高考数学大一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形 计时双基练24 解三角形应用举例 理 北师大版.doc

计时双基练二十四解三角形应用举例a组基础必做1某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为()a. b2c.或2 d3解析如图所示，设此人从a出发，则abx，bc3，ac，abc30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理得x23x60，解得x或2。答案c2张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点a处望见电视塔s在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点b处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点b时与电视塔s的距离是()a2 km b3 kmc3 km d2 km解析如图，由条件知ab246，在abs中，bas30，ab6，abs18075105，所以asb45。由正弦定理知，所以bssin 303。答案b3一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东70，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b，c两点间的距离是()a10海里 b10海里c20海里 d20海里解析如图所示，易知，在abc中，ab20，cab30，acb45，根据正弦定理得，解得bc10(海里)。答案a4如图所示，长为3.5 m的木棒ab斜靠在石堤旁，木棒的一端a在离堤足c处1.4 m的地面上，另一端b在离堤足c处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan 等于()a. b.c. d.解析由题意，可得在abc中，ab3.5 m，ac1.4 m，bc2.8 m，且acb。由余弦定理，可得ab2ac2bc22acbccos acb，即3.521.422.8221.42.8cos()，解得cos ，所以sin ，所以tan 。答案a5.如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()a2.7 mb17.3 mc37.3 md373 m解析在ace中，tan 30。ae m。在aed中，tan 45，ae m，cm10(2)37.3 m。答案c6.如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙oa，ob，再修建一长度为ab的围栏，围栏的造价与ab的长度成正比。现已知墙角aob的度数为120，当aob的面积为时，就可起到保护作用。则当围栏的造价最低时，abo()a30 b45c60 d90解析只要ab的长度最小，围栏的造价就最低。设oaa，obb，则由余弦定理得ab2a2b22abcos 120a2b2ab2abab3ab(当且仅当ab时取等号)，又saobabsin 120，所以ab4。故ab212，即ab的最小值为2。由ab及3ab12，得ab2。由正弦定理得sin abo。故abo30，故选a。答案a7甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则乙楼的高是_m。解析如图，依题意甲楼高度ab20tan 6020，又cmdb20 m，cam60，所以amcm m，所以乙楼的高cd20 m。答案8(20152016学年度上学期衡水中学高三年级六调考试)为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的a地测得塔尖的仰角为45，沿着a向北偏东30前进100米到达b地(假设a和b在海拔相同的地面上)，在b地测得塔尖的仰角为30，则塔高为_米。解析如图所示，cd为古塔的高度，设为h m，由题意得，cd平面abd，ab100米，bad60，cad45，cbd30，在cbd中，bdh m，在cad中，adh m，在abd中，bdh m，adh m，ab100 m，bad60，3h210 000h22100hcos60，解得h50或100(舍)，塔高为50米。答案509江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m。解析如图，omao tan 4530(m)，onao tan 303010(m)，在mon中，由余弦定理得，mn10(m)。答案1010(2015陕西省安康市高三上学期调研)如图，某观测站c在城a的南偏西20方向上，从城a出发有一条公路，走向是南偏东40，在c处测得距离c为31千米的公路上的b处有一辆车正沿着公路向城a驶去，该车行驶了20千米后到达d处停下，此时测得c，d两处的距离为21千米。(1)求cos cdb的值；(2)此车在d处停下时距城a多少千米？解(1)由题可知cd21，bd20，bc31，在cdb中，由余弦定理得：cos cdb。(2)由(1)知，cos cdb，sin cdb。sin acdsin(cdb60)sin cdbcos 60cos cdbsin 60。在acd中，由正弦定理得：ad15，即此车在d处停下时距城a15千米。11(2016广州模拟)在一个特定时段内，以点e为中心的7海里以内的海域被设为警戒水域。点e正北55海里处有一个雷达观测站a。某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点a的北偏东45且与点a相距40海里的位置b，经过40分钟又测得该船已行驶到点a的北偏东(45)(其中sin ，090)且与点a相距10海里的位置c。(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶。判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。解(1)如图所示，ab40，ac10，bac，sin 。因为090，所以cos ，bc10。所以该船的行驶速度为15海里/小时。(2)解法一：如图所示，以a为原点建立平面直角坐标系，设点b，c的坐标分别是b(x1，y1)，c(x2，y2)，bc与x轴的交点为d。由题设，得x1y1ab40，x2accos cad10cos(45)30，y2acsin cad10sin(45)20。所以过点b，c的直线l的斜率k2，直线l的方程为y2x40。又点e(0，55)到直线l的距离d340aq，所以点q位于点a和点e之间，且qeaeaq15。过点e作epbc于点p，则ep为点e到直线bc的距离。在rtqpe中，peqesin pqeqesin aqcqesin(45abc)1530)，则bn20x，于是an ，pnnctan 30x，所以tan ，令t，则1625t240t1，当t时，625t240t1取最小值，因此 的最小值为 ，这时tan 的最大值为(此时x)。故选d。答案d3.如图，经过村庄a有两条夹角为60的公路ab，ac，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂p，分别在两条公路边上建两个仓库m，n(异于村庄a)，要求pmpnmn2(单位：千米)。如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解设amn，在amn中，。因为mn2，所以amsin(120)。在apm中，cos ampcos(60)。ap2am2mp22amm