勾股定理教案.doc

勾股定理教案1于都县于都中学 钟杨赖 课题勾股定理教学设计说明简述教案设计思想与特色勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论本节意图让学生自己经过观察、归纳、猜想和验证，发现勾股定理.初中学生思维活跃，求知欲强，好奇心浓，所以处理教材内容上尽量发挥学生的学习主动性.设计方格纸上计算面积，用拼图的方法验证等活动，以真正实现学生在知识、智力、能力和全面提高.为面向全体学生，进行小组合作学习，通过交流、议论、取长补短，引导学生团结协作，互帮互学，从而达到共同提高的目的.教材分析勾股定理是在学习了三角形有关性质的基础上提出来的，勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，对前面的知识起到完善，延伸的作用.如，对直角三角形的判定定理“HL”,书中的拼接证明学生不易理解,但学过勾股定理后，可引导学生用“边边边”定理证明.勾股定理也是今后学习几何的一个重要的定理，它广泛应用于几何题的证明和计算中.学情分析学生的知识技能基础：学生已学过三角形的有关性质，以及三角形全等的判定方法；学生已学习了等腰三角形的性质，了解了直角三角形的基本特征.学过了轴对称、平移等变换知识，也有一定操作经验.学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力.教学目标（一）知识与技能1掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理.2能够熟练地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三边，会利用勾股定理解决生活中的实际问题.（二）过程与方法1在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想和特殊到一般的方法.2在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力.（三）情感、态度与价值观1在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气.2对比介绍我国古代数学家和西方数学家对勾股定理的研究，培养学生的爱国主义精神.教学重点重点：探索和验证勾股定理及实际应用.解决方法：用特殊到一般的方法，由等腰直角三角形到一般直角三角形，通过学生观察，归纳，猜想和验证得出勾股定理.教学难点难点：勾股定理的证明.解决方法：本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变.课时设计三课时教学策略合作探究，引导发现，归纳总结.教学过程教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1 故事导入活动2 课堂探究活动3 弦图证明活动4 实际应用活动5 感悟收获介绍毕达哥拉斯的人和事，以此激起学生兴趣，从而引入课题.通过创设问题情境，从等腰直角三角形到一般直角三角形，观察归纳得出结论.利用拼图的方法证明结论得到定理，渗透数形结合思想，培养学生爱国主义精神.通过简单练习巩固勾股定理，在运用勾股定理解决实际问题.学生小结所学所获，培养反思总结习惯.教学过程设计问题与情景师生行为设计意图活动1故事导入毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客.在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来.原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他.谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了.同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么?是否也和大哲学家有同样的发现呢? 活动2课堂探究问题1：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗?（1）等腰直角三角形有什么性质？（2）这三个正方形的面积是多少？你是怎么想的？两个小正方形的面积的和与大正方形的面积有什么关系？（3）等腰直角三角形ABC的三条边有什么数量关系？问题2：等腰直角三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗?如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A、B、C的面积，看看能得出什么结论.(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积.)由上面的几个例子，我们猜想：命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边为c,那么.活动3 弦图证明下图是我国古人赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下，如图(7).把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a2b2，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成.把田(7)中左、右两个三角形移到图(9)所示的位置，就会形成一个c为边长的正方形.因为图(7)与图(9)都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等.因此a2b2c2这样就通过推理证实了命题1的正确性，我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理.命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理.我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它.上面的证法是我国有资料记载的对勾股定理的最早证法.“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因如此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”.而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现.再介绍下面的拼图方法：教师：讲毕达哥拉斯的人和事，提出问题，引出课题.学生：倾听老师的故事，并观察图形思考问题.学生：思考，观察计算，归纳总结.教师：引导点拨.教师：引导点拨学生：观察思考，割补计算求面积，同学合作交流讨论，归纳总结得出结论.教师：演示讲解.学生：动手操作，拼图体会.教师讲解勾股定理的有关历史背景，学生体会古代学者的聪明才智.教师讲解.设计意图：从学生感兴趣的故事情景入手，引出所学数学问题，激起学生学习兴趣.设计意图： 通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究结论的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想.设计意图： 进一步让学生体会观察、猜想、归纳这一数学结论发现的过程，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高，让学生体会到结论更具一般性，体会特殊到一般的数学方法.设计意图：通过学生动手操作，老师演示实验，更加深刻理解勾股定理的证明方法，培养了学生的动手操作能力，体会数形结合思想.设计意图：培养学生爱国主义精神，激励学生奋发图强学习知识，为国争光.设计意图：培养学生发散思维.