2010年高考试题解析-空间.pdf

2010 年高考空间几何试题 1 7 正方体ABCD A1B1C1D1中 BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 A 2 3 B 3 3 C D BF 6 3 8 已知三棱锥 S ABC 中 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形 SA 垂直于底面 ABC SA 3 那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 6 直三棱柱ABC A1B1C1中 若则异面直线BA 1 90 BACABACAA 1与AC1所 成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 9 已知正四棱锥SA中 BCD 2 3SA 那么当该棱锥的体积最大时 它的高为 A 1 B 3 C 2 D 3 11 与正方体的三条棱AB 所在直线的距离相等的点 1111 ABCDABC D 1 CC 11 AD A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AC CD 2 则四面体 ABCD 的体积的最 大值为 A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 11 已知 S A B C 是球 O 表面上的点 SA 平面 ABC AB BC SA AB 1 BC 2 则球 O 的表面积等于 A 4 B 3 C 2 D 16 已知球O的半径为 4 圆M与圆N为该球的两个小圆 为圆M与圆N的公共 弦 若OM 则两圆圆心的距离MN AB 4 AB3ON 16 长方体 1111 ABCDABC D 的顶点均在同一个球面上 1 1ABAA 2BC 则 A B两点间的球面距离为 16 14 分 如图 四棱锥P ABCD中 PD 平面ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 900 1 求证 PC BC D C P 2 求点 A 到平面 PBC 的距离 B A 2010 年高考空间几何试题 2 16 14 分 1 PD 平面 ABCD PD BC 又 BC CD BC 面 PCD BC PC 2 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 11 33 2 A PBCP ABCPBCABC VVSHS h 容易求出 PD 求 19 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱ABC A1B2C1中 AC BC AA1 AB D为BB2的中点 E为AB1上的一 点 AE 3EB2 I 证明 DE为异面直线AB1与 CD的公垂线 II 设异面直线AB1与CD的夹角为45二面 角A2 AC1 B1的大小 解法二 I 以 B 为坐标原点 射线 BA 为 x 轴正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz 设AB 2 则A 2 0 0 B1 0 2 0 D 0 1 0 1 3 0 2 2 E 又设 C 1 0 c 则 1 1 1 2 2 0 1 1 2 2 DEB ADCc 6 分 3 分 于是 1 0 0 DE B ADE DC 故DE 1 B A DEDC 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线 II 因为 等于异面直线与 CD 的夹角 1 B A DC 1 AB 故B A 11 cos45DCB ADC 即 2 2 2 2 24 2 c 解得2 1 0 2 cA C 故 又AA 11 0 2 0 BB 所以 11 1 2 2 ACACAA 9 分 设平面AA1C1的法向量为mx y z 2010 年高考空间几何试题 3 则 11 0 0 m ACm AA 即2202xyzy 且0 令2 x 则1 0 2 0 0 zym 故 设平面AB2C2的法向量为np q r 则 11 0 0 n ACn B A 即220 23pqrpq 0 令2 p 则2 1 2 21 qrn 故 所以 1 cos 5 m n m n mn 由于 1 AC1 B1的平面角 所以二面角A1 AC1 B1的大小为 15 a 12 分 rccos 15 1 0 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥S ABCD中 底面 ABCD AB DC A DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC SD DDC ABAD 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 解法二 以 D 为坐标原点 射线 DA 