广东省珠海一中等六校2013届高三第三次(12月)联考数学文试题.pdf

广东广东 20132013 届高三六校第届高三六校第三三次联考次联考 文科数学试题文科数学试题 命题命题学校学校 惠州市第一中学惠州市第一中学 六校分别六校分别为 广州二中 中山纪中 东莞中学 珠海一中 深圳实验 惠州一中为 广州二中 中山纪中 东莞中学 珠海一中 深圳实验 惠州一中 本试题共本试题共 4 4 页 页 2020 小题 满分小题 满分 150150 分 考试用时分 考试用时 120120 分钟分钟 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 5050 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 设全集 U AB 定义 A Bx xAxB 且 集合 A B 分别用圆表示 则下 列图中阴影部分表示 A B 的是 2 如果复数 2 32 1 zaaai 为纯虚数 则实数a的值 A 等于 1 B 等于 2 C 等于 1 或 2 D 不存在 3 已知 2 ab 是单位向量 且ab 与夹角为 60 则 aab 等于 A 1 B 23 C 3 D 43 4 在同一个坐标系中画出函数 sin x yayax 的部分图象 其中01aa 且 则下列 所给图象中可能正确的是 A B C A B A A B B A B D y x 2 O A 1 1 D y x 2 O 1 1 B y x 2 O 1 1 C y x 2 O 1 1 5 等差数列 n a的前n项和为30 1191 aaaSn若 那么 13 S值的是 A 65 B 70 C 130 D 260 6 若0 0 ab 且4 ba 则下列不等式恒成立的是 A 2 11 ab B 1 11 ba C 2 ab D 22 8ab 7 下面给出四个命题 若平面 平面 AB CD是夹在 间的线段 若AB CD 则ABCD a b是异面直线 b c是异面直线 则 a c一定是异面直线 过空间任一点 可以做两条直线和已知平面 垂直 平面 平面 P PQ 则PQ 其中正确的命题是 A B C D 8 已知数列 n a为公比是 3 的等比数列 前 n 项和kS n n 3 则实数k为 A 0 B 1 C 1 D 2 9 对任意非零实数a b 若ab 的运算规则如右图的程序框图所 示 则 32 4 的值是 A 0 B 1 2 C 3 2 D 9 10 设定义在 R 上的函数 1 3 3 1 3 x xf x x 若关于x的方程 2 0fxaf xb 有 5 个不同实数解 则实数a的取值范围是 A 0 1 B 1 C 1 D 1 2 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 考生作答小题 考生作答 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分分 一 必做题 一 必做题 1111 1313 题 题 11 已知直线2x 及4x 与函数 2 logyx 图像的交点分别为 A B 则 AB 直线方程为 12 点 A 3 1 和 B 4 6 在直线320 xya 的两侧 则a的取值范围是 13 有一个各棱长均为 1 的正四棱锥 先用一张正方形包装纸将其 A B C D O 开始 输入ba ba 输出 a b1 输出 b a1 结束 是 否 完全包住 不能剪裁 可以折叠 那么包装纸的最小面积为 二 选做题 二 选做题 1414 1515 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图所示 DB DC是 O的两条切线 A是圆上一点 已知 D 46 则 A 15 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 已知曲线 1 C的极坐标方程为 cos6 曲线 2 C的极坐 标方程为 4 R 则弦 AB 为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共6 6 小题 满分小题 满分8080 分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本题满分 12 分 已知向量 2sin 1 mx cos cos2 nxx 定义 f xm n 1 求函数 xf的表达式 并求其单调增区间 2 在锐角 ABC 中 角 A B C 对边分别为a b c 且1 Af 8 bc 求 ABC 的面积 17 本题满分 12 分 为调查某次考试数学的成绩 随机抽取某中学甲 乙两班各十名 同学 获得成绩数据的茎叶图如图 单位 分 1 求甲班十名学生成绩的中位数和乙班十名学生成绩的平均 数 2 若定义成绩大于等于 120 分为 优秀成绩 现从甲班 乙两班样本数据的 优秀成绩 中分别抽取一人 求 被抽取的甲班学生成绩高于乙班的概率 18 本题满分 14 分 一个多面体的三视图和直观图如下 A B D C E N M F 其中 H M N分别是 DE BCAF 中点 正视图 22 2 2 2 2 2 2 侧视图 俯视图 H 10 11 12 8 2 3 3 2 1 8 2 1 1 7 9 9 3 4 8 0 2 7 8 甲 乙 1 求证 MN平面CDEF 2 求证 MNAH 3 求多面体CDEFA 的体积 19 本题满分 14 分 已知椭圆C的焦点在x轴上 中心在原点 