高考数学一轮复习 必考部分 第六篇 不等式 第3节 基本不等式应用能力提升 文 北师大版.doc

第3节基本不等式【选题明细表】 知识点、方法题号利用基本不等式比较大小、证明1,4,8,10利用基本不等式求最值2,3,7,13,14基本不等式的实际应用5,9,15基本不等式的综合应用6,11,12基础对点练(时间:30分钟)1.下列不等式一定成立的是(c)(a)lg（x2+14）lg x(x0)(b)sin x+1sinx2(xk,kz)(c)x2+12|x|(xr)(d)1x2+11(xr)解析:对选项a,当x0时,x2+14-x=（x-12）20,所以lg（x2+14）lg x;对选项b,当sin x0时显然不成立;对选项c,x2+1=|x|2+12|x|,一定成立;对选项d,因为x2+11,所以00,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则1x+13y的最小值是(c)(a)2(b)22 (c)4(d)23解析:因为lg 2x+lg 8y=lg 2,所以lg(2x8y)=lg 2,所以2x+3y=2,所以x+3y=1.因为x0,y0,所以1x+13y=(x+3y)（1x+13y）=2+3yx+x3y2+23yxx3y=4,当且仅当x=3y=12时取等号.4.(2015高考陕西卷)设f(x)=ln x,0ab,若p=f(ab),q=f（a+b2）,r=12f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是(c)(a)q=rp(c)p=rq解析:由题意得p=ln ab,q=ln a+b2,r=12(ln a+ln b)=ln ab=p,因为0aab,所以ln a+b2ln ab,所以p=rq.故选c.5.(2015新郑校级一模)某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(00,b0,且ln(a+b)=0,则1a+1b的最小值是.解析:因为ln(a+b)=0,所以a+b=1,所以1a+1b=（1a+1b）(a+b)=2+ba+ab2+2=4,当且仅当a=b=12时等号成立.答案:48.若ab1,a=lg（a+b2）,b=lgalgb,c=12(lg a+lg b).则a,b,c从小到大的顺序为.解析:因为ab1,所以lg a0,lg b0,则12(lg a+lg b)lgalgb,即cb,lg（a+b2）lgab=12lg(ab)=12(lg a+lg b),所以ac,综上acb.答案:acb9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(xn*),则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.解析:每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-（x+25x）,而x0,故yx18-225=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:5810.(2016开封模拟)已知a,b都是正实数,且a+b=1.求（a+1a）2+（b+1b）2的最小值.解:（a+1a）2+（b+1b）22(a+1a+b+1b)24522=252.所以（a+1a）2+（b+1b）2252,当且仅当a=b=12上式等号成立.所以(a+1a)2+(b+1b)2的最小值为252.11.(2015滕州校级模拟)已知不等式x2-5ax+b0的解集为x|x4或x1.(1)求实数a,b的值;(2)若0x1,f(x)=ax+b1-x,求f(x)的最小值.解:(1)由题意可得4+1=5a,41=b,解得a=1,b=4,所以实数a,b的值分别为1,4.(2)由(1)知f(x)=1x+41-x,因为0x1,所以01-x0,41-x0,所以f(x)=1x+41-x=(1x+41-x)x+(1-x)=5+1-xx+4x1-x5+21-xx4x1-x=9,当且仅当1-xx=4x1-x,即x=13时,等号成立.所以f(x)的最小值为9.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015嘉兴一模)已知直线l1:a2x+y+2=0与直线l2:bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为(c)(a)5(b)4(c)2(d)1解析:因为直线l1与l2的斜率存在,且两直线垂直,所以a2b-(a2+1)=0,所以b=a2+1a20,当a0时,|ab|=ab=a+1a2,当且仅当a=1时等号成立,当a0,b0,ab=8,则当a的值为时,log2alog2(2b)取得最大值.解析:由于a0,b0,ab=8,所以a=8b,所以log2alog2(2b)=log28blog2(2b)=(3-log2b)(1+log2b)=-(log2b)2+2log2b+3=-(log2b-1)2+4,当b=2时,有最大值4,此时a=4.答案:414.(2015郑州模拟)已知a,b,c为正实数.(1)若ab(a+b)=2,求a+b的最小值;(2)若abc(a+b+c)=1,求(a+b)(b+c)的最小值.解:(1)因为2=ab(a+b)(a+b2)2(a+b),所以a+b2,当且仅当a=b=1时取等号,所以a+b的最小值为2.(2)因为(a+b)(b+c)=b(a+b+c)+ac2abc(a+b+c)=2,当且仅当b(a+b+c)=ac时取等号,所以(a+b)(b+c)的最小值是2.15.(2015高邮校级模拟)某人购置一块占地1800平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(阴影部分所示),大棚所占地面积为s平方米,其中ab=12.(1)试用x,y表示s;(2)若要使s最大,则x,y的值各为多少?解:(1)由题可得xy=1 800,b=2a,则y=a+b+3=3a+3,所以s=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a=(3x-8)y-33=1 808-3x-83y.(2)s=1 808-3x-831 800x=1 808-(3x+4 800x),1 808-23x4 800x=1 808-240=1 568,当且仅当3x=48 00x,即x=40,y=45时,s取得最大值.精彩5分钟1.(2015滨州一模)若对任意的x1,x2+3x-1a恒成立,则a的最大值是(b)(a)4(b)6(c)8(d)10解题关键:对f(x)a或f(x)a形式的恒成立问题只需求出函数y=f(x)的最值,即可求出a的范围.本题可利用基本不等式先求出y=x2+3x-1的最值.解析:对任意的x1,x2+3x-1=x-1+4x-1+22(x-1)4x-1+2=6,当且仅当x=3时等号成立.对任意的x1,x2+3x-1a恒成立,就是a(x2+3x-1)min=6,a的最大值是6.2.(2015黑龙江期末)函数y=x2+3x2+2的最小值是.解题关键:对函数y=x2+3x2