为x轴正半轴 建立如图所示的直角坐标系Dx yz 设A 则BC 1 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 2 S SC 0 1 2 1 1 0 BC 设平面 SBC 的法向量为na b c 由nS得 C nBC 0 0n SCn BC 故22 0 bcab 2010 年高考空间几何试题 4 令则 1 a 1 1 1 1 1 bcn 又设 则 0SEEBll 2 111 E ll lll 2 0 2 0 111 DEDC ll lll 设平面 CDE 的法向量 mx y z 则 得 mDE mDC 0 0m DEm DE 故 2 0 20 111 xyz y ll lll 令则 2 x 2 0 ml 由平面 DEC 平面 SBC 得 0 20 mn m nll 2 故 SE 2EB 由 知 2 2 2 3 3 3 E 取 DE 中点 E 则 1 1 1211 3 3 3333 FFA 故 由此得 0FA DE FADE 又 2 42 3 33 EC 故 0EC DE 由此得EC DE 向量FA与EC的夹角等于二面角 A DE C 的平面角 于是 1 cos 2 FA EC FA EC FAEC 所以 二面角 A DE C 的大小为 120 2010 年高考空间几何试题 5 19 本小题满分 12 分 如图 棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是鞭形 B1C A1B 证明 平面AB1C 平面A1BC1 设D是A1C1上的点 且A1B 平面B1CD 求A1D DC1的值 19 解 因为侧面BCC1B1是菱形 所以 11 BCCB 又已知BBCBABACB 1111 且 所又平面A CB1 1BC1 又 平面AB CB1 1C1 所以平面平面A CAB1 1BC1 6 分 设BC1交B1C于点E 连结DE 则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线 因为A1B 平面B1CD 所以A1B DE 又E是BC1的中点 所以D为A1C1的中点 即A1D DC1 1 12 分 19 本小题满分 13 如图 在多面体 四边形是正方形 ABCDEFABCD AB 2EF 2 EF AB EF FB BFC 90 BF FC H 为 BC 的中点 求证 FH 平面 EDB 求证 AC 平面 EDB 求四面体 B DEF 的体积 19 本小题满分 13 分 2010 年高考空间几何试题 6 本题考查空间线面平行 线面垂直 面面垂直的判断与证明 考查二面角的求法以及利 用向量知识解决几何问题的能力 同时考查空间想象能力 推理论证能力和运算能力 1 证 设 AC 与 BD 交于点 G 则 G 为 AC 的中点 连 EG GH 由于 H 为 BC 的中点 11 22 GHABEFABEFGH 故又 四边形 EFHG 为平行四边形 EG FH 而 EG 平面 EDB FH 平面 EDB II 证 由四边形 ABCD 为正方形 有 AB BC 又 EF AB EF BC 而 EF FB EF 平面 BFC EF FH AB FH 又 BF FC H 为 BC 的中点 FH BC FH 平面 ABCD FH AC 又 FH BC AC EG 又 AC BD EG BD G AG 平面 EDB III 解 EF FB BFC 90 BF 平面 CDEF BF 为四面体 B DEF 的高 又 BC AB 2 BF FC 2 1 11 122 3 23 B DEF V 20 本题满分 14 分 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 2BC ABC 120 E 为线 段 AB 的中线 将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A DE 使平面 A DE 平面 BCD F 为线 段 A C 的中点 求证 BF 平面 A DE 设 M 为线段 DE 的中点 求直线 FM 与平面 A DE 所成角的余弦值 20 本题主要考查空间线线 线面 面面位置关系 线面角等基础知识 同时考查空间想 象能力和推理论证能力 满分 14 分 证明 取 AD 的中点 G 连结 GF CE 由条件易知 2010 年高考空间几何试题 7 FG CD FG 1 2 C D BE CD BE 1 2 C D 所以 FG BE FG BE 故四边形 BEGF 为平行四边形 所以 BF 平面 A DE 解 在平行四边形 ABCD 中 设 BC a 则 AB CD 2A AD AE EB a 连 CE 因为 ABC 120 在 BCE 中 可得 CE 3a 在 ADE 中 可得 DE a 在 CDE中 因为CD2 CE2 DE2 所以CE DE 在正三角形 ADE 中 M 为 DE 中点 所以 A M DE 由平面 ADE 平面 BCD 可知 AM 平面 BCD A M CE 取 