控制第四章复习题.pdf

记住画根轨迹的八条法则 注 实轴上的根轨迹记住画根轨迹的八条法则 注 实轴上的根轨迹 非常重要 如果实轴上的根轨迹画错了 整个根非常重要 如果实轴上的根轨迹画错了 整个根 轨迹就全错了 轨迹就全错了 一一 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 1 当当从从时 绘制系统的闭环根轨迹图 时 绘制系统的闭环根轨迹图 2 求系统为欠阻尼时的求系统为欠阻尼时的a值范围 值范围 3 确定确定a值范围 使系统在单位斜坡信号作用下值范围 使系统在单位斜坡信号作用下 的稳态误差的稳态误差 4 2 SSS aS SG 0a 5 0 ss e 解 解 1 系统开环传递函数为 系统开环传递函数为 单位负反馈系统 单位负反馈系统 闭环传递函数为 闭环传递函数为 闭环特征方程为 闭环特征方程为 整理得 整理得 根轨迹方程 根轨迹方程 4 2 SSS aS SG Q aSSS aS SSS aS SSS aS SG SG S 96 4 2 1 4 2 1 23 096 23 aSSS 0 96 1 23 SSS a 令令为等效的开环传递函数为等效的开环传递函数 223 3 96 SS a SSS a SG 根轨迹方程 根轨迹方程 1 SG 当当从从时 开环零点 时 开环零点 开环极点 开环极点 0a0 m 3 0 3 321 PPPn实轴上的根轨迹为 实轴上的根轨迹为 0 3 及 3 0 3 渐近线条数 渐近线条数 n m 3 渐近线与实轴的交点坐标 渐近线与实轴的交点坐标 渐近线与实轴正方向夹角 渐近线与实轴正方向夹角 2 3 3 3 11 mn ZP m i i n i i a 3 3 12 mn k a 分离点 分离点 0 3 1 3 11 ddd 解得 解得 44 1 3 1 2 SSad 分离点处系统为临界阻尼 分离点处系统为临界阻尼 分离角 分离角 0 90 2 180 l 令令代入闭环特征方程 代入闭环特征方程 jS 0 9 6 23 ajjj 解得 解得 543 a 闭环根轨迹如图所示 闭环根轨迹如图所示 3 3 10 3 j 2 当根轨迹在复平面上时 系统处于欠阻尼状态当根轨迹在复平面上时 系统处于欠阻尼状态 闭环极点为共轭复根 则闭环极点为共轭复根 则a的范围为 的范围为 544 a 3 当当时 闭环根轨迹在时 闭环根轨迹在S的左半平面的左半平面 540 a 系统稳定系统稳定 输入为单位斜坡信号输入为单位斜坡信号 而开环传递函数为 而开环传递函数为ttr 1 4 1 2 8 1 4 2 SS S a S a SSS aS SG 则为 型系统 开环增益为 则为 型系统 开环增益为 8 a k 则 则 则 则 5 0 81 ak ess16 a 的取值范围为的取值范围为a 5416 a 二二 系统结构如下图所示 系统结构如下图所示 1 绘制绘制T从从变化的根轨迹 变化的根轨迹 2 确定系统在欠阻尼状态下确定系统在欠阻尼状态下T的取值范围 的取值范围 3 求闭环极点出现重根时的闭环传递函数 求闭环极点出现重根时的闭环传递函数 0 TS 1 S S 1 S 2R S C S 解 解 1 系统的开环传递函数为 系统的开环传递函数为 则闭环传递函数为则闭环传递函数为 特征方程为 特征方程为 1 1 2 SS TSS SG开 参量根轨迹参量根轨迹 2 22 1 2 1 2 STSSS TSS SG SG S 开 开 0 2 22 2 STSSSSD 0 22 2 1 2 SS STS 则等效开环传递函数 则等效开环传递函数 根轨迹方程 根轨迹方程 1 1 2 22 2 2 jSjS STS SS STS SG 1 SG 开环零点 开环零点 2 0 2 21 ZZm 开环极点 开环极点 jPjPn 1 1 2 21 jdjddd 1 1 1 1 2 11 分离点 分离点 11 11 m i i n i i ZdPd 求分离点的坐标公式求分离点的坐标公式 解得 解得 1 d 分离角 分离角 此时对应为此时对应为T值 值 0 90 2 180180 l l 应使用模值方程求得 应使用模值方程求得 11 11 2 T jSjS SST 这即为这即为从从变变化时的根轨迹 化时的根轨迹 0T 10 P2 1 j P1 1 j 2 Z2 Z1 T 0 T 2 系统在欠阻尼状态下 也就是根轨迹在复平面系统在欠阻尼状态下 也就是根轨迹在复平面 上变化 而不在实轴上变化上变化 而不在实轴上变化 3 闭环极点出现重根时 也就是根轨迹在分离点闭环极点出现重根时 