高中数学 第一章 解三角形学案 新人教A版必修5.doc

【三维设计】2015高中数学 第一章 解三角形学案 新人教a版必修5_1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理正弦定理提出问题如图，在rtabc中，a30，斜边c2，问题1：abc的其他边和角为多少？提示：b60，c90，a1，b.问题2：试计算，的值，三者有何关系？提示：2，2，2，三者的值相等问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？提示：是如图sin a，c.sin b，c.sin c1，.问题4：在钝角abc中，bc30，b，试求其他边和角提示：如图，acd为直角三角形，c30ac，则ad，cd，bc3.ab，bac120.问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？提示：满足问题6：若是锐角三角形上述结论还成立吗？提示：都成立导入新知1正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.2解三角形一般地，把三角形的三个角a、b、c和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形化解疑难对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化已知两角及一边解三角形例1在abc中，已知a8，b60，c75，求a，b，c.解a180(bc)180(6075)45.由得，b4，由得，c4(1)a45，b4，c4(1)类题通法已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如754530)，再根据上述思路求解活学活用1在abc中，已知c10，a45，c30，解这个三角形解：a45，c30，b180(ac)105.由得a10.由得b20sin 75，sin 75sin (3045)sin 30cos 45cos 30sin 45，b2055.已知两边及一边的对角解三角形例2在abc中，已知c，a45，a2，解这个三角形解，sin c，c60或c120.当c60时，b75，b1；当c120时，b15，b1.b1，b75，c60或b1，b15，c120.类题通法已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论活学活用2在abc中，若c，c，a2，求a，b，b.解：由，得sin a.a或a.又ca，ca，只能取a，b，b1.判断三角形的形状例3在abc中，sin2 asin2 bsin2 c，且sin a2sin bcos c试判断abc的形状解由正弦定理，得sin a，sin b，sin c.sin2 asin2 bsin2 c，222，即a2b2c2，故a90.c90b，cos csin b.2sin bcos c2sin2 bsin a1.sin b.b45或b135(ab225180，故舍去)abc是等腰直角三角形类题通法1判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断2判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别活学活用3在abc中，若bacos c，试判断该三角形的形状解：bacos c，2r.(2r为abc外接圆直径)sin bsin acos c.b(ac)，sin (ac)sin acos c.即sin acos ccos asin csin acos c，cos asin c0，a、c(0，)，cos a0，a，abc为直角三角形典例在abc中，已知a2，b2，a60，则b_.解析由正弦定理，得sin bb2.0b180，b30，或b150.ba，根据三角形中大边对大角可知ba，b150不符合条件，应舍去，b30.答案30易错防范1由sin b得b30，或150，而忽视b2a2，从而易出错2在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍成功破障在abc中，a，b，c分别是角a，b, c所对应的边，且b6，a2，a30，求ac的值. 解：由正弦定理得sin b.由条件b6，a2，ba知ba.b60或120.(1)当b60时，c180ab180306090.在rtabc中，c90，a2，b6，c4，ac2424.(2)当b120时，c180ab1803012030，ac，则有ac2.ac2212.随堂即时演练1(2012广东高考)在abc中，若a60，b45，bc3，则ac()a4b2c.d.解析：选b由正弦定理得：，即，所以ac2，故选b.2在abc中，a5，b3，c120，则sin asin b的值是()a.b.c.d.答案：a3在abc中，若(sin asin b)(sin asin b)sin2 c，则abc是_三角形解析：由已知得sin2 asin2 bsin2 c，根据正弦定理知sin a，sin b，sin c，所以222，即a2b2c2，故b2c2a2.所以abc是直角三角形答案：直角4(2012北京高考)在abc中，若a3，b，a，则c的大小为_解析：由正弦定理可知sin b，所以b或(舍去)，所以cab.