例谈_离散数学_课堂教学中数学建模思想的融入_白莲花.pdf

收稿日期 作者简介 白莲花 女 内蒙古工业大学理学院副教授 主要研究方向为离散数学 教学研究 贾永旺 男 内蒙古工业大学理学院讲师 主要研究方向为图论与组合优化 年 月 内蒙古师范大学学报 教育科学版 第 卷 第 期 例谈 离散数学 课堂教学中数学建模思想的融入 白莲花 贾永旺 内蒙古工业大学 理学院 内蒙古 呼和浩特 摘 要 要在 离散数学 课堂教学中融入数学建模思想 应该在何处融入以及如何融入是值得研究的问 题 实践表明 离散数学的概念 公式定理以及例题习题都可成为建模思想融入的 融入点 而课内探究学习是其 比较合适的教学方法 关 键词 离散数学 数学建模思想 融入点 教学 中图分类号 文献标识码 文章编号 实践表明 数学建模对学生的训练与传统数学课程相比 较很不一样 能培养学生观察力 想象力 逻辑思维能力以及 分析 解决实际问题的能力 也可以对全面提高大学生的素 质 培养有创新精神的复合型应用人才起到积极的作用 但 是要真正实现这一点 还要在平时的传统数学课中配合教材 适时融入数学建模思想 处处做到 润物细无声 离散数学 的教学内容多 学时紧 在课堂上不能占用很 多时间去求解和计算 但是在不改变课程体系的前提下 我 们可以把数学建模的思想融入到离散数学的课堂教学中去 在讲解基本知识的同时 引入典型的建模实例 让学生既领会 离散数学的基本体系结构 也学会如何使用离散数学的知识 来建立离散数学模型 进而用于解决实际问题 要在 离散数学 课堂教学中融入数学建模思想 应该在 何处融入以及如何融入是值得研究的问题 笔者根据我校近 几年的实践经验 谈谈这方面的体会 一 离散数学 课堂教学中融入数学建模思想的含义 数学建模思想是一种数学应用思想 是通过 两个世界 的转换 来解决现实世界实际问题的思想 这里所说的两个 世界是指现实世界和数学世界 我们把从现实世界的 问题 域 到数学世界中的 数学模型 的转换过程叫做建模过程 从 数学模型 到 数学模型解 的求解过程叫做模型求解过 程 从 数学模型解 到 问题域解 的过程叫做逆转换过程 我们把上述这种转换叫做 两个世界的转换 图 所示的 数学建模示意图给出了 两个世界的转换 框架 它是数学建 模思想的直观解释 图 数学建模示意图 从 两个世界的转换 框架可知 离散数学 课堂教学中 融入数学建模思想应当包含两个含义 要培养学生在学 习数学知识的过程中有意识地思考如何去运用已经学过的 数学知识 在什么样的情况下可以使用这些知识 要引 导学生在碰到实际问题的时候 善于发现其中的数学规律 从而运用数学知识来解决实际问题 二 融入点 的选择和案例的设置 在不打破课程的原有结构 不增加课时前提下 谈及 离 散数学 教学中建模思想的融入 就应注意 融入点 的问题 融入点 并不是越多越好 一定是在合适的知识载体上恰如 其分地融入 这里所说的 恰如其分 既包括融入点数量的 恰当 也包括融入点位置选择的恰当 这里所说的 合适的 知识载体 应该是数学模型或者既有助于理解理论 又富有 启发性的案例 另外 传统的教学方法不适合建模思想的融 入 而课内探究学习方式比较适合它 所以 融入点 的选 择和对 应 案 例 的 设 置 必 须 考 虑 组 织 探 究 学 习 活 动 的 条 件 配置难易适度的学习内容 问题太易 学生会产 生厌倦和轻视心理 太难 学生望而生畏 在学生的 最近发 展区 内设置的数学学习内容难易适度 客观上要求学生去 努力探索 积极研究 使得学生能够 