色散群速与群折射率.doc

光子学报Vo1128 No112December 1999第 28 卷第 12 期1999 年 12 月AC TA P HO TON ICA S IN ICA色散 、群速与群折射率晖1 ,2谢树森1陆祖康2李(1 福建师范大学激光研究所 ,福州 350007)(2 浙江大学现代光学仪器国家重点实验室 ,杭州 310027)摘 要 本文讨论了群折射率存在的物理意义 ,指出群折射率不仅包含了折射率概念而且还体现了折射率的色散性质 ,同样能作为材料本身的光学性质参量 1 接着指出在折射率的白光 干涉法测量中存在着忽视色散作用而导致的将群折射率误认为折射率的情况 1 将群折射率 与折射率区别开来 ,不仅可以消除折射率测量中所存在的错误 ,而且可以突出色散现象在光传播时间特性上的意义 1 为此建立了折射率与群折射率的相互变换关系 ,通过对于典型物质 的折射率与群折射率变换关系的计算 ,说明二者在数值上的差别甚至对于气体介质来说也是 不能忽略的 1关键词 色散 ;群速 ;折射率 ;群折射率0引言从历史来看 ,折射率的意义经历了从经验的v g = ( c/ n ) ( 1 + (/ n) d n/ d)( 1)原始定义到与电磁理论中物质参量相联系 ,从单一描述光在介质中的相速度拓展为将介质的各向 异性 、吸收 、色散等性质包括在内的一个逐步深化的过程 1 其中色散是一个众所周知的与群速和折 射率密切相关的概念 ,但是色散在折射率的干涉法测量中以及短脉冲光在介质中的传播特性上没 有引起足够的注意 1 为了强调色散的影响并消除 那些折射率数据测量和使用中的误会 ,本文通过 分析讨论一个有别于通常折射率的群折射率的概 念 ,指出迈克尔逊干涉仪上用白光干涉测量法所 得到的直接数据是群折射率 ,还建立并讨论了群 折射率和折射率之间的相互变换关系 ,从几个典型材料的实例中可以清楚地了解把二者搞混所产 生的后果 1式中 n 为介质的折射率 , 它是波长 的函数 1 可以认为 , 群速代表能量传播速度或信号速度 1仿照折射率为光在二种介质中的速度之比的 定义 , 可以引入群折射率 n g 的概念2 ,即(2)n g = c/ v g由式 (1) 有n g n - d n/ d对于正常色散 , 一般有 n g n 1( 3)我们知道 , 当波为严格单频时 , 群速不存在 1单色光以相速在介质中传播 , 而非单色光的信号 或能量必以群速传播 1 考虑到实际的光源总是非单色光 , 在某个波长处 , 除了折射率 , 还需加上这个波长处的色散率作为介质本身的属性才能完全 描写介质在这个波长处的光学性质 , 二者缺一不 可 1 作者认为 , 群速和相速既与波 ( 光源) 有关又和介质有关 , 而折射率和色散是介质本身的性质 , 与光源无关 1 从式 ( 3) 我们注意到 , 群折射率物理 意义不仅包含了折射率含义而且还体现了折射率1群速与群折射率色散的存在产生了群速的概念 , 记作 v g1 经过简单的数据推导1 ,可以得到群速度表达式 国家自然科学基金资助项目 ( 69778029) 和浙江大学现代光学仪器国家重点实验室开放课题 L MO I29808E2mail : hli fjt u1edu1cn收稿日期 :1999 08 02色散性质 , 因此同样能作为材料本身的 ( 与光源的单色性无关) 参量 , 以表征材料的光学性质 1 亦即 一定光谱范围内的折射率与群折射率通过式 ( 3 ) 建立变换关系 , 除了真空之外 , 其他色散介质中群 折射率与折射率在任何波长处不可能相等 , 它们完全是二回事 1有了群折射率概念后 , 对于非严格意义的单 色光 , 比如光脉冲 , 从能量传播来看 , 光程的意义 就应修正为光 ( 波包) 行进的路程与群折射率的乘 积 1 而原来光程的概念只能局限在绝对严格的单 色光上 , 或与相位改变相联系 1 为了以示区别 , 我 们不妨将与能量或信号传输相关的光程称为群光 程 1 因此 , 群折射率取代折射率在研究光在介质 中的传播问题 , 特别是超短脉冲在介质中的时间 响应特性 ( 时间分辨光谱) 上有重要意义 1 之所以 这样说 , 是因为在计算介质中的脉冲光速 ( 波包或 光子行进速度) 时 , 人们往往想当然地把真空中的 光速除以介质的折射率 , 而现在我们知道了正确 的做法是把真空中的光速除以介质的群折射率 !