答案：5不解三角形，判断下列三角形解的个数(1)a5，b4，a120；(2)a7，b14，a150；(3)a9，b10，a60.解：(1)sin b，所以abc有一解(2)sin b1，所以abc无解(3)sin b，而1，所以当b为锐角时，满足sin b的b的取值范围为60b90.当b为钝角时，有90b120，也满足ab180，所以abc有两解课时达标检测一、选择题1在abc中，下列式子与的值相等的是()a.b.c.d.解析：选c由正弦定理得，所以.2(2013浏阳高二检测)在abc中，若sin asin b，则a与b的大小关系为()aabbasin b，2rsin a2rsin b，即ab，故ab.3一个三角形的两个角分别等于120和45，若45角所对的边长是4，那么120角所对边长是()a4 b.12c4 d12解析：选d若设120角所对的边长为x，则由正弦定理可得：，于是x12，故选d.4abc的三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，asin asin bbcos2aa，则()a2 b.2c.d.解析：选d由正弦定理，得sin2asin bsin bcos2asin a，即sin b(sin2acos2a)sin a.所以sin bsin a.5以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是()a在abc中，abcsin asin bsin cb在abc中，若sin 2asin 2b，则abc在abc中，若sin asin b，则a b，若ab，则sin asin b都成立d在abc中，解析：选b由正弦定理易知a，c，d正确对于b，由sin 2asin 2b，可得ab，或2a2b，即ab，或ab，ab，或a2b2c2，故b错误. 二、填空题6在abc中，若a14，b7，b60，则c_.解析：由正弦定理知，又a14，b7，b60，sin a，ab，ab，a45，c180(ba)180(6045)75.答案：757在abc中，b30，c120，则abc_.解析：a180bc30，由正弦定理得abcsin asin bsin c，即abcsin 30sin 30sin 12011.答案：118在abc中，若a120，ab5，bc7，则sin b_.解析：由正弦定理，得sin c.可知c为锐角，cos c.sin bsin(180120c)sin(60c)sin 60cos ccos 60sin c.答案：三、解答题9(2011安徽高考)在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c所对的边长，a，b，12cos(bc)0，求边bc上的高解：由12cos(bc)0和bca，得12cos a0，所以cos a，sin a.再由正弦定理，得sin b.由ba知ba，所以b不是最大角，b，从而cos b.由上述结果知sin csin(ab)().设边bc上的高为h，则有hbsin c.10在abc中，已知，试数列abc的形状解：，a2rsin a，b2rsin b，.又sin asin b0，sin acos asin bcos b，即sin 2asin 2b，2a2b，或2a2b，即ab，或ab.故abc是等腰三角形或直角三角形11.2余弦定理余弦定理提出问题在abc中，若ab2，ac3，a60.问题1：这个三角形确定吗？提示：确定问题2：你能利用正弦定理求出bc吗？提示：不能问题3：能否利用平面向量求边bc？如何求得？提示：能2222222cos a49223cos 607问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b，c，a表示a?提示：能导入新知余弦定理余弦定理公式表达a2b2c22bccos_a，b2a2c22accos_b，c2a2b22abcos_c余弦定理语言叙述三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos a，cos b，cos c化解疑难对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立(2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化已知三角形的三边解三角形例1在abc中，若abc12，求a，b，c.解由于abc12，可设ax，bx，c2x.由余弦定理的推论，得cos a，故a30.同理可求得cos b，cos c0，所以b60，c90.类题通法已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角活学活用1边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角的和是_解析：设中间角为，由于875，故的对边的长为7，由余弦定理，得cos .所以60，故另外两角和为18060120.答案：120已知三角形的两边及其夹角解三角形例2在abc中，已知a8，b60，c4(1)，解此三角形解由余弦定理得：b2a2c22accos b824(1)2284(1)cos 606416(42)64(1)96，b4.