高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练59 最值、范围、证明问题 理 北师大版.doc

计时双基练五十九最值、范围、证明问题a组基础必做1设a，b分别为椭圆1(ab0)的左、右顶点，为椭圆上一点，椭圆的长半轴长等于焦距。(1)求椭圆的方程；(2)设点p(4，x)(x0)，若直线ap，bp分别与椭圆相交于异于a，b的点m，n，求证：mbn为钝角。解(1)依题意得，a2c，b2a2c23c2，则椭圆的方程为1，将点代入，得c21，故椭圆的方程为1。(2)证明：由(1)知，a(2,0)，b(2,0)，设m(x0，y0)，则2x00，即mbp为锐角，则 mbn为钝角。2.(2015重庆卷)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，过f2的直线交椭圆于p，q两点，且pqpf1。(1)若|pf1|2，|pf2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|pq|pf1|，且，试确定椭圆离心率e的取值范围。解(1)由椭圆的定义，2a|pf1|pf2|(2)(2)4，故a2。设椭圆的半焦距为c，由已知pf1pf2，因此2c|f1f2|2，即c，从而b1。故所求椭圆的标准方程为y21。(2)如图，由pf1pq，|pq|pf1|，得|qf1|pf1|。由椭圆的定义，|pf1|pf2|2a，|qf1|qf2|2a，进而|pf1|pq|qf1|4a。于是(1)|pf1|4a，解得|pf1|，故|pf2|2a|pf1|。由勾股定理得|pf1|2|pf2|2|f1f2|2(2c)24c2，从而224c2，两边除以4a2，得e2。若记t1，则上式变成e282。由，并注意到1关于的单调性，得3t4，即，进而e2，即e。3(2015河北石家庄一模)在平面直角坐标系xoy中，一动圆经过点且与直线x相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线e。(1)求曲线e的方程；(2)设p是曲线e上的一点，点b，c在y轴上，pbc的内切圆的方程为(x1)2y21，求pbc面积的最小值。解(1)由题意可知圆心到的距离等于到直线x的距离，由抛物线的定义可知，曲线e的方程为y22x。(2)解法一：设p(x0，y0)，b(0，b)，c(0，c)，直线pb的方程为(y0b)xx0yx0b0；又圆心(1,0)到pb的距离为1。所以1，整理，得(x02)b22y0bx00，同理可得：(x02)c22y0cx00，所以b，c是方程(x02)x22y0xx00的两根，所以bc，bc，依题意bc2，则(bc)2，因为y2x0，所以|bc|，所以s|bc|x0(x02)48，当且仅当x04时上式取得等号，所以pbc面积的最小值为8。解法二：设p(x0，y0)，直线pb：yy0k(xx0)，由题知pb与圆(x1)2y21相切，则1，整理，得(x2x0)k22(1x0)y0ky10，k1k2，k1k2，依题意x02，则|ybyc|(y0k1x0)(y0k2x0)|k1k2|x0，又|k1k2|，则|ybyc|，所以s|ybyc|x0|(x02)48，当且仅当x04时上式取得等号，所以pbc面积的最小值为8。b组培优演练1平面直角坐标系xoy中，过椭圆m：1(ab0)右焦点的直线xy0交m于a，b两点，p为ab的中点，且op的斜率为。(1)求m的方程；(2)c，d为m上两点，若四边形abcd的对角线cdab，求四边形abcd面积的最大值。解(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1。因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2。又由题意知，m的右焦点为(，0)，故a2b23。因此a26，b23。所以m的方程为1。(2)由解得，或因此|ab|。由题意可设直线cd的方程为yxn，设c(x3，y3)，d(x4，y4)。由得3x24nx2n260。于是x3,4。因为直线cd的斜率为1，所以|cd|x4x3|。由已知，四边形acbd的面积s|cd|ab|。当n0时，s取得最大值，最大值为。所以四边形acbd面积的最大值为。2.(2015温州十校联考)如图，过x轴上动点a(a,0)引抛物线yx21的两条切线ap，aq。切线斜率分别为k1和k2，切点分别为p，q。(1)求证：k1k2为定值，并且直线pq过定点；(2)记s为面积，当最小时，求的值。解(1)证明：证法一：设过a点的直线为yk(xa)，与抛物线方程联立整理得x2kxka10，k24ak40，所以k1k24a，k1k24为定值。抛物线方程yx21，求导得y2x，设切点p，q的坐标分别为(xp，yp)，(xq，yq)，则k12xp，k22xq，所以xpxq2a，xpxq1。直线pq的方程：yyp(xxp)，由ypx1，yqx1，得到y(xpxq)xxpxq1，整理可得y2xa2，所以直线pq过定点(0,2)。证法二：设切点p，q的坐标分别为(xp，yp)，(xq，yq)。求导得y2x，所以lap：y2xp(xa)，又p(xp，yp)在直线上，即yp2xp(xpa)，由p(xp，yp)在抛物线上得ypx1，整理可得yp2xpa2，同理yq2xqa2，所以lop：y2xa2，所以直线pq过定点(0,2)。联立方程组可得x22ax10，所以xpxq1，xpxq2a，所以k1k22xp2xq4为定值。(2)设a到pq的距离为d。sa