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从三视图到几何体 李新卫 三视图的投影特征是 长对正 高平齐 宽相等 即正 俯 视图的长对正 正 侧视图的高平齐 俯 侧视图的宽相等 将物体的三视图复原成其所表示的几何体 需抓住以下几 个读图要点 卜s 一 俯视图 图1 一 分解组合体 例1若某几何体的三视图 单位 e m 如图1 所示 则此 几何体的体积是 o m 3 思路 由正 侧视图可以看出 该几何体可分解成上 下两部 分 也可由正 俯视图将几何体分解为左 中 右三部分 结合 俯视图 得上半部分是长 宽 高分别为3 3 l 的长方体 下半部 分是长 宽 高分别为1 3 3 的长方体 因而 所求几何体的体积 为3 3 l 1 3 3 1 8 c m 例2一个几何体的三视图如图2 所示 则该几何体的表 面积为一 思路 从各视图的外围部分看 该几何体的构成中有一个 长 宽 高分别为8 6 2 的长方体 再从各视图内的其他线条来 看 该几何体是从长方体中挖去了一个直径为4 高为2 的圆柱 图2 体 且挖去圆柱体的轴线为长方体两竖直对角面的交线 因而 几何体的表面积为2 8 6 8 2 6 2 一2 1 r 2 2 2 砣 2 1 5 2 例3将若干个长方块搭成一个几何体 其三视图如图3 所示 指出这些长方块的搭叠形式 俯视图 t l2 图3图4 思路 如图4 我们在俯视图的各正方形中分别标出在该位 置上搭叠的长方块个数 由正视图第2 列有2 个长方形知 标记 2 或1 的3 个框中 右边二框至少有一框应为 2 由侧视图第 2 列有2 个长方形知 标记 2 或1 的3 个框中 下边二框至少有 一框应为 2 所以这3 个框中的标记有5 种可能的情形 图4 的 右边标示出了这3 个框的对应位置上各自搭叠的长方块个数所 有情形 二 辨识图形特征 像关于原点对称这一性质 便可较为轻松地作出函数f 茗 的 图象 利用 不等式f 茁 聋表示函数Y f 石 的图象在直线 Y z 的上方 这一问题本质使问题解决更直观 如图5 所示 直线Y 茹与函 灯 茁 的图象交于P 5 5 Q 一 5 一5 两点 观察图象即可得所 求解集为 一5 O u 5 从以上的分析不难发现 数 学概念的灵活应用 公式的恰当 选择 数学思想方法的合理使用 8 o i 豁i 畴 强 Y l 八彳 5 髟N x 侑 5 5 1 图5 使 多思少算 成为了可能 伽利略曾说过 一切推理都必须从 观察与实验中得来 在求解数学问题的过程中 必须根据题目 的具体特征 对题目进行深入的 细致的 透彻的观察 然后认真 思考 大胆联想 深挖条件 透过表面现象看清问题本质 找出 解题的规律 确定解题思路 减少繁琐的计算 使问题的解决事 半功倍 因此 我们在平时应该着重培养学生的观察能力与思维 能力 只有这样 多思少算 才不会是一句空话 这不仅有助于 学生对数学本质的理解 而且能大幅提高学生继续学习应具备 的数学素养和潜能 福建省惠安第三中学 3 6 2 1 0 0 万方数据 例4一空间几何体的三视图如图5 所示 则该几何体的 体积为 A 2 1 r 2 g B 4 1 r 2 彬 c 2 1 T 毕 D 4 1 r 竽 JJ 思路 由正 侧视图 将该几何体分解成上 下两半部分 再 由三视图的投影特征 将上 下两半部分的三视图分离开来 即 可得上半部分为一正四棱锥 下半部分为一圆柱 图6 且正四 棱锥的底面正方形内接于圆柱的底面圆 正四棱锥的侧棱长和 底面正方形对角线长均为2 圆柱的底面直径和高均为2 故所 求几何体的体积为 厄 z F F 盯 1 2 毕 JJ 2 1 r 正确选项为 C 矿吕昙 图5图6 例5一个几何体的三视图如图7 所示 则这个几何体的 体积为一 正视图 侧视图 俯视图 图7 思路 由俯 侧视图 将该几何体分解成前 后两半部分 再 由三视图的投影特征 将前 后两半部分的三视图分离开来 略 即可得前半部分为一正六棱柱 后半部分为一圆柱 从而 可求得几何体的体积为1 2 亨 3 竹 例6若某几何体的三视图如图8 所示 则这个几何体的 直观图可以是 思路 我们可应用排除法 由正 侧 俯视图依次排除 A B C 选项 得正确选项为 D 以下则通过对三视图的分 析 辨识特征 还原几何体 由正 侧视图 将该几何体分解成上 下两半部分 再由三视 图的投影特征 将上 下两半部分的三视图分离开来 图9 即 可得上半部分为一直三棱柱 下半部分为一长方体 还可由正 视图中的虚实线条关系知 两部分简单几何体的前面在同一平 面内 由侧视图中的虚实线条关系知 两半部分简单几何体的左 面在同一平面内 据此得正确选项为 