法一：由cos a，0a180，a45.故c180ab180456075.法二：由正弦定理，sin a，ba，ca，a最小，即a为锐角因此a45.故c180ab180456075.类题通法已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好活学活用2在abc，已知a2，b2，c15，解此三角形解：c2a2b22abcos c(2)2(2)2222cos(4530)84() 2c.法一：由余弦定理的推论得cos a.0a180，a45，从而b120.法二：由正弦定理得sin a.ab，ab，又0a180，a必为锐角，a45，从而得b120.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形例3在abc中，已知b3，c3，b30，求角a、角c和边a.解法一：由余弦定理b2a2c22accos b，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.当a3时，a30，c120.当a6时，由正弦定理得sin a1.a90，c60.法二：由bc，b30，bcsin 303知本题有两解由正弦定理得sin c，c60或120，当c60时，a90，abc为直角三角形由勾股定理得a6，当c120时，a30，abc为等腰三角形，a3.类题通法已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边活学活用3已知：在abc中，cos a，a4，b3，则c_.解析：a为b，c的夹角，由余弦定理得a2b2c22bccos a，169c26c，整理得5c218c350.解得c5或c(舍)答案：5判断三角形的形状例4在abc中，若acos abcos bccos c，试判断abc的形状解由余弦定理可得abc等式两边同乘以2abc得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(a2b2c2)，整理化简得a4b42a2b2c4，(a2b2)2c4.因此有a2b2c2或b2a2c2.即a2b2c2或b2a2c2故abc为直角三角形类题通法判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状活学活用4在abc中，若cos a，试判断其形状解：由cos a得cos a，即，b2c2a22b2，即a2b2c2，因此abc是以c为直角的直角三角形典例如图所示，在四边形abcd中，adcd，ad10，ab14，bda60，bcd135，求出bc的长解题流程规范解答设bdx.在abd中，根据余弦定理，ab2ad2bd22adbdcosbda，142102x2210xcos 60，即x210x960，解得x116，x26(舍去)，bd16.adcd，bda60，cdb30.在bcd中，由正弦定理，bc8.名师批注 将四边形abcd分解为两个abd和bcd，利用余弦定理列出关于x的一元二次方程，化简方程时易出错，应注意步骤及计算的准确性 由adcd，bda60得cdb30，学生有时不易想到活学活用如图所示，在abc中，已知b45，d是bc边上一点，ad5，ac7，dc3，求ab.解：在adc中，cos c.又0c180，sin c.在abc中，abac7.随堂即时演练1在abc中，已知a30，且3ab12，则c的值为()a4b8c4或8 d无解解析：选c由3ab12，得a4，b4，利用余弦定理可得a2b2c22bccos a，即1648c212c，解得c4或c8.2在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，若0，则abc()a一定是锐角三角形 b.一定是直角三角形c一定是钝角三角形 d是锐角或直角三角形解析：选c由0得cos c0，所以cos c0，从而c为钝角，因此abc一定是钝角三角形3(2012陕西高考)在abc中，角a，b，c所对边的长分别为a，b，c.若a2，b，c2，则b_.解析：由余弦定理得b2a2c22accos b4122224，所以b2.答案：24在abc中，已知a7，b3，c5，则最大的角是_解析：acb，a为最大角cos a，又0a180，a120.答案：1205在abc中，已知a5，b3，角c的余弦值是方程5x27x60的根，求第三边c的长解：5x27x60可化为(5x3)(x2)0.x1，x22(舍去)cos c.根据余弦定理，c2a2b22abcos c523225316.c4，即第三边长为4.课时达标检测一、选择题1在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a，a，b1，则c()a1 b.2c.1d.解析：选b由余弦定理a2b2c22bccos a，得c2c20，解得c2或c1(舍去)2在abc中，若a8，b7，cos c，则最大角的余弦值是()a b.c d解析：选c由余弦定理，得c2a2b22abcos c82722879，所以c3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos a.3在abc中，b60，b2ac，则此三角形一定是()a直角三角形 b.