2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛.pdf

3 2 中 等 数 学 2 0 1 5年全国高中数学联赛江苏赛区复赛 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 6 0 3 0 0 3 2 0 5 第 一 试 一 填空题 每小题 8分 共 6 4分 1 随机抛掷三个大小 质地相同的正方 体色子 在三个色子所示数字 中最小值是 3 的概率为一 2 关于 的方程 2 2 n n 2 4 口 0 有模为 3的虚数根 则实数 a的值为 3 已知正项数列 a 的首项为 1 且对 于一切正整数 凡 均有 a n a 一 a 1 n 1 1 则 a 一 4 设以 F 一1 0 F 2 1 0 为焦点的椭 圆的离心率为 e 以 F 为顶点 为焦点的抛 物线与椭圆的一个交点为 P 若 e 则 e 的值为 5 设实数 a b满足 0 a b 8 且 b 1 6 a 则 b a的最大值与最小值之和为 6 函数 厂 2 c o s s i n 2 x R 的 值域为 7 正四棱锥 P A B C D外接于一个半径 为 1 的球面 若球心到 四棱锥各个面的距离 相等 则此四棱锥的底面面积为一 8 设 A BC的外心为 D 内心为 B 4 5 若 O I B C 则 C O S C的值为一 二 1 6分 设等 比数列 a a a 和 b l b 2 b 记 C a 一b r t 1 2 k 1 写出一组 a 1 n 2 a 3 和 b 1 b 2 b 3 使得 C c C 3 是公差不为 0的等差数列 2 当 k i 4时 证明 C 不可能是公差 不为 0的等差数列 三 2 O分 在平面直角坐标系 x O y中 2 2 已知椭圆 c 1的右焦点为 F 过点 F的直线 Z 与椭圆 C交于 A B两点 试问 在 轴上是否存在定点 P 使得当直线 绕点 F 旋转时 均有P A P B 为定值 四 2 O分 设多项式 a N 6 c a b C R 若对于任意的非负实数 Y 有 厂 Y Y 求 a b C 所满足的条件 加试 一 4 O分 如图 1 E F分别为 A B C A C D 的 内心 A C平 分 B A D A C A B A D 延长 E C 与 C D F的外接 圆交 于 点 延长 F C 与 B C E的外接圆交于点 尺 若 R K E F 证明 为 B C D的外心 图 1 二 4 0分 求所有的正整数 12 使得对 2 0 1 6年第 3期 3 3 于任意正实数 a b C 满足 a b C 1 有 a b c 0 b c 三 5 O分 设 n为正整数 求满足以下 条件的三元正整数组 a b c 的个数 i a b n i i 1 c b i i i a b c 的最大公约数为 1 四 5 O分 设 a b C d e 为正实数 且 口 6 c e 2 2 若五个 正三角形 的面积分别 为 a b C d e 证明 这五个三角形 中存在 四个能 覆盖面积为 1的正 A B C 参 考 答 案 第 一 试 一 1 所有 3 嗍 痒 为 所 有 4 故三个色子所示数字中最小值恰是 3的 概率为 3 一 2 2一瓜 由 一 a 4 a 0 a一 2 i 又 l l a 一 4 a 9 a一2 i 因为 a 1 6 a 6 4 0 口 4 则 b a的最小值为 4 8 4 b a的最大值为 0 4 从而 b a的最 大值 与最小值之 和为 1 2 4 6 竽 注意到 f 2 c o s s i n 2 x 4 c o s 1 s i n 4 3 3 s i n 1 s i n j 3 3 sin 3 f 1 I sin 4 1 4 2 7 J 当 且 仅 当 3 3 sin 1 sin x 1 11 s in 丢 时 等号成立 从而 当s 1 c o s 取得 最大值 3 4 中 等 数 学 1 一 椭得最 小值 一 丁3 5 故 函 数 的 值 域 为 学 7 4 一4 设四棱锥的底 面边长为 a 则球心到底 面 的 距 离 为 由 0 1 2 一 口 a 2 4 一4 即四棱锥的底面面积为 4 4 Y一 4 8 1一 设 A B C的外接圆半径 内切 圆半径分 别为 R r 记 B C的中点为 D为由点 向 B C所 作垂线的垂足 因为 B C 所以 O