从光速测量来看 , 除了根据惠更斯原理 ( 折射 率法) 测出媒质中的光速是相速外 , 大多数其它已知方法 测 出 的 都 是 光 的 信 号 速 度 ( 群 速) 1 同 样地 , 在测量折射率方面 , 已知用菲涅耳公式或其简 单形式 ( 折射定律) 测出的是折射率 ( 或者说是相 折射率) , 而用其它方法测出的数据是否为折射率要看具体情况 1 比如 , 常举的例子 CS2 用折光法 和光速法的折射率分别为 1164 和 11758 ( 其实后 者正是群折射率 !) ,使人迷惑了很长时间 ,其原因 就是色散从中作崇 ,直到群速概念提出后才得以 解决 1 还有 ,在迈克尔逊干涉仪上利用白光干涉 的“零光程”法测量折射率中 “, 零光程”对应干涉 条纹反衬度的最大值 1 这实际上是信号的检测 , 也就是群光程差的检测 ,因而是群速的检测 ,所以测量的结果也必然是群折射率 ,所得到的“色散曲线”实际上是群折射率的“色散”曲线 1 不幸的是 , 这个群折射率常被误为折射率 ,比如几乎所有国 内出版的实验教科书35 包括近年的一些文章69均无例外 1 另一方面 ,在用干涉法中如果检测的 是条纹变化数 ( 对应于光程差) ,那么得到的则是 折射率 ,正如干涉测量法的气体折射率数据 1近来由于激光飞秒技术的成熟 ,以及弱相干 成象技术的发展 ,群折射率的概念越来越显得有意义 1 也就是说 ,群折射率与折射率的区别还应主要体现在应用上 ,即如何使用折射率数据方面上 ,这在有关时间分辨光谱以及光在物质中传播 的时间特性研究中尤为重要 1群折射率与折射率的变换从前面的 讨 论 可 知 , 四 个 参 量 n 、n g 、d n/ d 和 d n g/ d中 ,只有二个是独立的 1 换言之 ,只要 知道其中任意二个参量 , 就可以推出其 他 参 量 1 但是为了说明方便 ,这里只考虑 n () 和 n g () 之 间的变换 12211由 n () 求 ng ()如果已知折射率及其色散关系 n = n () , 那么通过式 ( 3) , 即可直接得到对应的群折射率和群折射率的“色散性质”n g = n g () 1212由 ng( ) 求 n ()如果测得群折射率的“色散”曲线 , 即 n g = n g() 已知 , 原则上讲可以通过求解式 ( 3) 得到折射 率及其色散关系 1 式 ( 3) 实际上是一阶非齐次线性微分方程 , 其通解可以写为- 2 n g () dn = D -( 4)其中 D 为实常数 1式 ( 3) 和 ( 4) 是群折射率与折射率的变换与反 变换关系 , 二者通过色散关系一一对应 1 考虑到实际的光 谱 范 围 都 是 一 个 有 限 区 间 , 取 为 1 2 ,则式 ( 4) 改写为2- 2 n gn = D -() d( 5)1参数 D 可由以下 3 种方法确定 :1) 当某个波长 0 处的折射率 n (0 ) 已知时 , 由式( 5) 可得0- 2 n g- 1D = 0 n (0 ) + () d( 6)1当 0 = 1 的特殊情况下 , D = n (0 ) / 0 12) 若任何波长处的折射率都无法事先知道 , 仅有 群折射率的“色散”曲线 , 即 n g = n g () 时 , 情况就 更复杂多了 1 一种是硬算的办法 , 即反复利用式(3) 和 ( 5) 进行迭代求数值解 1 另一种则是分别假设群折射率与折射率的色散关系符合相似的经验 公式 , 如 A1L 1Cauchy 所给出的公式 ,除了求出参 量 D 外 , 亦可清晰地给出各参量之间的关系 , 具 体如下 :若折射率满足n = A + B / 2 + C/ 4( 7)式中 A 、B 、C 是与物质有关的常量 ; 另假设群折液体10射率亦满足n g = A g + B g/ 2 + Cg/ 4将式 ( 7) 和 ( 8) 代入式 ( 5) , 有如下简单关系A = A g ; B = B g/ 3 ; C = Cg/ 5例 2( 8)Gro up ref ractive index of C H : n6 6 g3Ref ractive index of C6 H6 : n 3Gro up ref ractive index of C2 H5 O H : n g3D = A g/ 1 + B g/ 33 + C / 55Ref ractive index of C2 H5 O H : n3Gro up ref ractive index of H2 O : n g1 g 1由此可见 , 在同样的波长处 , 群折射率总比折射率大 1 这与前述是一致的 1总之 , 有了折射率色散关系就可以得到群折 射率的色散关系 , 反之亦然 13Ref ractive index ofH2 O : n 3典型物质的群折射率与折射率及其比较以下给 出 几 个 实 例 , 除 了 对 式 ( 3 ) 和 式 ( 4 ) 、 ( 5) 的变换关系有直观的了解 , 还可以知道把折射 率与群折射率搞混在数量级上有多大差别 1 色散 数学 模 型 采 用 A1L 1Cauchy 正 常 色 散 的 经 验 公 式 ,即式 (7) ,其中 A 、B 、C 的数值由三个波长的 实验数据7 , 8 确定 1 为了控制精度 , 光谱范围选在 可见光中 430 650nm 波 段 ; 折 射 率 数 据 在 计 算 过程中取 11 位数字 (小数点后有 10 位) 以减少计 算中所引入的截断误差 1例 1固体93Gro up ref ractive index