3已知双曲线c1：1(a0，b0)与双曲线c2：1有相同的渐近线，且c1的右焦点为f(，0)，则a_，b_.答案12解析与双曲线1有相同渐近线的双曲线的方程可设为，即1.由题意知c，则4165，则a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.4(2014北京)设双曲线c的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则c的方程为_答案x2y21解析由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c，a1，则b2c2a21，所以双曲线c的方程为x2y21.题型一双曲线的定义及标准方程例1(1)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点m(2，2)的双曲线方程为_(2)已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为_思维点拨解(2)时，考虑定义法答案(1)1(2)x21(x1)解析(1)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点m(2，2)代入得k(2)22.所以双曲线方程为1.(2)如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b.根据两圆外切的条件，得mc1ac1ma，mc2bc2mb，因为mamb，所以mc1ac1mc2bc2，即mc2mc1bc2ac12，所以点m到两定点c1、c2的距离的差是常数且小于c1c2.又根据双曲线的定义，得动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离大，与c1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点m的轨迹方程为x21(x1)思维升华求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值与双曲线1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为 (0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值(1)(2014天津改编)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为_(2)设椭圆c1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线c2的标准方程为_答案(1)1(2)1解析(1)双曲线的渐近线方程为yx，因为一条渐近线与直线y2x10平行，所以2.又因为双曲线的一个焦点在直线y2x10上，所以2c100.所以c5.由得故双曲线方程为1.(2)由题意知椭圆c1的焦点坐标为f1(5,0)，f2(5,0)，设曲线c2上的一点p，则|pf1pf2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线c2的标准方程为1.题型二双曲线的几何性质例2(1)(2013浙江改编)如图，f1，f2是椭圆c1：y21与双曲线c2的公共焦点，a，b分别是c1，c2在第二、四象限的公共点若四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率是_(2)(2014广东改编)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的_相等思维点拨(1)依题意可求出a、c的值(2)分别表示出两方程对应的a、b、c的值比较即可答案(1)(2)焦距解析(1)f1f22.设双曲线的方程为1.af2af14，af2af12a，af22a，af12a.在rtf1af2中，f1af290，afaff1f，即(2a)2(2a)2(2)2，a，e.(2)因为0k0，b0)的离心率为，则c的渐近线方程为_(2)过双曲线1(a0，b0)的一个焦点f作一条渐近线的垂线，垂足为点a，与另一条渐近线交于点b，若2，则此双曲线的离心率为_答案(1)yx(2)2解析(1)由e知，a2k，ck(kr)，由b2c2a2k2知bk.所以.即渐近线方程为yx.(2)如图，2，a为线段bf的中点，23.又12，260，tan 60，e21()24，e2.题型三直线与双曲线的位置关系例3已知双曲线c：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与c有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与c交于a，b两点，o是坐标原点，且aob的面积为，求实数k的值解(1)双曲线c与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20.解得k|x2|时，soabsoadsobd(|x1|x2|)|x1x2|；当a，b在双曲线的两支上且x1x2时，soabsodasobd(|x1|x2|)|x1x2|.soab|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即()28，解得k0或k.又k0，b0)由已知得：a，c2，再由a2b2c2，得b21，双曲线c的方程为y21.(2)设a(xa，ya)、b(xb，yb)，将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由题意知解得k1.当k1时，l与双曲线左支有两个交点(3)由(2)得：xaxb，yayb(kxa)(kxb)k(xaxb)2.ab的中点p的坐标为(，)设直线l0的方程为yxm，将p点坐标代入直线l0的方程，得m.k1，213k20.m2.m的取值范围为(，2)忽视“判别式”致误典例：(14分)已知双曲线x21，过点p(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于a、b两点，且点p是线段ab的中点？