等边三角形c等腰直角三角形 d钝角三角形解析：选b由余弦定理，得b2a2c2ac，又b2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac.b60，ac60.故abc是等边三角形4(2013宁阳高二检测)在abc中，bcos aacos b，则abc是()a等边三角形 b.等腰三角形c直角三角形 d锐角三角形解析：选b因为bcos aacos b，所以ba.所以b2c2a2a2c2b2.所以a2b2.所以ab.故此三角形是等腰三角形5在abc中，b60，最大边与最小边之比为(1)2，则最大角为()a45 b.60c75 d90解析：选c由题意可知cba，或abc，不妨设c2x，则a(1)x，cos b.即b26x2.cos c，c45，a180604575.二、填空题6(2012湖北高考)设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若(abc)(abc)ab，则角c_解析：(ab)2c2ab，cos c，c.答案：7在abc中，a120，ab5，bc7，则的值为_解析：由余弦定理可得49ac22525accos 120，整理得：ac25ac240，解得ac3或ac8(舍去)，再由正弦定理可得.答案：8在abc中，若sin asin bsin c357，则c的大小是_解析：因为sin asin bsin c357，由正弦定理可得abc357，设a3k(k0)，则b5k，c7k，由余弦定理的推论得cos c，又0c180，所以c120.答案：120三、解答题9在abc中，若已知(abc)(abc)3ab，并且sin c2sin bcos a，试判断abc的形状解：由正弦定理，可得sin b，sin c.由余弦定理，得cos a.代入sin c2sin bcos a，得c2b.整理得 ab.又因为(abc)(abc)3ab，所以a2b2c2ab，即cos c.故c.又ab，所以abc为等边三角形10在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，且2bcos accos aacos c(1)求角a的大小；(2)若a，bc4，求bc的值解：(1)根据正弦定理2bcos accos aacos c2cos asin bsin acos ccos asin csin (ac)sin b，sin b0，cos a，0a180，a60.(2)由余弦定理得：7a2b2c22bccos 60b2c2bc(bc)23bc，把 bc4代入得bc3，故bc3._1.2应用举例1.2.1正、余弦定理在实际中的应用测量中的基本术语提出问题李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中问题1：李尧家在学校的哪个方向？提示：东南方向问题2：能否用角度再进一步确定其方位？提示：可以，南偏东45或东偏南45.导入新知实际测量中的有关名称、术语名称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90)南偏西60(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角化解疑难解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节测量高度问题例1如图，为了测量河对岸的塔高ab，有不同的方案，其中之一是选取与塔底b在同一水平面内的两个测点c和d，测得cd200米，在c点和d点测得塔顶a的仰角分别是45和30，且cbd30，求塔高ab.解在rtabc中，acb45，若设abh，则bch；在rtabd中，adb30，则bd h.在bcd中，由余弦定理可得cd2bc2bd22bcbdcoscbd，即2002h2(h)22hh，所以h22002，解得h200(h200舍去)即塔高ab200米类题通法测量高度问题的要求及注意事项(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解；(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差活学活用1.如图，a、b是水平面上两个点，相距800 m，在a点测得山顶c的仰角是25，bad110，又在点b测得abd40，其中d点是点c在水平面上的垂足求山高cd(精确到1 m)解：在abd中，adb1801104030，由正弦定理得ad1 028.5(m)，在rtacd中，cdadtan 25480(m)答：山高约为480 m.测量角度问题例2如图，在海岸a处，发现北偏东45方向，距a处(1)n mile的b处有一艘走私船，在a处北偏西75的方向，距离a处2 n mile的c处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从b处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？解设缉私船用t h在d处追上走私船，则有cd10t，bd10t，在abc中，ab1，ac2，bac120，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccos bac(1)2222(1)2cos 1206，bc，且sin abcsin bac.abc45.bc与正北方向垂直cbd9030120，在bcd中，由正弦定理，得sin bcd，bcd30.