也就是根轨迹在分离点 处 此时闭环极点处 此时闭环极点系统此时为临界系统此时为临界 阻尼阻尼 则闭环传递函数为 则闭环传递函数为 10 k 0 31 33 3 0 3 4 k k k 31 33 3 3 4 k k 四四 某单位负反馈系统的开环传递函数为 某单位负反馈系统的开环传递函数为 1 绘制系统的闭环根轨迹图 绘制系统的闭环根轨迹图 2 当当时 确定时 确定值范围 使系统的稳态值范围 使系统的稳态 误差误差 3 当系统的一个闭环极点为当系统的一个闭环极点为 1时 求出系统的其时 求出系统的其 它各个闭环极点的值 它各个闭环极点的值 2 1 SS aS SG 0 a ttr2 1 a 6 0 ss e 解 系统结构图为 解 系统结构图为 特征方程为 特征方程为 整理 整理 0 1 SG 0 1 1 2 SS aS 022 02 23 23 aSSS aSSSS 0 22 1 23 SSS a G S R S C S 等效开环传递函数为 等效开环传递函数为 1 1 1 1 22 22 SS a SSS a SG开 则开环极点 则开环极点 jPjPPn 1 1 0 3 321 开环零点 开环零点 0 m 则根轨迹分支有则根轨迹分支有n 3条 条 渐近线与实轴交点 渐近线与实轴交点 3 2 3 11 11 jj mn ZP m i i n i i a 渐近线与实轴正方向夹角 渐近线与实轴正方向夹角 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点代入特征方程 代入特征方程 3 12 mn k a 和和 jS 02 2 23 ajjj 02 02 3 2 a 4 2 a Q存在复数极点存在复数极点有起始角有起始角 0000 2 1 2 1 2 4590135180 12 2 n i i i m i iP PPZPk 0 45 3 P 对称的对称的 由以上信息 可以绘制系统的闭环根轨迹图 由以上信息 可以绘制系统的闭环根轨迹图 2 由根轨迹图可知系统稳定的由根轨迹图可知系统稳定的a值范围为 值范围为 40 a 而当而当时 系统的开环传递函数为 时 系统的开环传递函数为 ttr2 1 1 2 3 P2 P3 a 0 a 0 a 0 a 0 P1 j a a 4 1 3 22 1 1 1 SS a S a SS aS SG 为为 型系统 开环增益为型系统 开环增益为k a 则 则 26 0 2 1 0 a ak v ess 则 则 a的取值范围 的取值范围 40 2 a a 42 a 3 当系统的一个闭环极点为当系统的一个闭环极点为 1时时 则代入特征方程 则代入特征方程 1022 23 aaSSS 1 1 1 1 12 122 1 222223 23 32 SSSSSSSSSS SSSSSSSS 即 即 1 2 32 SSSSSS 2 31 2 31 32 j S j S 则 则 为系统另外两为系统另外两 个闭环极点的值 则此时系统的闭环传递函数为 个闭环极点的值 则此时系统的闭环传递函数为 2 31 2 31 1 1 321 j S j SS S SSSSSS aS S 五五 某单位反馈系统 开环传递函数为某单位反馈系统 开环传递函数为 1 试绘制系统的根轨迹 试绘制系统的根轨迹 2 确定系统稳定的确定系统稳定的k值范围及临界阻尼时的闭环值范围及临界阻尼时的闭环 传递函数 写成零极点乘积形式 传递函数 写成零极点乘积形式 解 系统结构图如下 解 系统结构图如下 5 1 4 SSS kS SG 0 k G S R S C S 如果没有特别强调是正反馈 则单位反馈系统都如果没有特别强调是正反馈 则单位反馈系统都 是单位负反馈系统 该题为参量根轨迹 是单位负反馈系统 该题为参量根轨迹 特征方程 特征方程 等效开环传递函数为 等效开环传递函数为 0 5 1 4 1 1 SSS kS SG 0496 23 kSSSSD 2 3 4 SS k SG开 根轨迹方程 根轨迹方程 0 3 4 1 2 SS k 0开环零点 开环零点 m 开环极点 开环极点 3 3 0 3 321 PPPn 则根轨迹有则根轨迹有3条分支 有条分支 有3条渐近线 条渐近线 根轨迹与实轴的交点 根轨迹与实轴的交点 2 3 33 11 mn ZP m i i n i i a 渐近线与实轴正方向夹角渐近线与实轴正方向夹角 3 12 mn k a 0 4 1 3 11 ddd 分离点 分离点 解得 解得 1 d 分离角 分离角 0 90 2 180180 l l 