高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.7 立体几何中的向量方法练习 理.DOC

第七章 立体几何 7.7 立体几何中的向量方法练习 理a组基础达标练1若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，有可能使l的是 ()aa(1,0,0)，n(2,0,0)ba(1,3,5)，n(1,0,1)ca(0,2,1)，n(1,0，1)da(1，1,3)，n(0,3,1)答案d解析若l，则an0，而选项a中an2，选项b中an156，选项c中an1，选项d中an330，故选d.22016海口模拟在空间中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，则异面直线ab与dc所成角的大小为()a45 b90c120 d135答案a解析(2,4,0)，(1,3,0)，cos，.，45.即ab与dc所成的角为45.32015西安模拟如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，m、n分别为a1b和ac上的点，a1mana，则mn与平面bb1c1c的位置关系是()a相交 b平行c垂直 d不能确定答案b解析分别以c1b1、c1d1、c1c所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示a1mana，m，n，.又c1(0,0,0)，d1(0，a,0)，(0，a,0)，0，.是平面bb1c1c的法向量，且mn平面bb1c1c，mn平面bb1c1c.42016辽宁五校联考长方体abcda1b1c1d1中，abbc1，bb1.设点a关于直线bd1的对称点为p，则p与c1两点之间的距离为()a1 b.c. d.答案a解析将长方体中含有abd1的平面取出，过点a作ambd1，延长am到ap，使mpam，则p是a关于bd1的对称点，如图所示，过p作pebc1，垂足为e，连接pb，pc1，依题意ab1，ad1，bd12，abd160，bam30，pbe30，pe，be，所以pc11，故选a.52015潍坊模拟正三棱柱abca1b1c1中，abaa1，则ac1与平面bb1c1c所成角的正弦值为()a. b.c. d.答案c解析建立如图所示的空间直角坐标系，设ab2，则c1(，1,0)，a(0,0,2)，(，1，2)，平面bb1c1c的一个法向量为n(1,0,0)，所以ac1与平面bb1c1c所成的角的正弦值为.6.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中点，n是a1b1的中点，则直线no、am的位置关系是()a平行 b相交c异面垂直 d异面不垂直答案c解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则a(2,0,0)，m(0,0,1)，o(1,1,0)，n(2,1,2)，(1，0，2)，(2,0,1)，0，则直线no、am的位置关系是异面垂直7等边三角形abc与正方形abde有一公共边ab，二面角cabd的余弦值为，m、n分别是ac、bc的中点，则em、an所成角的余弦值等于_答案解析过c点作co平面abde，垂足为o，取ab中点f，连接cf、of，则cfo为二面角cabd的平面角，设ab1，则cf，ofcfcoscfo，oc，则o为正方形abde的中心，如图所示建立直角坐标系oxyz，则e，m，a，n，cos，.8如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e是a1b1上的点，则点e到平面abc1d1的距离是_答案解析解法一：以点d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设点e(1，a,1)(0a1)，连接d1e，则(1，a,0)连接a1d，易知a1d平面abc1d1，则(1,0,1)为平面abc1d1的一个法向量点e到平面abc1d1的距离是d.解法二：点e到平面abc1d1的距离，即b1到bc1的距离，易得点b1到bc1的距离为.92014辽宁高考如图，abc和bcd所在平面互相垂直，且abbcbd2，abcdbc120 ，e、f分别为ac、dc的中点(1)求证：efbc；(2)求二面角ebfc的正弦值解(1)证法一：过e作eobc，垂足为o，连of.由abcdbc可证出eocfoc.所以eocfoc，即fobc.又eobc，因此bc平面efo，又ef平面efo，所以efbc.证法二：由题意，以b为坐标原点，在平面dbc内过b作垂直bc的直线为x轴，bc所在直线为y轴，在平面abc内过b作垂直bc的直线为z轴，建立如图2所示空间直角坐标系易得b(0,0,0)，a(0，1，)，d(，1,0)，c(0,2,0)因而e，f，所以，(0,2,0)，因此0，从而，所以efbc.(2)解法一：在图1中，过o作ogbf，垂足为g，连eg.由平面abc平面bdc，从而eo平面bdc，又ogbf，由三垂线定理知egbf.因此ego为二面角ebfc的平面角在eoc中，eoecbccos30，由bgobfc知，ogfc，因此tanego2，从而sinego，即二面角ebfc的正弦值为.解法二：在图2中，平面bfc的一个法向量为n1(0,0,1)设平面bef的法向量为n2(x，y，z)，又，.由得其中一个n2(1，1)设二面角ebfc的大小为，且由题意知为锐角，则cos|cosn1，n2|，因此sin，即所求二面角的正弦值为.102015石家庄二模如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，acbc，h为pc的中点，m为ah的中点，paac2，bc1.