即缉私船沿东偏北30方向能最快追上走私船类题通法 解决追及问题的步骤(1)把实际问题转化为数学问题；(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了；(3)最后把数学问题还原到实际问题中去活学活用2.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在a处获悉后，立即测出该货船在方位角为45，距离为10海里的c处，并测得货船正沿方位角为105的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间解：在abc中，根据余弦定理，有ab2ac2bc22acbccos 120，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)舰艇需1小时靠近货船此时ab10，bc10，又ac10，所以cab30，所以护航舰航行的方位角为75.测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解【角度一】两点不相通的距离如图所示，要测量一水塘两侧a、b两点间的距离，其方法先选定适当的位置c，用经纬仪测出角，再分别测出ac，bc的长b，a，则可求出a，b两点间的距离即ab.若测得ca400 m，cb600 m，acb60，试计算ab长解：在abc中，由余弦定理得ab2ac2bc22acbccosacb，ab2400260022400600cos 60280 000.ab200 m.即a、b两点间的距离为200 m.【角度二】两点间可视但有一点不可到达如图所示，a，b两点在一条河的两岸，测量者在a的同侧，且b点不可到达，要测出ab的距离，其方法在a所在的岸边选定一点c，可以测出ac的距离m，再借助仪器，测出acb，cab，在abc中，运用正弦定理就可以求出ab.若测出ac60 m，bac75，bca45，则a、b两点间的距离为_解析：abc180754560，所以由正弦定理得，ab20(m)即a、b两点间的距离为20 m.答案：20 m【角度三】两点都不可到达如图，a，b两点在河的同侧，且a，b两点均不可到达，测出ab的距离，其方法测量者可以在河岸边选定两点c，d，测得cda，同时在c，d两点分别测得bca，acd，cdb，bda.在adc和bdc中，由正弦定理分别计算出ac和bc，再在abc中，应用余弦定理计算出ab.若测得cd km，adbcdb30，acd60，acb45，求a，b两点间的距离解：adcadbcdb60，acd60，dac60，acdc.在bcd中，dbc45，由正弦定理，得bcsinbdcsin 30.在abc中，由余弦定理，得ab2ac2bc22acbccos 452.ab(km)a，b两点间的距离为 km.随堂即时演练1若p在q的北偏东4450方向上，则q在p的()a东偏北4510方向上b北偏东4550方向上c南偏西4450方向上 d西偏南4550方向上解析：选c如图所示，点q在点p的南偏西4450的方向上2海上有a、b两个小岛相距10海里，从a岛望c岛和b岛成60的视角，从b岛望c岛和a岛成75视角，则b、c间的距离是()a10 海里b. 海里c5 海里 d5 海里解析：.选d如图，c180607545，ab10，由正弦定理得，bc5(海里)，故选d.3.如图，线段ab、cd分别表示甲、乙两楼，abbd，cdbd，从甲楼顶部a处测得乙楼顶部c处的仰角为30，测得乙楼底部d的俯角60，已知甲楼高ab24米，则乙楼高cd_米解析：过a作aecd，垂足为e，edab24米，则ae8(米)在rtace中，ceaetan 3088(米)cdceed82432(米)答案：324.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点a、b，望对岸的标记物c，测得cab45，cba75，ab120米，则河的宽度为_解析：如图acb180457560，在abc中，.bc120，河宽为bcsincbasin 7520(3)米. 答案：20(3)米5.如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度由b向c航行，航行的方位角是140.a处有一灯塔，其方位角是110，在c处观察灯塔a的方位角是35，由b到c需航行半个小时，求c到灯塔a的距离解：在abc中，bc4020(km)，abc14011030，acb(180140)3575，bac75.由正弦定理，得，ac10()(km)答：c到灯塔a的距离为10() km.