跳一跳 摘果子 学生应具备对应的数学知识量和良好的数学认知结构 数 学知识量不够 则缺乏想象力 探究往往流于形式 探究学 习强调信息的提取和主体在已有知识经验上的主动建构 如果是 零碎 混乱 知识之间相互割裂 的认知结构 其信息 的提取必受到阻碍 也不具备有关的数学思想方法和数学活 动经验 在同化新知识时会发生困难 在解决数学问题中不 能发挥作用 要创设良好的数学问题情境 良好的数学 问题情境 能增强解决问题的内驱力 它不但可以激发学生 的学习兴趣和愿望 促进学生情感的发展 而且可以不断地 维持 强化 调整学习动力 对探究过程起着引导 定向 支 持 调节和控制作用 要激发学生的兴趣 因为兴趣是最 好的老师 三 融入点 的举例 根据上述分析 在 离散数学 课堂教学中可选择为 融 入点 的内容比较多 下面以例谈方式讨论几个侧重点 一 融入点 之一 重要概念 概念是数学的精髓和灵魂 是数学现象的高度抽象和概 括 离散数学中很多概念是从现实生活中各种实际问题抽 象概括出来的数学模型 本身就体现了数学建模思想 因此 形成概念的具体实例 重要概念的来源和背景都可成为建模 思想融入的比较好的素材 案例 从具体实例抽象概括 形成关系概念 案例 完成如下三个实例中提出的要求 利用抽象概括 的方法总结其共性 实例 四支球队 之间进行了一轮比赛 比赛 结果为 胜 胜 试写出四支球队的胜负关系 实例 一部手机通讯录 它记录的是联系人名称和对 应的电话号码之间的关系 试写出人名和电话号码之间的 对应关系 实例 设 表示学生集合 表示可选课程的集合 表示成绩的集合 学 生 的选课情况和课程成绩情况为 学生 选修课程 和 成绩分别为 学生 选修课程 和 成绩分别为 学生 选修课程 和 成绩分别为 试写出学生 课程和成绩之间的关系 教师引导学生有意识地思考如何运用已经学过的知识 解决这些问题 笔者认为可按如下问题逐步进行探究 问题 在每个实例中 研究对象是哪些 它们构成什 么样的集合 问题 谁胜谁负 的表达形式有顺序性和整体性 如 胜 在前 在后 且二者不可分开 用什么模型表示 它 问题 若不是通过描述其内涵来刻画事物之间的联 系 而是通过列举其外延来描述这种联系 那么建立什么样 的模型表示上述具体例子中的关系 问题 把得到的结论与研究对象的集合比较可得到什 么样的结果 通过师生共同探究 容易得到如下结论 对于实例 研究对象的集合是 若用序 偶 表示 胜 则四支球队之间的胜负关系表示为 集合 这是 与 的笛卡儿乘积 的子集 对于实例 如果 用表示所有联系人姓名的集 合 用 表示所有有关电话号码的集合 用序偶 表 示 的电话号码是 那么所有有关的序偶的集合构成了这 个手机通讯录 显然 它是笛卡儿乘积 的一个子集 对于实例 学生 课程和成绩三者之间的关系 不妨称之为 学生课程成绩关系 如果用有序 元组 表示学 生 的课程 的成绩为 那么学生课程成绩关系可表示为 如下集合 显然 这是 个集合 的笛卡儿乘积 的一个子集 三种具体关系虽然含义不同 但是它们的表示方式相 同 它们都可以用研究对象集合的笛卡儿积的子集表示 由 此可知 若把笛卡儿积的子集当成一个数学模型 那么可以 用它来表示关系 在已经学习序偶和笛卡儿积的基础上学生比较容易进 行上述探究活动 学生经过抽象概括过程 不仅能够掌握集 合是关系概念的本质 而且也对关系概念的形成有了进一步 的认识 案例 追溯概念产生历史 探讨经典问题的解决方 法 深刻理解数学方法的本质 在普鲁士的哥尼斯堡镇有一个岛 叫做 奈发夫 普莱 