D 臣雪固画 圈图昂A 匆B 8 俯视图 图l 二一xy 匕 胃 口 尘 口 上部分 厂 1 一 下部分 图9 三 注意垂直与平行关系 如果我们将各投影面均看成由2 条横线 2 条竖线所组成的 矩形 则 1 垂直于某一投影面的线段在与其垂直的投影面上的 投影为一个点 在另外二个投影面上的投影均为一条保持其长 度的横线或竖线 平行于某一投影面且不垂直于其他投影面的 线段 在与其平行的投影面上的投影为一条保持其长度的非横 非竖线段 在另外二个投影面上的投影均为一条 长度缩短了 的 横线或竖线 不平行于任一投影面的线段在三个投影面上 的投影均为一条 长度缩短了的 非横非竖线段 2 在几何体 中 垂直于某一投影面的面在该投影面上的投影为一条线段 平 行于某一投影面的面在该投影面上的投影保持了原形状 在另 外两个投影面上的投影均为一条横向或竖向的线段 辔缨 遮公 图1 0图1 l 例7 一个棱锥的三视图如图1 0 则该棱锥的全面积 单 位 e m 2 为 A 4 8 1 2 厄 B 4 8 2 4 厄 c 3 6 1 2 2 D 3 6 2 4 以 思路 我们在三个视图的各相关点处标上如图1 1 的字母 由三视图的投影特征知 俯视图上的线段日G H 1 分别与正视图 上的点曰 侧视图上的点F 相对应 点A 和D 为三棱锥上的同一 点 它们都与俯视图上的点 相对应 正视图上的线段A B A C 及 一 臼爪口 辟 万方数据 侧视图上的线段D E D F 均分别对应于俯视图上的线段 G J 故得原几何体为图1 2 所示的三棱锥 其中郇上底面G H I 结合 LG i l l 9 0 可求得该棱锥的全面积为4 8 1 2 厄 正确选项为 A H I 何 Q 侧 左 视图 图1 2图1 3 注 问题破解的关键点 是找到正视图 左视图上的点A D 均与俯视图上的点 相对应 并由此得到原三棱锥底面的垂线 A 上实际画图时 可不标记字母 例8一个空间几何体的三视图如图1 3 所示 则该几何体 的表面积为 A 4 8 B 3 2 8 1 7 c 4 8 8 1 7 D 8 0 思路 由三视图的投影特征知 俯视图中正方形框上的2 条 横线 框内的2 条横线分别对应于侧视图上梯形下底的2 端点 上底的2 端点 则原几何体为左 右二侧面为等腰梯形的直四棱 柱 左 右二侧面均与下侧面垂直 其表面积为 4 2 2 v F 了了 4 2 2 4 4 4 8 8 万 正确选项为 二 C 例9某几何体的三视图如图1 4 所示 该几何体的表面积 是 蛤除 公 墅 图1 4图1 5 A 2 8 6 万 B 3 0 6 万 c 5 6 1 2 万 D 6 0 1 2 万 思路 由三个视图的轮廓均为三角形知 该几何体为底面 是直角三角形的三棱锥 现在三个视图的各相关点处标上如图 1 5 的字母 由三视图的投影特征知 点A 和E B 和H G 和 分别 为三棱锥上的同一点 由俯视图的轮廓为直角三角形知 由侧 视图为不含其他线条的直角三角形知 侧视图上的线段E F 对 应于俯视图上的点 且正视图上的线段A B A C 均对应于侧视 图上的线段E F 从而 后侧面与下底面垂直 正视图中的点A 和 俯视图中的点K 相对应 由此得原三棱锥如图1 6 所示 几何体的表面积为三棱锥四个面 的面积之和 由L B C G 9 0 A D 上底 面B C G 并应用三垂线定理 可求得几 何体的表面积是3 0 6 3 正确选项为 B 注 问题破解的关键点 是发现正 视图中的点A 和俯视图中的点x 相对 应 四 少于三个的视图问题 图1 6 例1 0一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等 体积为 2 3 它的三视图中的俯视图如图1 7 所示 左视图是一个矩形 则 这个矩形的面积是一 思路 设正三棱柱的侧棱长和底面边长均为a 则 1 口2 s i n 6 0 o 2 万 口 2 由俯视图为正三角形知 正三棱柱 二 的底面就是这样的正三角形 如此 左视图中矩形的 高 为2 宽 等于俯视图中正三角形的高拈 所求左视图矩形的面积为 2 万 例1 1一个长方体去 掉一个小长方体 所得几 何体的正 主 视图与侧视 图分别如图1 8 所示 则该 几何体的俯视图为 思路 从正视图来看 去掉的小长方体在左边 从侧视图来看 去掉的小 长方体在前边 因而在俯 视图中 去掉的小长方体 对应的小长方形在左前 俯视图 图1 7 田田 正 主 视图 侧 左 视图 图1 8 H I Hb If 习 A B C D 边 正确选项为 C 例1 2某几何体的正视图和侧视图均如图1 9 所 示 则该几何体的俯视图不可能是 刚9 A B