离心率 3 3 e 直线 2l yx 与以原点 为圆心 椭圆C的短半轴为半径的圆O相切 1 求椭圆C的方程 2 设椭圆C的左 右顶点分别为 1 A 2 A 点M是椭圆上异于 1 A 2 A的任意一点 设 直线 1 MA 2 MA的斜率分别为 1 k 2 k 证明 12 k k 为定值 20 本题满分 14 分 已知 0 3 2 x xf x成等差数列 又数列 3 0 1 aaa nn 中此数列的前 n 项的和 Sn Nn 对所有大于 1 的正整数 n 都有 1 nn SfS 1 求数列 n a的通项 2 若 nn n aa b 1 1 1 是的等比中项 且Tn为 bn 的前 n 项和 求Tn 21 定义函数 1 1 2 n n f xxxnN 1 求 3 f x的极值点 1 求证 n f xnx 2 是否存在区间 a 0 a 120 甲高 121 120 甲高 128 120 甲高 122 120 甲高 122 121 122 乙高 121122 甲高 122 122 乙高 127 121 127 乙高 121127 甲高 122 127 乙高 128 121 128 乙高 121 128 乙高 128 128 乙高 122 128 乙高 10 分 由表格可知 63 168 P A 12 分 18 本题满分 14 分 解 由三视图知 该多面体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱 侧面 ABCD 和侧面 ABFE 为 边长为 2 的正方形 2 分 1 正方形 ABEF 连接 BE 则 BE 与 AF 交于中点 M 连接 EC BEC 中 NM 分别是 BE BC中点 故中位线 MNEC 4 分 而MN 面CDEF EC 面CDEF MN面CDEF 6 分 2 ABE 为等腰直角三角形 且 H 为中点 DEAH 该多面体是直三棱柱 故侧棱EF 面ABE 而AH 面ABE 故AHEF 综合 且 DEEFE DE EF 面DCFE AH 面DCFE 9 分 而EC 面CDEF AH EC 10 分 由 1 可知 MNEC AH MN 11 分 3 由 1 可知 AH面DCEF AH为高 且2 AH 3 8 2222 3 1 3 1 AHSV CDEFCDEFA 14 19 本题满分 14 分 直线 2l yx 与以原点为圆心 椭圆C的短半轴为半径的圆O相切 22 002 2 11 db 2 分 222 2bac 3 分 又由 3 3 c e a 解得3 1ac 5 分 椭圆方程 22 1 32 xy 6 分 证明 由椭圆方程得 1 3 0 A 2 3 0 A 7 分 设M点坐标 oo x y 则 22 22 2 1 3 323 oo oo xy yx 8 分 1 3 o MA o y k x 2 3 o MA o y k x 10 分 12 2 2 22 2 3 2 3 333 o o MAMA oo x y kk xx 12 分 12 MAMA kk 是定值 14 分 20 本题满分 14 分 解 1 0 3 2 x xf x 成等差数列 2 3 3 f xxf xx 1 nn SfS 2 1 3 nn SS 即 1 3 nn SS 3 分 所以 n S 为等差数列 首项 1 3S 公差 3 故 33 1 3 n Snn 2 3 n Sn 5 分 1n 时 11 3aS 2n 时 22 1 33 1 63 nnn aSSnnn 7 分 经检验 1 3a 亦满足 故63 n annN 8 分 2 nn n aa b 1 1 1 是 的等比中项的等比中项 1 11 63 63 n nn b aann 10 分 1111 9 21 21 18 212n1nnn 12 分 12 111111111 1 18133521211821 nn Tbbb nnn 14 分 21 本题满分 14 分 1 3 3 1 1f xx 2 3 3 1 fxx 令 3 0fx 1x 定义域 2 x 2 1 1 1 fx 0 f x 递减 极小值 递增 1x 为极小值点 无极大值点 3 分 2 证明 1 1 n n f xnxxnx 令 1 1 n g xxnx 则 1 11 n gxnx 令 0gx 得0 x 5 分 当 2 1 x 时 110 x n为奇数时 1 01 n x n为偶数时 0 1 1 n x 当 1 0 x 时 011x 0 1 1 n x 2 0 x 时 1 1 n x 故 1 11 n gxnx 0 函数 g x单调递增 g x在x 0 处取得最小值 0 0g 0g x 即 n f xnx 当且仅当x 0 时取等号 10 3 2 32 1h xf xf xxx 2 12 111 3h xxxxxx 令 0h x 得1x 1 3 x 当 2 1x 时 0h x 当 1 1 3 x 时 0h x 当 1 3 x 时 0h x 故 h x的草图如图所示 方法 1 下面考察直线 0ykx k 与曲线 yh x 的相交情况 若 1 0 3 a 时 h x在 1 0 3 上增 令 2 1kaaa 0a 舍 1ak 舍 1ak 又 1 10 3 k 得 4 1 9 k 此时存在区间 01 0ak min 4 9 k 1 0 0 3 a 若 1 3 a 时 如图 图象极小值点为 14 327 A 过A作直线 4 27 y 与 h x图象交于另一点B 如果存在满足条件的区间 0a 则须 1 3 h ah 解得 4 3 a 令 2 1kaaa 解得1ak 由 4 1 3 k 得