格尔河的两支流绕其旁 见图 七座桥 横跨这两条支流 问 一个人能不能设计一次散步 使得 每座桥都走过一次 而且不多于一次 白莲花 贾永旺 例谈 离散数学 课堂教学中数学建模思想的融入 在 年 瑞士数学家列昂哈德 欧拉 发表论文 与位置几何有关的一个问题的解 解 决了上述问题 这是图论的第一篇论文 所以人们普遍认为 图论诞生于 年 如今 人们把上述问题称为 哥尼斯堡 七桥问题 c d e C g a b B f DA C cd e b f DA a B a b 图 哥尼斯堡七桥 我们在讲图论引入课时 提前发放相关文献资料 要求 学生阅读相关内容 如文献 中的 欧拉 论哥尼斯堡七桥 问题 一文和文献 提供的 图论中若干著名问题的历史注 记 等 然后在课上师生共同追溯历史 回顾欧拉当年提出问 题和解决问题的思路和方法 并且将它们与教科书中的内容 进行比较 引入图论中的相关名词术语 虽然欧拉在解决这个问题时并没有用到现代意义的图 该问题与 一笔画问题 之间的联系直到 世纪末才被人们 提及 而我们在涉及该问题的书中常见的将陆地和桥抽象为 点和线那样的图 图 是英国数学家罗兹 鲍尔 在 年出版的 数学游戏与古 今问题 中首先使用的 但是欧拉采用大写字母表示陆 地 用它们记录过桥过程 例如 当一个人从 地过桥 或 到 地时 把这次过桥记作 如果步行者接着从 过桥 到 这次过桥记作 这接连的两次过桥记作 若 步行者继续从 过桥 到 记作 从而欧拉得到 一般性结论 过七座桥要用八个字母 这说明欧拉的解决问 题的思路中蕴含着如下思想 由于关心的是不重复地走完七 座桥 这与桥的长短 岛的大小等因素没有关系 因此可进行 假设化简 不考虑陆地相应的地形 桥的形状及长短 把四块 陆地分别可用 个顶点来表示 七座桥可用相应的顶点之间 的连线表示 强调上述内容之后 教师引导学生进一步探究 依据图 所示的 两个世界的转换 框架来分析教科书上介绍的 哥 尼斯堡七桥问题 的相关内容 体会建模思想方法的体现过 程 通过师生共同探究 可得如下结论 哥尼斯堡七桥问 题 的解决过程是体现数学建模思想的典范 当年欧拉没有 被局限在 哥尼斯堡七桥 这一特定问题 而是他提出了很一 般的问题 给定任意一个河道图与任意多座桥 要判断可能 不可能每座桥恰好走过一次 如今我们把走遍图的所有顶 点 经过图的所有边一次而且仅仅一次的回路叫做欧拉回 路 而存在这样回路的图叫做欧拉图 追溯图论产生历史 探讨经典问题的解决方法 这种教 学设计具有重要的教育功能 众所周知 数学的历史发展与 本身的逻辑体系不是一回事 如果教学过程中能够讲清二者 的关系 很好地体现 历史与逻辑相结合 的原则 那么这将 有助于学生理解数学的本质 另外 欧拉的分析思考方法 现在叫做 抽象分析法 抽象分析法在计算机领域中的 作用重大 英国数学家图灵用这个方法研究 计算 的本质 从而产生了 计算理论 二 融入点 之二 公式和定理 离散数学中的公式和定理是经过证明的真命题 是解题 的依据和工具 由于它具有丰富的含义 因此其产生背景 证明方法 结构形式 适用范围及其拓展等都可成为建模思 想融入的 融入点 案例 建模思想的指引下透过现象看本质 掌握等 式证明方法 证明关系运算性质 设 是任意的关系 则 设 是任意的关系 则 这是教材 关系的运算 这一节内容 关系理论中有很 多这类性质和定理的证明是教学的难点 其实在建模思想的 指导下 这个难点也比较容易突破 为了使学生掌握证明方 法 教师引导学生对前一节出现的性质的证明过程进行反 思 总结其思路和方法 