课时达标检测一、选择题1从a处望b处的仰角为，从b处望a处的俯角为，则，的关系为()a b.c90 d180解析：选b根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图知，故应选b.2两灯塔a，b与海洋观察站c的距离都等于a(km)，灯塔a在c北偏东30，b在c南偏东60，则a，b之间距离为()a.a kmb.a kmca km d2a km解析：选aabc中，acbca，acb90，aba.3有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延长的长度(单位：m)是()a5 b.10c10 d10解析：选c如图，设将坡底加长到b时，倾斜角为30，在abb中，利用正弦定理可求得bb的长度在abb中，b30，bab753045，ab10 m，由正弦定理，得bb10(m)坡底延伸10 m时，斜坡的倾斜角将变为30.4一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔p的南偏西75距塔68海里的m处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处，则这只船的航行速度为()a.海里/小时 b.34海里/小时c.海里/小时 d34海里/小时解析：选a如图所示，在pmn中，mn34，v(海里/小时)5.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于a1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的b1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达a2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的b2处，此时两船相距10海里，则乙船每小时航行()a10海里 b.20海里c30海里 d30海里解析：选d如图，连结a1b2，在a1a2b2中，易知a1a2b260，又易求得a1a23010a2b2，a1a2b2为正三角形，a1b210.在a1b1b2中，易知b1a1b245，b1b40020022010200，b1b210，乙船每小时航行30海里二、填空题6某人从a处出发，沿北偏东60行走3 km到b处，再沿正东方向行走2 km到c处，则a，c两地距离为_km.解析：如右图所示，由题意可知ab3，bc2，abc150.由余弦定理，得ac2274232cos 15049，ac7.则a，c两地距离为7 km.答案：77一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x_.解析：如图所示，设蜘蛛原来在o点，先爬行到a点，再爬行到b点，易知在aob中，ab10 cm，oab75，abo45，则aob60，由正弦定理知：x(cm)答案： cm8某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60方向航行30 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为_ n mile.解析：如图所示，b是灯塔，a是船的初始位置，c是船航行后的位置，则bcad，dab30，dac60，则在rtacd中，dcacsin dac30sin 6015 n mile，adaccos dac30cos 6015 n mile，则在rtadb中，dbadtandab15tan 305 n mile，则bcdcdb15510 n mile.答案：10三、解答题9海岛o上有一座海拔1 000米的山，山顶上设有一个观察站a，上午11时，测得一轮船在岛北偏东60的c处，俯角30，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60的b处，俯角60.则该船的速度为每小时多少千米？解：如图所示，设观察站a在水平面上的射影为o，依题意oboatan 30(千米)，ocoatan 60 (千米)，则bc (千米)船速v2(千米/小时)10甲船在a处观察到乙船在它的北偏东60方向的b处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶多少海里解：设甲沿直线与乙船同时到c点，则a、b、c构成一个abc，如图，设乙船速度为v，则甲船速度为v，到达c处用时为t.由题意bcvt，acvt，abc120.在abc中，由余弦定理ac2ab2bc22abbccos120，3v2t2a2v2t2avt.2v2t2avta20，解得vt(舍)或vta.bca，在abc中abbca，bacacb30.答：甲船应取北偏东30的方向去追乙，此时乙船行驶a海里12.2正、余弦定理在三角形中的应用三角形的面积公式提出问题在abc中，若ac3，bc4，c60.问题1：abc的高ad为多少？提示：adacsin c3sin 60.问题2：abc的面积为多少？提示：sabcbcad43.问题3：若acb，bca，你发现abc的面积s可以直接用a，b，c表示吗？提示：能sabsin c.导入新知三角形的面积公式(1)saha(ha表示a边上的高)(2)sabsin cbcsin aacsin b.化解疑难三角形的面积公式sabsin c与原来的面积公式sah(h为a边上的高)的关系为：hbsin c，实质上bsin c就是abc中a边上的高三角形的面积计算例1在abc中，已知c120，ab2，ac2，求abc的面积解由正弦定理知，即，所以sin b，由于abac，所以cb，故b30.从而a1801203030.所以abc的面积sabacsin a22sin 30 .