九上旋转综合能力提升训练题.doc

旋转能力提升综合训练题 (一)正三角形类型例1、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求APB的度数。练习：1.如图：设P是等边ABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则APB的度数是_. 2.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求APB的度数。（二）正方形类型例2 如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。则正方形ABCD面积为 。2+5 简解：例2.如图（3-1）正方形ABCD中,边长AB=，点E、F分别在BC、CD上,且BAE=300, DAF=150。求AEF的面积。简解： 延长CB至使得B=DF，连结A，则RtABRtADF（SAS）。AE =300 +150=450，FAE=900 -300 -150=450易证AEFAE(SAS) EA =FEA=600，FEC=600, 在RtABE中, AB=，BAE=300BE=1, CE=-1, FE=2CE=2(-1), E=EF=2(-1)所以,SAEF= SAFE=ABE=2(-1)=3-练习1：如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则APB= 135135解：将APB绕B点顺时针旋转90并连接PE，将APB绕B点顺时针旋转90，得BEC，BECAPB，APB=BEC，BEP为等腰直角三角形，BEP=45，PB=2，PE=2，PC=3，CE=PA=1，PC2=PE2+CE2，PEC=90，APB=BEC=BEP+PEC=45+90=135练习2：请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB= ，PC=1、求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B顺时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2），连接PP，可得PPC是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以APC=150，而BPC=APC=150，进而求出等边ABC的边长为 ，问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= ，BP= ，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长解：（1）如图，将BPC绕点B逆时针旋转90，得BPA，则BPCBPAAP=PC=1，BP=BP= ；连接PP，在RtBPP中，BP=BP= ，PBP=90，PP=2，BPP=45；在APP中，AP2+PP2=AP2；APP是直角三角形，即APP=90，APB=135，BPC=APB=135（2）过点B作BEAP，交AP的延长线于点E；EPB=45，EP=BE=1，AE=2；在RtABE中，由勾股定理，得AB= ；BPC=135，正方形边长为（三）等腰直角三角形类型 例3如图（4-1），在ABC中，ACB =900，BC=AC，P为ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求BPC的度数。 简解：在RtABC的外侧，作BC=ACP，且C=CP=2，连结P。则BCACP。易证RtCP为等腰直角三角形，在PB中，B=3，BP=1，P=2，由勾股定理的逆定理可知，PB为Rt为Rt，PB=900BPC=CP+PB=450+=1350练习1. BCDEFA如图，在RtABC 中，D、E是斜边BC上两点，且DAE=45，将绕点顺时针旋转90后，得到，连接，下列结论：；其中正确的是（ ）A； B； C；D2.阅读下面材料，并解决问题：(1)、如图(10)，等边ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则APB=_，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将ABP绕顶点A旋转到ACP处，此时ACP_这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出APB的度数(2)、请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图(11)，ABC中，CAB=90，AB=AC，E、F为BC上的点且EAF=45，求证：EF2=BE2+FC2 3（1）如图1，ABC中，BAC=90，AB=AC，D、E在BC上，DAE=45，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将AEC绕A顺时针旋转90后成AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 （2）如图2，在ABC中，BAC=120，AB=AC，D、E在BC上，DAE=60、ADE=45，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2=DE2；理由：ABC中，BAC=90，AB=AC，ABD=ACE=45，由旋转的性质可知，AECAFB，ABF=ACE=45，FB=CEFBD=ABF+ABD=90旋转角FAE=90，又DAE=45，故FAD=FAE-DAE=45，易证AFDAED，故FD=DE，在RtFBD中，由勾股定理得：BD2+BF2=DF2；即：BD2+CE2=DE2；（2）仿照（1）可证，AECAFB，故BF=CE，AFDAED，故FD=DE，ADE=45，ADF=45，故BDF=90，在RtBDF中，由勾股定理，得BF2=BD2+DF2，CE2=BD2+DE24（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求的度数（2）如图，在RtABD中，点来M，N是BD边上的任意两点，且，将ABM绕点A逆时针旋转至ADH位置，连接，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由来源:（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若，求AG，MN的长ADBMNH来源:中教网来源:中教网ABCFDEG（图）MNADBGEF（图）C（图）解答：（1）在RtABE和RtAGE中，ABEAGE 同理，来源:中*国教*育出*版网（2），来源:中&教&网z&z&s&tep 又，AMNAHN ， （3）由（1）知，设，则，来源:中国教育出版网解这个方程，得，（舍去负根）在（2）中，设，则即（四）其他类型 例4.把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角满足条件：090)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图）.(1)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH=，GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使GKH的面积恰好等于ABC面积的？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由AAG(O)ECBFG(O)KCEBHF （1）在上述旋转过程中，BHCK，四边形CHGK的面积不变. 证明：连结CG ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点 CG=BG,CGAB.ACG=B=45.BGH与CGK均为旋转角，BGH=CGK.BGHCGK.BH=CK,SBGH=SCGK.S四边形CHGK=SCHG+SCGK=SCHG+SBGH=SABC=44=4.即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化.(2)AC=BC=4,BH=，HAG(O)ECBFKCH=4-,CK=.由SGHK=S四边形CHGK-SCHK，得=090，04.(3)存在.根据题意，得 解这个方程，得 即：当或时，GHK的面积均等于ABC的面积的练习1.已知：在ABC中，ACB=90，AC=BC，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点D处，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点D按顺时针方向旋转一个角度反（0a90），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与ABC的重叠部分（如图1所示）那么，在上述旋转过程中：（1）如图1，线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？请说明你发现的结论的理由（2）如图2，连接HK，若AK=12，BH=5，求OKH的面积；若AC=BC=4，设BH=x，当CKH的面积为2时，求x的值，并说出此时四边形CHOK是什么特殊四边形2.(1)如图所示，P是等边ABC内的一点，连结PA、PB、PC，将BAP绕B点顺时针旋转60得BCQ,连结PQ若PA2+PB2=PC2，证明PQC=90(2) 如图所示，P是等腰直角ABC（ABC=90）内的一点，连结PA、PB、PC，将BAP绕B点顺时针旋转90得BCQ,连结PQ当PA、PB、PC满足什么条件时，PQC=90？请说明理由.ABCPQ第6题图QCPAB第6题图3.如图，在等腰RtABC与等腰RtDBE中, BDE=ACB=90,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连结GF.（1）FG与DC的位置关系是 ,FG与DC的数量关系是 ；（2）若将BDE绕B点逆时针旋转180，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.BDAFEGCBAC解：（1）FGCD ，FG=CD.（2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM.四边形 BCMD是矩形.CM=BD.又ABC和BDE都是等腰直角三角形.ED=BD=CM.E=A=45AEM是等腰直角三角形.又F是AE的中点.MFAE，EF=MF，E=FMC=45.EFDMFC.FD=FC，EFD=MFC.又EFDDFM=90MFCDFM=90即CDF是等腰直角三角形.又G是CD的中点.FG=CD，FGCD.4.如图4，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点（1）若EAF=45求证：EF=BE+DF（2）若AEF绕A点旋转，保持EAF