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 代入特征方程代入特征方程 jS 049 6 23 kjjj 09 064 3 2 k 5 13 3 k 根轨迹根轨迹 1 2 3 k 13 5 3 3 P2 P3 0 K 0 2 由根轨迹图可以看出 只有根轨迹都位于由根轨迹图可以看出 只有根轨迹都位于S平平 面时系统才是稳定的 所以系统稳定的面时系统才是稳定的 所以系统稳定的k值范值范 围为围为 而临界阻尼时 也即分离 而临界阻尼时 也即分离 点处有重根 重闭环极点 点处有重根 重闭环极点 则代入特征方程 则代入特征方程 另一个闭环极点为另一个闭环极点为 则 则 5 130 k 1 2 1 S 104 31 1 2 kk 3 S 4 3 1 22 3 SSSSS 则解得 则解得 则则 另外一个闭环极点 另外一个闭环极点 临界阻尼时的闭环传递函数为临界阻尼时的闭环传递函数为 2 222 3 1 4 1 4 1 1 SS SSSSSS 44 33 SSSS 2 1 4 1 4 SS S S 开环零点 闭环零点 不变 仍为 开环零点 闭环零点 不变 仍为 kS 1 S即即 六六 系统结构如下图所示 要求 系统结构如下图所示 要求 1 绘制绘制从从变化的根轨迹 要计算分离变化的根轨迹 要计算分离 点 渐近线 根轨迹与虚轴交点 起始角 点 渐近线 根轨迹与虚轴交点 起始角 2 确定三个闭极点均为负实数的确定三个闭极点均为负实数的值范围 值范围 3 当一个特征根为当一个特征根为时 求另时 求另2个特征根 个特征根 0 K k 1 1 S R S C S K S S 2 j S 2 j 解 开环传递函数解 开环传递函数 根轨迹方程 根轨迹方程 则系统有则系统有3个开环极点 个开环极点 n 3 没有开环零点没有开环零点m 0 2 2 jSjSS k SG 开 均可或 开开 1 0 1 SGSG 3 2 2 0 321 njSjSS 根轨迹与实轴的交点坐标 根轨迹与实轴的交点坐标 3 4 3 2 2 11 jj mn ZP m i i n i i a 渐近线与实轴正方向夹角渐近线与实轴正方向夹角 3 12 mn k a 0 2 1 2 11 jdjdd 分离点 分离点 整理得 整理得 解得 解得 分离角分离角 则 则 0583 2 dd 67 11 6 28 212 1 ddd 0 90 2 180180 l l 把把代入特征方程 代入特征方程 jS 0 2 2 1 jSjSS k 054 23 kSSS 054 23 kjj 05 04 3 2 k 20 5 k 0 11 5 63 2 2 1 12 12 arctgk PPZPk i n li i li m i lPl 求起始角 求起始角 根据对称性根据对称性极点的起始角极点的起始角 jS 2 0 5 63 可画出根轨迹图 可画出根轨迹图 10 j 2 j 2 j 1 67 2 要使三个闭环极点均是负实数要使三个闭环极点均是负实数 在分离点在分离点处 代入特征方程 处 代入特征方程 得处得处的的 在分离点在分离点处 代入特征方程中得处 代入特征方程中得处处 的的 只有当只有当 1 1 d 0 2 2 1 jSjSS k 1 d 2 k 67 1 2 d 2 d 85 1 k 20 285 1 85 1 k k k 交集 也即交集 也即285 1 k 3 当一个特征根为当一个特征根为时 代入根轨迹方程时 代入根轨迹方程 闭环特征方程为 闭环特征方程为 则 则 1 1 S 21 1 1 1 k jj k 23 54 1 kSSS k SG SG S 开 开 254 23 321 SSSSSSSSS 254 1 23 32 SSSSSSSS 则则 则另外两个特征根为则另外两个特征根为 1 2 23 2 32 SSSSSSSS 21 32 SS 21 32 SS 也可由根之和 根之积与方程式系数的关系求也可由根之和 根之积与方程式系数的关系求 2 4 321 321 sss sss 2 11 mnps n i i n i i 前提 根之和根之和 根之积根之积常数项 n n i i s 1 1 也可解得另外两个特征根为也可解得另外两个特征根为 21 32 SS 七七 已知单位反馈系统的开环传递函数为已知单位反馈系统的开环传递函数为 要求绘制要求绘制从从变化的闭环根轨迹 变化的闭环根轨迹 解 极点数解 极点数 渐近线 渐近线 2 1 SS k SG k 0 1 0 3 321 PPPn 3 2 3 33 12 3 1 i i a a P k 分离点 分离点 分离角 分离角 0 1 21 d