of dense crow n : n g图 2 液体样品群折射率与折射率色散曲线Fig12 The dispersive curves of group ref ractive index versus ref ractive index of so me liquid samples从图 1 和图 2 中可见 ,这些材料在可见光范围的群折射率都比折射率大 ,而且很显著 ,特别在 短波处更甚 1例 3空气折射率10 (101325 Pa ,20 )容易求得折射率与相应的群折射率的色散关 系 分 别 为 n () = 110002679952 + 11460/ 2 +11947 104 / 4 和 n g () = 110002679952 + 4138/2 + 9174 104 / 4 1在 6431847 , 5081582 和 4351832 nm 波 长 处 折 射 率数据与相应的群折射率数据的差别出现在小数点后第 6 位 ,分别为 ( n g - n) 106 = 21606 , 41132和 516821以上例 子 说 明 在 群 折 射 率 与 折 射 率 的 数 值 上 ,CS2 并不是唯一的差别大的材料 ,甚至空气的 差别也是不可忽略的 13Ref ractive index of dense crow n : n3Gro up ref ractive index of light crow n : n g2Ref ractive index of light crow n : n 2Gro up ref ractive index of quartz glass : n g1Ref ractive index of quartz glass : n1图 1 固体样品群折射率与折射率色散Fig11 The dispersive curves of group ref ractive index versus ref ractive index of so me solid samples4小结本文之所以要区别群折射率与折射率 , 是因为不少实验 ( 包括干涉法) ,测出的“折射率”实际尽早更正 1 此外 ,群折射率在光在物质中传播中上是群折射率 ,但却被当作折射率来看待 1 甚至普通物理实验教科书乃至有关手册上都有这样的 误会 1 通过对于典型物质的折射率与群折射率变 换关系的计算 ,说明二者在数值上的差别是不忽略的 1 这种的普遍张冠李戴 ,不仅仅是概念上的 混淆 ,而且还影响到折射率应用的各个方面 ,应该也有其特别意义 ,它可以突出色散现象在光传播时间特性上的意义 ,在时间分辨光谱术中起重要 作用 1 因此 ,今后在测量和使用折射率数据时 ,需 要特别注意分清折射率与群折射率 ,以免发生错误 1参考文献123456程路 1 光学原理及发展 1 北京 :科学出版社 ,1990 :533534赫克特 E ,赞斯 A 著 ,秦克诚等译 1 光学 (上册) 1 北京 :人民教育出版社 ,1979 :391392陈怀琳 ,邵义全 1 普通物理光学指导 (光学) 1 北京大学出版社 ,1990 :135139丁慎训 ,张孔时 1 物理实验教程 (普通物理实验部分) 1 北京 :清华大学出版社 ,1992 :225225曾贻伟 ,龚德纯 ,王书颖 ,汪顺义 1 普通物理实验教程 1 北京师范大学出版社 ,1989 :334335袁剑辉 ,周烈生 ,赵福利 ,董雅 1 迈克尔逊干涉仪测量液体的折射率及仪器调节方法 1 光学技术 ,总 129 期 ,1998 , ( 1) :4245杨德兴 ,赵建林 ,李恩普 1 利用 Mach2Zehnder 干涉仪测量晶体的折射率与光学均匀性 1 光学技术 ,总 129 期 , 1998 , (1) :6465 ,92李瀛 ,夏瑞东 1 固体 、液体及气体材料折射率的实验测定和误差分析 1 光学仪器 ,1996 ,18 (3) :812柯什金 H ,谢尔盖维奇 M 1 常用物理学手册 1 北京 :科学普及出版社 ,1989 :24378910 饭田修一 ,大野和郎等 ,张质贤等译 1 物理学常用数表 1 北京 :科学出版社 ,1979 :115116D ISPERSIO N , GRO UP VELOCITY ANDGRO UP REFRACTIVE IND EXLi Hui1 ,2 , Xie Shusen1 ,L u Zukang21 I nst i t ute of L aser , Fuji an N or m al U ni versi ty , Fuz hou 350007 , Chi n a2 N at ion al Key L ab of M oder n O pt ical I nst r u ment at ion , Zheji ang U ni versi t y , Hangz hou 310027 , Chi n aReceived date :1999 - 