为此可作如下探究 问题 设 是集合 在证明等式 时为什么从等式左侧集合选取的任意元 素是序偶而不是普通的元素 问题 分析证明过程的思考模式 问题 问题 中得到的结论能对本例应用吗 通过师生共同探究 可得到如下结论 首先从整体角度识别了等号两边的内容 发现它们均 为集合 从而问题转化为集合相等的证明问题 由于 三个集合通过并运算和笛卡尔积运算 无论顺序如何 的结果仍然是集合 而笛卡尔积运算结果是 序偶的集合 所以所选任意元素应为序偶 当然在证明过程 中用了并运算和笛卡尔积运算的定义之后证明才能顺利 进行 利用问题 中得到的模式可对本案例中性质给出证 明 证明的原问题转化为集合相等的证明问题 这是一种建 模方法的体现 识别元素的模样是抓住事物本质的特点 还 有每个题都有用的 紧扣定义解决问题 的关键环节 所以说 等号双侧的归结问题 元素模样的识别以及紧扣定义解决 问题 是一种 方法型模型 它能让学生学会透过问题的表 面形式发现其本质 然后用最简单而本质的方法 问题所涉 及的最基本对象的定义 来证明这个问题 形成一种类比分 白莲花 贾永旺 例谈 离散数学 课堂教学中数学建模思想的融入 析的思维方式 这样的证明题的训练能够使得学生碰到类 似的问题才能触类旁通 三 融入点 之三 例题和习题 一般的 教材中的例题具有一定的典型性 代表性 主 要用来帮助学生巩固所学知识 笔者认为 例题和习题是建 模思想融入的最佳 融入点 案例 改编例题为学习定理的问题情境 体现建模 思想 某单位要从 三人中选派若干人出国考察 需满 足下述条件 若 去 则 同去 若 去 则 不能 去 和 必须去一人且只能去一人 问有几种可能的 选派方案 在教材中这个例题在 范式 一节之后出现 我们把它改 造为用来学习 范式 的案例 范式 一节概念较多 如果按 教材里的顺序讲解 学生感到枯燥乏味 而如果把它改造为 学习本节内容的引例 以如下方式探究学习效果将会更好 在 两个世界的转换 框架下 引导学生经历建模的全过 程 对建模过程分析 引入析取范式 极小项等 新 概念 最 后通过对模型求解过程的探究得出求主析取范式的方法等 新 内容 教育心理学研究表明 当学生明确学习的具体目的和意 义之后就会产生一种强烈的学习愿望 推动他们积极主动地 学习 比起 先讲定义 定理 后讲应用题 的教学方式 案例 的教学设计有利于激发学生学习愿望 既传授知识又让学 生认识建模方法 案例 突出教材例题的建模过程 并对知识的应用 建立 条件触发点 在某次国际会议的预备会中 共有 人参加 他 们来自不同的国家 已知他们中任何两个无共同语 言的人 与其余有共同语言的人数之和大于或等于 试证能将这个人排在圆桌旁 使其任何人都能与两 边的人交流 教师引导学生考虑 研究对象的集合是什么样的 要证 明的结论的本质是什么 如何抽象已知条件 通过师生共 同探究 可得到如下结论 研究对象的集合是 从 圆桌 形 状得到启示 要将所有参会者都安排在圆桌旁就坐 并且任 何人都能与两边的人交流 即把 个人连接成一条环即可 有共同语言的人之间连线来建立边集 丨 与 有共同语言 这样得到 阶无向简单图 已知条件可转化为 且 均有 由 阶无向简单图中存在哈密顿回路的充分条 件可知 图 存在哈密顿回路 设 为 中 一条哈密顿回路 按这条回路的顺序安排座次即可 回路 本质的直观理解就是把图 的每个结点连成一 条环 这是哈密顿图的本质 哈密顿图是一种操作独特的图 模型 独特的操作使得图的所有顶点被安排在一个相连的 环上 所以哈密顿图能够解决像周游世