活动4 实际应用1在ABC中，C=90(1)若a=8，b=6，则c=_；(2)若 c=20，b=12，则a=_；(3)若ab=34，c=10，则a=_，b=_.师生共析分析：在ABC中，C=90，所以有关系：.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.解：根据题意可得(1)若a=8，b=6，所以 .即=100，c0，所以c=10；(2)若c=20，b=12，所以.即a2=202122=(20+12)(2012)=328=162，a0，所以a=16；(3)若ab=34，可设a=3x，b=4x，所以(3x)2+(4x)2=102.化简，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2(x0)，所以a=3x=6；b=4x=8.评注：综合上述解法可以发现，形(即ABC为直角三角形)与数()的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合.2小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？解：不同意.因为电视机的屏幕指的是对角线长根据勾股定理得：，所以售货员没搞错3探究1：一个门框的尺寸如图所示，一个长，宽的薄木板能否从门框内通过？说明理由.分析：在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角.让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？转化为勾股定理的计算，采用多种方法.注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣.4探究2：如图，一个长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为，如果梯子顶端沿墙下滑，那么梯子底端也外移吗？分析：在AOB中，已知AB=3，AO=25，利用勾股定理计算OB. 在COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD.则BD=ODOB，通过计算可知BDAC.进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD.5在等腰ABC中，ABAC13cm ，BC=10cm,求ABC的面积.分析：求ABC的面积，S=底高.必须求出高，在等腰三角形中利用性质得BD=CD,利用勾股定理解得AD，从而求出面积6我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出的点吗?的点呢? 分析：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长为的线段即可. 步骤如下：1在数轴上找到点A，使OA3；2作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB2；3以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点.7(1)根据勾股定理，还可以作出长为无理数线段，你能做出哪些长为无理数的线段呢?(2)欣赏下图，你会得到什么启示?用上述方找法到了长度为、的线段，因此在数轴上便可以表示出来.教学时可以先画出、，之后，再画，画法不唯一，如下图：通过上面讨论，使学生认识到利用勾股定理可以得到一些无理数，并理解数轴上的点与实数一一对应.小结：在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用.8蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）活动5感悟收获问题：本节课学了哪些知识？有什么体会？在本节课中，对自己及其他同学们的学习表现满意吗？ 1勾股定理的内容及证明方法.2勾股定理作用:它能把三角形的形的特性(一角为90度) 转化为数量关系. 3利用勾股定理进行计算要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段的长.4适当添加辅助线构建直角三角形使用勾股定理.学生思考尝试解决教师分析讲解.学生思考尝试解决.教师分析讲解.教师鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想，教师适当地给予鼓励，学生畅所欲言.设计意图：通过有梯度的练习，巩固勾股定理的内容，体会它在实际问题中的作用. 设计意图：问题是贴近学生生活有趣的实例，学生可利用勾股定理解决.直角三角形的三边关系告诉我们已知两边可求出第三边.体验勾股定理解决生活中问题的过程.设计意图：用勾股定理做无理数的点，体会数形结合思想和建模思想.教师鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想，教师适当地给予鼓励，培养学生的语言表达能力、概括能力及善于归纳总结良好的学习习惯.活动6课后作业一选择题1 在ABC中，B=90，A、B、C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是（ ）. Ac2=a2+b2 Bb2=a2+c2 Ca2=c2+b2 Db=a+c2如图中字母A所表示的正方形的面积为( ).A12 B48 C96 D1443如图是边长为1的正方形网格,则图中四边形的面积为（ ）.A 25 B 125 C 9 D 85（第3题） A22581（第2题） 4两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距( ).A 50cm B 80cm C 100cm D 140cm 5已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）. A5 B25 CD5或6如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（ ）.A B- C2 D-2（第6题） 20m(第8题)150ABC30m7小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边15m远的水底,竹竿高出水面05m,把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为( ).A 2m B 25cm C 225m D 3m8某市在旧城改造中，为美化环境，计划在市内一块（如图）三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）. A 150a元 B 225a 元 C 300a元 D 450a元二解答题9如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出这样的线段，并选择其中的一条线段，说明这样画法正确的理由.10如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地某处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部6m处，已知旗杆原长18m，你能求出旗杆在离底部什么位置折断吗？请说明理由.CA6cm第10题参考答案一选择题：1、B 2、D 3、B 4、C，5、D 6、B 7、A 8、A二解答题9、略；10、如图，设BC=x, 则AB=18x. (18-x)-x=6 解得 x= 8.教学反思本节设计中勾股定理的探究过程及小组合作交流的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，让学生畅所欲言，更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知