(1)求证：ah平面pbc；(2)求pm与平面ahb所成角的正弦值；(3)设点n在线段pb上，且，mn平面abc，求实数的值解(1)证明：因为pa底面abc，bc底面abc，所以pabc，又因为acbc，paaca，所以bc平面pac，又因为ah平面pac，所以bcah.因为paac，h是pc中点，所以ahpc，又因为pcbcc，所以ah平面pbc.(2)在平面abc中，过点a作adbc，因为bc平面pac，所以ad平面pac，又pa底面abc，得pa，ac，ad两两垂直，所以以a为原点，ad，ac，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则a(0,0,0)，p(0,0,2)，b(1,2,0)，c(0,2,0)，h(0,1,1)，m.设平面ahb的法向量为n(x，y，z)，(0,1,1)，(1,2,0)，由得令z1，得n(2，1,1)设pm与平面ahb所成角为，因为，所以sin|cos，n|即sin.(3)因为(1,2，2)，所以(，2，2)，又因为，所以.因为mn平面abc，平面abc的一个法向量(0,0,2)，所以340，解得.b组能力提升练12016太原调研已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则cd与平面bdc1所成角的正弦值等于()a. b.c. d.答案a解析如图，连接ac交bd于点o，连接co，过c作chc1o于点h，连接dh.bdac，bdaa1，acaa1a，bd平面acc1a1.又ch平面acc1a1，chbd.又chc1o，且bdc1oo，ch平面c1bd.hdc为cd与平面bdc1所成的角设aa12ab2，则oc，c1o.由等面积法，得c1ochoccc1，即ch2，则ch，故sinhdc，即cd与平面bdc1所成角的正弦值为.22014江西高考如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab11，ad7，aa112.一质点从顶点a射向点e(4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i1次到第i次反射点之间的线段记为li(i2,3,4)，l1ae，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()答案c解析由对称性知质点经点e反射到平面abcd的点e1(8,6,0)处在坐标平面xay中，直线ae1的方程为yx，与直线dc的方程y7联立得f.由两点间的距离公式得e1f.tane2e1ftaneae1，e2fe1ftane2e1f4.e2f11248.故选c.32015湖南高考如右图，已知四棱台abcda1b1c1d1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，a1a6，且a1a底面abcd.点p，q分别在棱dd1，bc上(1)若p是dd1的中点，证明：ab1pq；(2)若pq平面abb1a1，二面角pqda的余弦值为，求四面体adpq的体积解由题设知，aa1，ab，ad两两垂直以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为a(0,0,0)，b1(3,0,6)，d(0,6,0)，d1(0,3,6)，q(6，m,0)，其中mbq,0m6.(1)证明：若p是dd1的中点，则p(0，3)，(6，m，3)又(3,0,6)，于是18180，所以，即ab1pq.(2)由题设知，(6，m6,0)，(0，3,6)是平面pqd内的两个不共线向量设n1(x，y，z)是平面pqd的一个法向量，则即取y6，得n1(6m,6,3)又平面aqd的一个法向量是n2(0,0,1)，所以cosn1，n2.而二面角pqda的余弦值为，因此，解得m4，或m8(舍去)，此时q(6,4,0)设(01)，而(0，3，6)，由此得点p(0,63，6)，所以(6,32，6)因为pq平面abb1a1，且平面abb1a1的一个法向量是n3(0,1,0)，所以n30，即320，亦即，从而p(0,4,4)于是，将四面体adpq视为以adq为底面的三棱锥padq，则其高h4.故四面体adpq的体积vsadqh66424.42015课标全国卷如图，长方体abcda1b1c1d1中，ab16，bc10，aa18，点e，f分别在a1b1，d1c1上，a1ed1f4.过点e，f的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线af与平面所成角的正弦值解(1)交线围成的正方形ehgf如图：(2)作emab，垂足为m，则ama1e4，emaa18.因为ehgf为正方形，所以ehefbc10.于是mh6，所以ah10.以d为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则a(10,0,0)，h(10,10,0)，e(10,4,8)，f(0,4,8)，(10,0,0)，(0，6，8)设n(x，y，z)是平面ehgf的法向量，则即所以可取n(0,4,3)又(10,4,8)，故|cosn，|.所以af与平面ehgf所成角的正弦值为.52015江苏高考如图，在四棱锥pabcd中，已知pa平面abcd，且四边形abcd为直角梯形，abcbad，paad2，abbc1.(1)求平面pab与平面pcd所成二面角的余弦值；(2)点q是线段bp上的动点，当直线cq与dp所成的角最小时，求线段bq的长解以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则各点的坐标为b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)(1)因为ad平面pab，所以是平面pab的一个法向量，(0,2,0)因为(1,1，2)，(0,2，2