易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误规范解答解设点a(x1，y1)，b(x2，y2)在双曲线上，且线段ab的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意3分设经过点p的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.5分由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20)8分x0.由题意，得1，解得k2.10分当k2时，方程成为2x24x30.162480)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为ax2by21 (ab0，b0)的渐近线方程是yx，1 (a0，b0)的渐近线方程是yx.4若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.a组专项基础训练(时间：45分钟)1(2013北京改编)若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为_答案yx解析由e，知ca，则ba.渐近线方程为yx，yx.2(2013湖北改编)已知00，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为xc或xc，代入1得y2b2(1)，y，故ab，依题意得4a，2，e212，e.4(2014江西改编)过双曲线c：1的右顶点作x轴的垂线，与c的一条渐近线相交于点a.若以c的右焦点为圆心、半径为4的圆经过a，o两点(o为坐标原点)，则双曲线c的方程为_答案1解析由得a(a，b)由题意知右焦点到原点的距离为c4，4，即(a4)2b216.而a2b216，a2，b2.双曲线c的方程为1.5已知点f是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点e是该双曲线的右顶点，过f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a、b两点，若abe是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_答案(1,2)解析由题意易知点f的坐标为(c,0)，a(c，)，b(c，)，e(a,0)，abe是锐角三角形，0，即(ca，)(ca，)0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2)6(2014北京)设双曲线c经过点(2,2)，且与x21具有相同渐近线，则c的方程为_；渐近线方程为_答案1y2x解析设双曲线c的方程为x2 (0)，将点(2,2)代入上式，得3，c的方程为1，其渐近线方程为y2x.7(2014浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点a，b.若点p(m,0)满足papb，则该双曲线的离心率是_答案解析双曲线1的渐近线方程为yx.由得a(，)，由得b(，)，所以ab的中点c的坐标为(，)设直线l：x3ym0(m0)，因为papb，所以pcl，所以kpc3，化简得a24b2.在双曲线中，c2a2b25b2，所以e.8(2013湖南)设f1，f2是双曲线c：1(a0，b0)的两个焦点，p是c上一点，若pf1pf26a且pf1f2的最小内角为30，则双曲线c的离心率为_答案解析不妨设pf1pf2，则pf1pf22a，又pf1pf26a，pf14a，pf22a.又在pf1f2中，pf1f230，由正弦定理得，pf2f190，f1f22a，双曲线c的离心率e.9已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点m(3，m)在双曲线上，求证：点m在以f1f2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求f1mf2的面积(1)解离心率e，双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2y2(0)，则由点(4，)在双曲线上，可得42()26，双曲线方程为x2y26.(2)证明点m(3，m)在双曲线上，32m26，m23，又双曲线x2y26的焦点为f1(2，0)，f2(2，0)，(23，m)(23，m)(3)2(2)2m291230，mf1mf2，点m在以f1f2为直径的圆上(3)解4|m|6.10已知椭圆c1的方程为y21，双曲线c2的左、右焦点分别是c1的左、右顶点，而c2的左、右顶点分别是c1的左、右焦点(1)求双曲线c2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线c2恒有两个不同的交点a和b，且2(其中o为原点)，求k的取值范围解(1)设双曲线c2的方程为1 (a0，b0)，则a23，c24，再由a2b2c2，得b21.故c2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线c2交于不同的两点，得k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k20，b0)的两焦点，以线段f1f2为边作正三角形mf1f2，若边mf1的中点p在双曲线上，则双曲线的离心率是_答案1解析因为mf1的中点p在双曲线上，pf2pf12a，mf1f2为正三角形，边长都是2c，所以cc2a，所以e1.2(2013重庆改编)设双曲线c的中心为点o，若有且只有一对相交于点o、所成的角为60的直线a1b1和a2b2，使a1b1a2b2，其中a1、b1和a2、b2分别是这对直线与双曲线c的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是_答案解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30且小于等于60，即tan 30tan 60，3.又e2()21，e24，0，b0)的左、右焦点分别为f1、f2，点p在双曲线的右支上，且pf14pf2，则此双曲线的离心率e的最大值为_答案解析由定义，知pf1pf22a.又pf14pf2，pf1a，pf2a.在pf1f2中，由余弦定理，得cosf1pf2e2.要求e的最大值，即求cosf1pf2的最小值，当cosf1pf21时，得e，即e的最大值为.6已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为a、b，在第二象限内取双曲线上一点p，连结bp交椭圆于点m，连结pa并延长交椭圆于点n，若，求四边形