M I D r 由A B O C 2 A B C B D D C 2 B M j 2r t a n A j an an c0s 1 s m 了 s m 二 2 s i n A C O S A c s A 4 s in s in 等 sin 导 C O S A一1 C O S B C O S C C O S B C O S C 1 c s c 1一 22 二 1 a l 4 a 2 8 a 3 1 6 b 1 b 3 b 9 此 时 C 1 3 C 2 5 C 3 7 2 设 a a p b b q 则 C a p 一 幻 假设 C 为公差非 0的等差数列 则 由2 c l C C 2 得 a p p一1 b q q 一1 当 k 14时 n可取 1 2 故 印 p一1 b q g 一1 a p P一1 b q g 一1 解得 P q 于是 当P q 1 时 则 a b 从而 C l c 2 C 0 当P g 1 时 则 C 1 C 2 C a b 又数列 C 是公差不为 0的等差数列 矛盾 因此 命题成立 三 由题意知点 F 3 0 设点 A Y B Y 2 当直线 f 与 轴不垂直时 设 Z 的方程为 Y k 一3 代人椭圆方程得 2 3 X 2 1 8 k 2 7 k 一5 4 0 1 8 k 2 7k 一5 4 z 厮 X l g z 假设在 轴上存在定点 P t 0 使得 P B为定值 则 P A 尸 1 一t Y 1 2 一t Y 2 X l 2 一t x 1 2 t Y l Y 2 X 1 2 t x 1 2 1 3 k x 2 3 1 I 2 1 2 一 3 后 l 2 9 k 1 k 2 2 川 7 k 2 5 4 3 k 2 t 5 4 1 8 9 k 2 2 3 一 一 当直线 Z 绕点 F旋转 即 k 变化时 要使 商为定值 耳 I 为定值 于是 j 4t 于是 下 2 0 1 6年第 3期 3 5 此时 P A P B 一1 1 当直线 Z 与 轴垂直时 A 3 2 3 3 一 2 3 故 一P B 3 4 2 3 4 一 2 一 1 1 综上 在 轴上存在定点 P 4 0 使得 朋 为定值 四 对任意的 x y O 由 乞 Y 3 x Y 3 x y 一c 一2 a x y 取 Y 0 代人上式得 c 0 不妨设 0 Y O 则 3 x Y 3 x y 2 一 C 3 丽 一 3 3 当 且 仅 当 X 0 Y o 一 手 时 等 号 成 立 故一 3 x 0 Y o 一 2 a x 0 妻 当口 3 3 o 时 对任意的 O 3 x Y 3 C c 一 2 a x y 即 Y Y 综上 a b c 满足的条件为 4 一 0 9 c c O 6 R 加试 一 联结 E R F K 由 B A C C A D A C A B A D 知 A B C A DC A B C A C D 由 E R C E B C A C F E R A C 类似地 F K A C 亍 E R F K 又 P a g E F 则四边形 E F K R为平行 四边 形 从而 职 F K 因为 E R A C 所以 船 C EC A EC B j C BC ER 类似地 C D F K 从而 B C C D 由 1 j A B A C A D 即A B A C B C L U 一 一一H l I H r 为 B C D外接圆的外心 二 1 当 3时 取 口 2 6 c 吉 则 a b c a 6 c 1 故 3不满足题意 2 当 n 1 时 c 半 3 1 故 n 1满足题意 3 当 n 2时 原不等式也成立 令 a b 6 c c 0 于是 0 6 c 1 2 由 n 6 6 c c 口 2 3 a b c b c 3a b c j a b c 口 6 c 1 2 x 0 c d le 0 若 口 1 则面积为 口 的三角形可覆盖 A B C 若 口 时 由于b I c 则b c 1 当c 时 b 2一n 2一c 2一d 一e 2 1 3 c 1 一c 于是 6 c 1 从而 c 1 n 6 1 用面积为 0 6 c 的三个三角形覆盖的 A B C 使得每个三角形均分别有一个顶点 与 A B C的一个顶点重合 且有两条边在 A B C的两条边上 于是 这三个三角形两 两相交 若这三个三角形能覆盖 A B C 则结论 成立 否则 口 6 1 6 c 一1 C n一1 0 令中间不能