高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第11节 导数在研究函数中的应用 第三课时 利用导数证明不等式专题应用能力提升 文 北师大版.doc

第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】 知识点、方法题号将不等式转化为函数最值2,5构造函数将不等式转化为最值1,3,41.证明:当x0,1时,22xsin xx.证明:设f(x)=sin x-22x,则f(x)=cos x-22.当x(0,4)时,f(x)0,f(x)在0,4上是增函数;当x(4,1)时,f(x)0,所以当x0,1时,f(x)0,即sin x22x.记h(x)=sin x-x,则当x(0,1)时,h(x)=cos x-11时,12x2+ln x23x3.(1)解:f(x)=x-ax,因为x=2是一个极值点,所以2-a2=0,则a=4.此时f(x)=x-4x=(x+2)(x-2)x,因为f(x)的定义域是(0,+),所以当x(0,2)时,f(x)0,所以当a=4时,x=2是极小值点,所以a=4.(2)解:因为f(x)=x-ax=x2-ax(x(0,+),所以当a0时,f(x)的单调递增区间为(0,+).当a0时,f(x)=x2-ax=(x+a)(x-a)x,所以函数f(x)的单调递增区间是(a,+),单调递减区间为(0,a).(3)证明:设g(x)=23x3-12x2-ln x,则g(x)=2x2-x-1x,因为当x1时,g(x)=(x-1)(2x2+x+1)x0,所以g(x)在x(1,+)上是增函数,所以g(x)g(1)=160,所以当x1时,12x2+ln x0,且x1时,f(x)lnxx-1.(1)解:f(x)=a(x+1x-lnx)(x+1)2-bx2.由于切线x+2y-3=0的斜率为-12,且过点(1,1).故f(1)=1,f(1)=-12,即b=1,a2-b=-12,解得a=1,b=1.(2)证明:由(1)知f(x)=lnxx+1+1x,所以f(x)-lnxx-1=11-x2(2ln x-x2-1x).令函数h(x)=2ln x-x2-1x(x0),则h(x)=2x-2x2-(x2-1)x2=-(x-1)2x2.所以当x1时,h(x)0,可得11-x2h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0.从而当x0,且x1时,f(x)-lnxx-10,即f(x)lnxx-1.4.(2015高考天津卷)已知函数f(x)=4x-x4,xr.(1)求f(x)的单调区间;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为p,曲线在点p处的切线方程为y=g(x).求证:对于任意的实数x,都有f(x)g(x);(3)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x10,即x1时,函数f(x)单调递增;当f(x)1时,函数f(x)单调递减;所以,f(x)的单调递增区间为(-,1),单调递减区间为(1,+).(2)证明:设点p的坐标为(x0,0),则x0=413,f(x0)=-12.曲线y=f(x)在点p处的切线方程为y=f(x0)(x-x0),即g(x)=f(x0)(x-x0).令函数f(x)=f(x)-g(x),即f(x)=f(x)-f(x0)(x-x0),则f(x)=f(x)-f(x0).由于f(x)=-4x3+4在(-,+)上单调递减,故f(x)在(-,+)上单调递减.又因为f(x0)=0,所以当x(-,x0)时,f(x)0,当x(x0,+)时,f(x)0.解:(1)由题意得f(x)=12x2-2a.当a0时,f(x)0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(-,+).当a0时,f(x)=12(x-a6)(x+a6),此时函数f(x)的单调递增区间为(-,-a6和a6,+),单调递减区间为-a6,a6.(2)由于0x1,故当a2时,f(x)+|2-a|=4x3-2ax+24x3-4x+2.当a2时,f(x)+|2-a|=4x3+2a(1-x)-24x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.设g(x)=2x3-2x+1,0x1,则g(x)=6x2-2=6(x-33)(x+33),于是g(x),g(x)随x的变化情况如表x0(0,33)33(3