A E 的中点 N 连线 NM NF 所以 NF DE NF A M 因为 DE 交 A M 于 M 所以 NF 平面 A DE 则 FMN 为直线 FM 与平面 A DE 新成角 在 Rt FMN 中 NF 3 2 a MN 1 2 a FM a 则 cos FMN 1 2 所以直线 FM 与平面 A DE 所成角的余弦值为 1 2 17 本小题共 13 分 如图 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互 相垂直 EF AC AB 2 CE EF 1 求证 AF 平面 BDE 2010 年高考空间几何试题 8 求证 CF 平面 BDF 共 13 分 证明 设 AC 于 BD 交于点 G 因为 EF AG 且 EF 1 AG 1 2 AG 1 所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以 AF EG 因为 EG平面 BDE AF 平面 BDE 所以 AF 平面 BDE 连接 FG 因为 EF CG EF CG 1 且 CE 1 所以平行四边形 CEFG 为菱形 所以 CF EG 因为四边形 ABCD 为正方形 所以 BD AC 又因为平面 ACEF 平面 ABCD 且平面 ACEF 平面 ABCD AC 所以 BD 平面 ACEF 所以 CF BD 又 BD EG G 所以 CF 平面 BDE 20 本小题满分 12 分 在 如 图所 示 的几 何 体中 四边 形是 正 方 形 ABCD BCDAMA平面 PD MA 分别为EGF MBPB 的中点 且 PC 2MAPDAD 求证 平面 PDCEFG平面 求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCDPMABP 20 本小题主要考查空间中的线面关系 考查线面垂直 面面垂直的判定及几何体体积的 计算 考查试图能力和逻辑思维能力 满分 12 分 I 证明 由已知 ABCD PDMA MA 平面 所以 PDABCD 平面 又 BCABCD 平面 2010 年高考空间几何试题 9 所以 PDDC 因为 四边形AB为正方形 CD 所以 BCDC 又 PDDC D 因此 BCPDC 平面 在中 因为分别为的中点 PBC GF PBPC 所以 GFPC 因此 GFPDC 平面 又 GFEFG 平面 所以 EFGPDC 平面平面 解 因为 四边形为正方形 不妨设 PDABCD 平面ABCDMA 1 则 PD AD 2 所以 P ABCDABCD 1 V S 3 正方形 8 PD 3 由于DA的距离 且 MAB 面PDMA 所以DA即为点到平面MA的距离 PB 三棱锥 3 2 221 2 1 3 1 V MAB P 所以 4 1V V ABCD PMAB P 18 本小题满分 14 分 如图 4 AEC 是半径为 a 的半圆 AC 为直径 点 E 为 AC 的中点 点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点 平面 AEC 外一点 F 满足 FC 平面 BED FB 5a 1 证明 EB FD 2 求点 B 到平面 FED 的距离 18 本小题满分 14 分 1 证明 点 E 为弧 AC 的中点 2 ABE 即BEAC 2010 年高考空间几何试题 10 FCBED 又平面 BEBED 平面 FCBE 又 FC AC 平面 FBD FC AC C BE 平面 FBD FD 平面 FBD EB FD 2 解 2222 52FCBFBCaaa 2 11 2 22 RtEBD SBE BDaaa 在 22 6Rt FBEFEBEBFa 中 由于 5FDEDa 所以 22 116 65 222 FDEFE a 2 21 2 E Haaa SF 由等体积法可知 22 11 33 214 21 2 22 4 21 21 RtEBDFDE SFCSh aaahh 1 a BFEDa 即 即点 到平面的距离为 18 本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥的底面为等腰梯形 CD PABCD ABACBD 垂足为 是四棱锥的高 H PH 证明 平面 平面 PAC PBD 若6AB 60 求四棱锥PAPBADB ABCD 的体积 18 解 I 因为 PH 是四棱锥 P ABCD 的高 所以 AC PH 又 AC BD PH BD 都在平面 PBD 内 且 PH BD H 2010 年高考空间几何试题 11 所以 AC 平面 PBD 故平面 PAC 平面 PBD II 因为 ABCD 是等腰梯形 AB CD AC BD 6 AB 所以 HA HB 3 因为 60ADBAPB 所以 PA PB 6 HD HC 1 可得 3 PH 等腰梯形 ABCD 的面积为 32 2 1 BDACS 所以四棱锥的体积为 3 323 3 32 3 1 V 18 本小题满分 12 分 如图 在四面体ABOC中 OC OA