08 - 02Abstract In t his paper ,it is pointed o ut t hat t he significance of dispersio n in of ten neglected in t he measure2ment of ref ractive index by interference1 Emp hasis is placed o n an additio nal co ncep t of gro up ref ractive index w hich is defined as t he ratio of t he velocity of light in vacuum to gro up velocit y in medium1 Intensive analy2 ses show t hat t he p hysical meanings of gro up ref ractive index include bot h ref ractive index and it s dispersive p ropert y1 Therefo re ,it is easy to lear n w hy many result s of gro up ref ractive indices by interferential met ho d are mistaken to be real ref ractive indices1 To differentiate ref ractive index f ro m gro up o ne is not o nly to co r2 rect erro rs in ref ractive index measurement but also to highlight t he tempo ral characteristic of dispersio n p he2 no meno n in t he light t ranspo rt in medium1 To t his end ,a t ransfo r ming relatio n bet ween t he gro up ref ractive index and t he ref ractive index is p resented and discussed in detail1So me examples of t ypical solid ,liquid and gas are also given1Key words Dispersio n ; Gro up velocit y ; Ref ractive index ; Gro up ref ractive indexL i Huiwas bo r n in November 1963 , is an associate p rofesso r in Depart ment ofPhysics at Fujian No r mal U niversit y , Fuzho u , Fujian Province ,China1 He o btained hisB S and M S ,in p hysics f ro m Peking U niversit y and in op tics f ro m Fujian No r mal U2 niversit y ,respectively1 He is p ursuing his PhD in op tical engineering at Zhejiang U ni2 versit y1 His interest research areas include applied op tics ,laser2tissue interactio ns ,tis2sue op tics and co mp uter simulatio ns etc1 He has p ublished mo re t han 20 papers1A FIBER SENSO R USED IN MEAS URINGTHE THICKNESS OF OIL L AY ERWang J unqiang , He Xiaoqing ,Wang Wei , Zhang KunX i an I nst i t ute of O pt ics an d Precision M echanics , A cadem i a S i nica 710068Received date :1999 - 07 - 20Abstract No n2co ntacting fiber senso r occupies an impo rtant po sitio n fo r it s goo d antijamming ,high sensibil2it y and perfect insulatio n1