高考数学大一轮复习 8.1空间几何体及其表面积、体积试题 理 苏教版.doc

第八章 立体几何第1讲 空间几何体及其表面积与体积一、填空题1已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为_解析 这个空间几何体的直观图如图所示，由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长是，故其侧视图只可能是中的图形答案 2在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是_(写出所有正确结论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体解析显然可能；不可能；取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；正方体abcd a1b1c1d1中，三棱锥d1dbc满足条件答案3在三棱锥sabc中，面sab，sbc，sac都是以s为直角顶点的等腰直角三角形，且abbcca2，则三棱锥sabc的表面积是_解析设侧棱长为a，则a2，a，侧面积为3a23，底面积为22，表面积为3.答案34在直观图(如图所示)中，四边形oabc为菱形且边长为2 cm，则在xoy坐标系中，四边形abco为_，面积为_cm2.解析 由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xoy坐标系中，四边形abco是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形abco的面积为8 cm2.答案 矩形85. 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积v11.答案6. 如图所示，三棱柱abca1b1c1的所有棱长均为a，a1aba1ac60，则其全面积为_解析如题图，过b作bdaa1于d，连接cd，则badcad，所以adbadc90，所以adcd，adbd，所以bcd为垂直于侧棱aa1的截面又因为bad60，aba，所以bda.所以bdc的周长为(1)a，从而s侧(1)a2，s底a2sin 60a2.故s全s侧2s底a2.答案a27正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2，点m是bc的中点，点p是平面abcd内的一个动点，且满足pm2，p到直线a1d1的距离为，则点p的轨迹是_解析由pm2，知点p在以m为圆心，2为半径的圆上又由p到直线a1d1的距离为，知点p在与bc平行且过ab中点的直线上，故点p的轨迹是它们的交点，即为两点答案两个点8已知矩形abcd的面积为8，当矩形abcd周长最小时，沿对角线ac把acd折起，则三棱锥dabc的外接球表面积等于_解析 设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab8，此时2a2b48，当且仅当ab2时等号成立此时四边形abcd为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是42216.答案 169已知点p，a，b，c是球o表面上的四个点，且pa、pb、pc两两成60角，papbpc1 cm，则球的表面积为_cm2.解析如图，取ab的中点m，连接pm、cm，过p作棱锥的高pn，则垂足n必在cm上，连接an.棱锥的四个侧面都是边长为1的正三角形，故可得cmpm，从而cncm，在rtpcn中，可求得pn，连接ao，则ancn，设aopor，则在rtoan中，有r222，解得r.球的表面积s4r2(cm2)答案10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_，_.解析 由三视图可知，该几何体的下部是一底边长为2，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长所以长方体的表面积为s122242440，长方体的体积为v122416，球的表面积和体积分别为s24124，v213，故该几何体的表面积为ss1s2404，该几何体的体积为vv1v216.答案 404；16二、解答题11. 如图，四边形abcd为正方形，qa平面abcd，pdqa，qaabpd.(1)证明：pq平面dcq；(2)求棱锥qabcd的体积与棱锥pdcq的体积的比值(1)证明由条件知四边形pdaq为直角梯形因为qa平面abcd，所以平面pdaq平面abcd，交线为ad.又四边形abcd为正方形，dcad，所以dc平面pdaq，可得pqdc.在直角梯形pdaq中可得dqpqpd，则pqqd.又dqdcd，所以pq平面dcq.(2)解设aba.由题设知aq为棱锥qabcd的高，所以棱锥qabcd的体积v1a3.由(1)知pq为棱锥pdcq的高，而pqa，dcq的面积为a2，所以棱锥pdcq的体积v2a3.故棱锥qabcd的体积与棱锥pdcq的体积的比值为1.12如图，把边长为2的正六边形abcdef沿对角线be折起，使ac.(1)求证：平面abef平面bcde；(2)求五面体abcdef的体积解 设原正六边形中，acbeo，ofbeo，由正六边形的几何性质可知oaoc，acbe，dfbe.(1)证明：在五面体abcde中，oa2oc26ac2，oaoc，又oaob，oa平面bcde.oa平面abef，平面abef平面bcde.(2)由beoa，beoc知be平面aoc，同理be平面fod，平面aoc平面fod，故aocfod是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥baoc和efod为大小相同的三棱锥，vabcdef2vbaocvaocfod2()21()224.13. 如图所示，在平行四边形abcd中，dab60，ab2，ad4.将cbd沿bd折起到ebd的位置，使平面ebd平面abd.(1)求证：abde；(2)求三棱锥eabd的侧面积(1)证明在abd中，因为ab2，ad4，dab60，所以bd2，所以ab2bd2ad2，所以abbd.又因为平面ebd平面abd，平面ebd平面abdbd，ab平面abd，所以ab平面ebd.又因为de平面ebd，所以abde.(2)解由(1)知abbd，因为cdab，所以cdbd，从而debd，在rtdbe中，由db2，dedcab2，得sbdedbde2.又因为ab平面ebd，be平面ebd，所以abbe.因为bebcad4，所以sabeabbe4，因为debd，平面ebd平面abd，所以ed平面abd，而ad平面abd，所以edad，所以sadeadde4.综上，三棱锥eabd的侧面积s82.14如图(1)所示，在直角梯形abef中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形dcef沿cd折起，使平面dcef平面abcd，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示(1)求证：be平面adf；(2)求三棱锥fbce的体积(1)证明法一取df的中点g，连结ag，eg，ce綉df，eg綉cd.又ab綉cd，eg綉ab.四边形abeg为平行四边形beag.又be平面adf，ag平面adf，be平面adf.法二由题图(1)可知bcad，cedf，折叠之后平行关系不变bcad，bc平面adf，ad平面adf，bc平面adf.同理ce平面adf.bccec，bc、ce平面bce，平面bce平面adf.be平面bce，be平面adf，be平面adf.(2)解法一vfbcevbcef，由题图(1)，可知bccd，又平面dcef平面abcd，平面dcef平面abcdcd，bc平面abcd，bc平面dcef.由题图(1)可知，dcce1，scefcedc，vfbcevbvcefbcscef.法二由题图(1)，可知cdbc，cdce，bccec，cd平面bce.dfce，点f到平面bce的距离等于点d到平面bce的距离为1，由题图(1)，可知bcce1，sbcebcc