OC OB AOB 1200 且OA OB OC 1 设 P 为 AC 的中点 Q 在 AB 上且 AB 3AQ 证明 PQ OA 球二面角 O AC B 的平面角的余弦值 18 本小题主要考查空间直线与直线 直线与平面的位置关系和二面角等基础知识 同时考 查空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 满分 12 分 1 取 O 为坐标点 以 OA OC 所在的直线为x轴 z 轴 建立空间直角坐标 系 如图所示 xyzO 则 A 1 0 0 C 0 0 1 B 0 2 3 2 1 0 2 3 2 3 2 1 0 2 1 ABPACP 中点为 又由已知 可得 0 6 3 2 1 3 1 ABAQ 2010 年高考空间几何试题 12 0 0 0 1 2 1 6 3 0 2 1 6 3 0 0 6 3 2 1 OAPQOAPQ OPOQPQAQOAOQ 故 又 记平面 ABC 的法向量 21 ABnCAnnnnn n 则由 1 0 1 CA且 得 0 2 3 2 3 0 22 31 nn nn 故可取 1 3 1 n 又平面 OAC 的法向量为 0 1 0 e 5 3 15 0 1 0 1 3 1 cos en 的平面角是锐角 记为 则BACO 平面角 5 15 cos 18 本小题满分 12 分 如图所示 在长方体中 AB AD 1 AA 1111 ABCDABC D 1 2 M是棱CC1的中点 求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值 证明 平面ABM 平面A1B1M 18 解 I 如图 因为C1D1 B1A1 所以 11B MA 为异面直线A1M与C1D1所成的角 因为平面BCC 11B A 1B1 所以 90 11 MBA 而 2 1 2 1 2 11111 MCCBMBBA故 2tan 11 1 11 BA MB BMA 即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值是 2 II 由平面BCC 11B A 1B1 BM平面BCC1B1 2010 年高考空间几何试题 13 得 11 BMBA 由 I 知 2 1 MB又 2 2 1 22 BBCMBCBM所以 2 1 22 1 BBBMMB 从而 1M BBM 又再由 得 1111 BMBBA BM平面A1B1M 而BM 平面ABM 因此 平面ABM 平面A1B1M 19 本小题满分 12 分 如图 在五面体中 四边形ABCDEFADEF是正方形 平面 FAABCD BC CD 1 AD2 2AD BAD CDA 45 求异面直线与CEAF所成角的余弦值 证明CD 平面 ABF 求二面角BEFA 的正切值 19 本小题主要考查异面直线所成的角 直线与平面垂直 二面角等基础知识 考查空间 想象能力 运算能力和推理论证能力 满分 12 分 I 解 因为四边形 ADEF 是正方形 所以 FA ED 故CED 为异面直线 CE 与 AF 所 成的角 因为 FA平面 ABCD 所以 FA CD 故 ED CD 在 Rt CDE 中 CD 1 ED 2 2 CE 2 CDED 2 3 故 cosCED ED CE 2 2 3 所以异面直线 CE 和 AF 所成角的余弦值为 2 2 3 证明 过点 B 作 BG CD 交 AD 于点 G 则 由 可得 BGAB 从而 CDAB 又 CD 45BGACDA 45BAD FA FA AB A 所以 CD 平面 ABF 解 由 及已知 可得AG 2 即G为AD的中点 取EF的中点N 连接GN 则GN EF 为BC AD 所以BC EF 过点N作NM因 EF 交BC于M 则GNM 角B EF A的平面角 为二面 连接 GM 可得 AD平面 GNM 故 AD GM 从而 BC GM 由已知 可得 GM 2 2 由 NG FA FA GM 得 NGGM 2010 年高考空间几何试题 14 在 Rt NGM 中 tan GM1 NG4 GNM 所以二面角 B EF A 的正切值为 1 4 20 本小题满分 12 分 如图 BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形 平面 MCD 平面BCD 平面AB BCD 2 3AB 1 求直线与平面AMBCD所成角的大小 2 求平面与平面ACMBCD所成二面角的正弦值 解 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 又平面 OBCD OMCD MCD 平面 BCD 则MO 平面 BCD 取 O 为原点 直线 OC BO OM 为x轴 y轴 轴 z 建立空间直角坐标系如图 3OBOM 则各点坐标分别为 1 0 0 0 0 3 0 3 0 0 3 2 3 CMBA 1 设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为 因 0 3 3 AM 平面